數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用

–隨 – – – ： 例1:拋一個(gè) 樣本空間：W={w1,w2,...,w6} A=w4w,w6} A與 若A B且B A，記為A=BA與B的并(和)：AUB

A B的交(積ABA與BABAIBAA與 B的差：記為A－BA- 與 與記為：AB= A1,A2,L,An是互不相容的（互斥）是指其中任意的兩個(gè) 都是互不相容的,即:AiAj=?,(1￡i<j AUBWABAA 記為A=W-AAA的對(duì) A表 A的否定,即A不發(fā)生

A= A=AUB= AIB=B-A=AD=?

AUE=W,AIE=?

交換律:AUB=BUAAIBBI結(jié)合律AU(BUC=AUB AI(BIC)=(AIB)IAU(BIC=AUBI(AUAI(BUC)=(AIB)U(AI AU(IBi)=I(AU AI(UBi)=U AUB=AIB,AIB=AU UAi=IAi I

=Ui

IA= IA= A1A2 ：A1A2A3UA1A2A3UA1A2

A1A2A3=A1UA2UA1UA2UA1A2A3=A1UA2U fn(A

nA

--A 若1,A2,L,Ak nmn次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，如果頻率mnp的附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，這種擺動(dòng)的幅度愈來(lái)愈小，此時(shí)數(shù)值p稱為隨機(jī)A發(fā)生的概率，記作PA)p。正比).則 P(A)=mA

例4:y0xP(A)=mA

=602- 定義：若樣本空間W的元素只有有限個(gè)；每個(gè)基本 發(fā)生的可能性相同，則這種試驗(yàn)稱為等可能概型，即古典概型。計(jì) 設(shè)樣本空間W中樣本點(diǎn)的總數(shù)為A所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為MA發(fā)生的概率為

nrCrCn+r-Ann （PrAnnCC6.0~9十個(gè)數(shù)字中任意選取一個(gè)數(shù)字，求：1)取得偶數(shù)數(shù)字的概率；2)3整除的數(shù)字的概率。5A表示取得偶數(shù)數(shù)字，513則W13081/2A={0,2,4,6,8},B081/262\P(A)=5=62即：取得偶數(shù)數(shù)字的概率為9 即：取得偶數(shù)數(shù)字的概率為9 7P(B)=10=7即：取得能被3整除的數(shù)字的概率為2/5個(gè)產(chǎn)品，求其中恰有m個(gè)次品的概率。NN CmCn-Cn\P(A)= N-CnN

n-. .CC例8.袋內(nèi)有ab個(gè)黑球，每次從袋中任取一個(gè)球，取出的球不再放回，連取k個(gè)球（k￡ab），求第k次取得白球的概率。 \P(A)

A1Ak- A a+b-1Aka

a+ ， A A，有P(A)?0P(W)= 即對(duì)于ijAiAj=?,ij1,2,LP(A1UA2UL)=P(A1)+P(A2)A1,A2,L 是兩兩互不相容 ，則有P(A1UA2ULUAn)=P(A1)+P(A2)+L+P(An設(shè) B，則P(B-A)=P(B)-P(A)P(BPAP(BAP(BPP(A)￡P(guān)(A)=1-P(+P(123)nn=P(Ai)-P(AiAj)+ +(-1)n-1P(AALA 證明:An?,n1,2,L￥UAn=?￥ P(?)?\P(?)=)(6)P)UB=P(A+B BP)P(AU (B- ) ( = P+(B)- AB

P)UB=PA+B) P(稱為加法公( 例9.設(shè)A與B為兩個(gè)隨 0.7,當(dāng)A、BP(B解：PAUB)PAPBP\P(AB)=P(?)=\P(B)=P(AUB)-P(A)+P(設(shè)A、B為 ，且P(A)>0，P(B|A)=P(P( B發(fā)生的條件概率例10：一盒裝有5只產(chǎn)品，其中有3只是一等品，2只二等品，從 試求條件概率P(B|A)。則=,,}2只一等品、2只二等品中抽取，所以，這時(shí)抽到一等品的概率為P(B|A)=2=1 3

P(A)

P(AB)

2 5\P(B|A)=P(AB)

206=6 3 ：P(AB)=P(B|A)P(PA推廣：P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(PAB) P(An-1|A1LAn-2)LP(A2|A1)P(11.10010%，每次從其中任取一個(gè)，取出的不再放回，求第三次才取得合格品的概率。Ai表示第i次取得合格品

)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2=10990=

０

P(B|A)=于是有 P(AB)=P(B|A) P(A)＝P(A)P P(AB)=P(A)P(B)ABAB、AB、AB：也相互獨(dú)立。作為示例只證明AB相互獨(dú)立P(AB)=P(A-AB=P(A)-P(AB=P(A)-P(A)P(=P(A)P(BAB相互獨(dú)立 設(shè)：AB={乙命中目標(biāo)} P(C)=1-P(C)=1-P(=1-P(A)P(B)= P(A|C)=P(AC)=P(A)=0.8=40

？更一般地:若n 及1￡i1i2ik￡n

￡ ￡

P(AiAi...Ai)=P(Ai)P(

)...P(Aiki 注：共需滿足C2C3+LCn=2n-1n A）與試驗(yàn)E2的任一結(jié)果（ B）

n ，B1,B2,...,Bn 的一個(gè)W劃分,即:BiBj=?,i?j；B1UB2ULUBn=Wn且P(Bi)>

P(A)=P(A|Bi)P(Bi

P(A)=P(AW)=((1¨B2¨L¨=P(AB1¨AB2¨L¨ABn=P(AB1)+P(AB2)+L+P(ABn=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+LP(A|Bn)nn=P(A|Bi)P(Bi

A2個(gè)球都是白球，Bi表示所選的袋子是第i個(gè)（i1,2,32P(B1)=3P(B2)=5P(B3)=

C P(A|B)=2 C P(A|B2)=3 C P(A|B)=4 C \P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)= 1+ 3+ 6=41=10 10 10 全概率

nnPBi──先驗(yàn)概率。（i0,1,2,Ln 的概率，即求P(Bi|A)PBi|A──后驗(yàn)概率。（i0,1,2,Ln： ，B1,B2,L,Bn為一個(gè)完 P(A)> P(Bi)>0,i=1,2,L,P(B|A

P(A|

)P(B , i=1,2,L,n n

P(A|

例14.某種試驗(yàn)檢查 P(B)=0.004，P(A|B)=0.95，P(A|B)=\P(B)=0.996,P(A|B)=0.05,P(A|B)=P(B|A)=

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)說(shuō)明:試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性反應(yīng)的被檢查者確實(shí)患有 P(B|A)=

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) 的可能性極大。已知P(A)=0.4，P(B)=0.3,P(AU==A-A-BP(AB);P(AB);P(==A-A-BP(AB)=P(A)+P(B)-P(AUP(AB)=P(A-B)=P(A-=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=

)=0.6

＝ 課