電磁場第二章靜電場

電磁場第二章靜電場第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章靜電場2.1靜電場基本方程組2.2靜電位及泊松方程2.3靜電場的唯一性定理2.4鏡像法2.5格林函數(shù)2.6靜電場的能和力2.7多極展開第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電場基本方程組靜止電荷產(chǎn)生的場－靜電場,是電荷分布與電場的穩(wěn)定平衡狀態(tài)下的場當(dāng)體系不隨時(shí)間變化時(shí)，，麥?zhǔn)戏匠探M中的電場可以分離為

銜接條件導(dǎo)體情況：且有注：導(dǎo)體的介電常數(shù)或？？第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月電位函數(shù)又靜電場是無旋場，故可引入標(biāo)量場，靜電位矢量分析中的霍姆赫茲定理：任意矢量可表示為若取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)電位為零定義分析：

電力線與等位面的關(guān)系電位參考點(diǎn)的可選擇性－位函數(shù)矢量恒等式

任意標(biāo)量函數(shù)均滿足，故應(yīng)限定電位差第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月給定電荷分布的靜電位通常電荷分布和電場是耦合的，不能事先確定（尤其是極化電荷）若電荷分布給定，則靜電位可以直接求出：此式不是求解電場的有效表達(dá)式，？？第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松方程描述均勻、各向同性、線性介質(zhì)中靜電場的基本方程：泊松（拉普拉斯）方程－求解穩(wěn)定場的泛定方程對各向同性、線性介質(zhì)，均勻介質(zhì)時(shí)

當(dāng)時(shí)邊值問題＝泛定方程＋邊值條件（定解條件）泊松方程（Poisson）拉普拉斯方程，通常的情況第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電位的邊值關(guān)系電位連續(xù)保證了電場平行分量連續(xù)電位的邊值關(guān)系(1)電位是連續(xù)的邊界處電場是有限的(2)電位法向梯度值變化與面電荷有關(guān)第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月唯一性定理的表述(1)在區(qū)域中每個(gè)均勻的子區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程：空間區(qū)域內(nèi)靜電場唯一確定的條件為：(2)在區(qū)域中每兩子區(qū)域邊界上滿足邊值條件：（

n由i區(qū)域指向j區(qū)域）(4)給定區(qū)域表面上或之值

(3)已知區(qū)域內(nèi)的電荷密度、；適定性問題？－第一類邊界條件－第二類邊界條件

第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月唯一性定理的證明設(shè)有、同時(shí)滿足上述條件，令：,則子區(qū)域1子區(qū)域2子區(qū)域3子區(qū)域4?3(1)在任一子區(qū)域內(nèi)：(2)在子區(qū)域界面上：(3)區(qū)域表面上:或?1因

再故第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)體存在時(shí)唯一性定理（1）導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，導(dǎo)體是等位體（2）電荷以面電荷形式分布于表面導(dǎo)體的靜電平衡條件：對給定電位值，將導(dǎo)體看成是區(qū)域邊界之一即可若區(qū)域中存在導(dǎo)體，給定導(dǎo)體上的電位值或總電荷值其他區(qū)域條件如前述，則電場唯一確定。導(dǎo)體內(nèi)電場為零對給定電荷值，只要包圍導(dǎo)體的表面有：?

第二類邊界條件第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例：靜電屏蔽之解釋唯一性定理說：S

面內(nèi)的電場由內(nèi)部電荷及S上的電位決定。（與外面的電荷及電場無關(guān)）不影響S面內(nèi)部（與接地?zé)o關(guān)）不影響S面外部++++第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

課堂休息課堂休息（1）第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月邊值問題解析法概述－分離變量法：多變量的齊次偏微分方程單變量的常微分方程組，求解滿足邊界條件的常微分方程的特解關(guān)鍵點(diǎn)：選擇合適的坐標(biāo)系，邊界面與坐標(biāo)面部分重合－復(fù)變函數(shù)法：

復(fù)位函數(shù)法、保角變換法－適合處理復(fù)雜邊界（二維）情況＋鏡像法：

將邊界上的感應(yīng)電荷(電流)對場的貢獻(xiàn)用所求區(qū)域之外的集中電荷的場來表示，利用邊界條件來確定集中電荷(鏡像電荷）的位置和量值＋格林函數(shù)法：

利用單位點(diǎn)源的解－格林函數(shù)和疊加原理來解決一般電荷分布的普遍邊值問題__第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月鏡像法（1）例：接地?zé)o限大導(dǎo)體板附近一點(diǎn)電荷，求空間電位。設(shè)電荷位置：則在處設(shè)置,可取消導(dǎo)體表面。唯一性保證了上式為所求問題之解（除點(diǎn)電荷處）邊值問題：第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月鏡像法（2）例：接地導(dǎo)體球外一點(diǎn)電荷，求空間電位。電荷位置設(shè)鏡像電荷在處，電荷為。邊值問題：第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月鏡像法（3）例：不接地導(dǎo)體球外一點(diǎn)電荷，求空間電位。電荷位置設(shè)兩個(gè)鏡像電荷，分別在處，電荷為。邊值問題：試確定如下鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示電荷為的點(diǎn)電荷密度，記為：函數(shù)應(yīng)具有下面性質(zhì)：函數(shù)的選擇性質(zhì)：三維函數(shù)，函數(shù)有量綱中值定理第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月以泛函定義的廣義函數(shù)函數(shù)是通過如下正則泛函定義的函數(shù)之特例：其中是普通函數(shù)可以是廣義函數(shù)若對任意的，有：廣義函數(shù)的微商：階躍（Heaviside）函數(shù)：用普通函數(shù)微商定義廣義函數(shù)微商第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月格林函數(shù)位于點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位滿足方程：則在為邊界的區(qū)域中，有唯一的解。稱此解為此區(qū)域內(nèi)的

格林（Green）函數(shù)第一類格林函數(shù)：第二類格林函數(shù)：加上邊界條件：或(常數(shù)）第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月格林公式對區(qū)域內(nèi)任意兩函數(shù)、，有：證明：利用Green

函數(shù)求解任意電荷分布的泊松方程（Green

函數(shù)法）格林（Green）公式第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第一類邊值問題若給定區(qū)域內(nèi)電荷分布，同時(shí)給定第一類邊值條件，即：令：由Green公式：體電荷貢獻(xiàn)面電荷貢獻(xiàn)第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第二類邊值問題若給定區(qū)域內(nèi)電荷分布，同時(shí)給定第二類邊值條件，即：令：由Green公式：對外問題平均值體電荷貢獻(xiàn)面電荷貢獻(xiàn)第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月半無限空間第一類格林函數(shù)半無限空間的第一類格林函數(shù)：源電荷貢獻(xiàn)感應(yīng)面電荷貢獻(xiàn)第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月球形空間第二類格林函數(shù)球外區(qū)域的第二類格林函數(shù)：鏡像電荷－面電荷貢獻(xiàn)第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂休息（2）第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電場的能量例：荷電孤立導(dǎo)體球靜電能靜電場的能量電場能量體密度?僅對靜電場成立，不代表能量密度電導(dǎo)體系靜電能第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月外場中電荷系統(tǒng)的能量電荷系統(tǒng)與外場的相互作用能：考察兩個(gè)電荷系統(tǒng)，電荷分布分別為、，產(chǎn)生的電位分別為、。則兩個(gè)體系的相互作用能可以定義為：第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電能量的定理（1）湯姆蓀(Thomson)定理

(導(dǎo)體系統(tǒng))

－只有當(dāng)每個(gè)導(dǎo)體處于等電位體的情況下，才能達(dá)到平衡；－靜電場能量為極小值(不能自身達(dá)到）

恩紹(Eamshaw)定理(任意靜電系統(tǒng))

－僅受靜電力作用的帶電體，不能在電場中靜止地處于穩(wěn)定平衡系統(tǒng)穩(wěn)定平衡條件是有極小值，具有極小值的條件是一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)必須恒大于零；但不存在三者同時(shí)大于零的情況任何靜電體系狀態(tài)的形成都必須有其它約束力參與－從相對論的角度，可說明這種約束力是麥克斯韋方程組所必須的（試想一下，電荷在相互斥力的作用力下，將飛散到無限遠(yuǎn)處）不穩(wěn)定平衡第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電能量的定理（2）定理：把不帶電體引入到固定電荷系統(tǒng)電場中，將使電場的總能量減小定理：場源不變情況下，使一部分介質(zhì)的介電常數(shù)增加時(shí)，將會(huì)使介質(zhì)中的總能量減小。例能量減小切斷電源，電荷不變－總能量的減小，表明有其它形式能量的轉(zhuǎn)換（熱能，彈性能，極化能等）＋＋＋＋＋＋______＋＋＋＋＋＋______為零，電源不變（電荷不變）第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月靜電力

直接法－電場的屬性：

注：不包含電荷本身的電場。

導(dǎo)體表面電荷所受到的力顯然，在

兩側(cè)連續(xù)，而在上反向等大再因?yàn)樵趯?dǎo)體內(nèi)部并，得到

另：導(dǎo)體外表面的總電場為可見，如上結(jié)果是-麥克斯韋張力張量的直接結(jié)果(見后），驗(yàn)證了兩種方法的正確性

導(dǎo)體第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月虛功原理計(jì)算靜電力（1）

廣義坐標(biāo)

g：度量場狀態(tài)的獨(dú)立參量廣義力f

：企圖改變廣義坐標(biāo)的力。功=gf

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p

發(fā)生位移dg

后,其功能關(guān)系為外源提供能量=靜電能量增量+電場力所作功

常電荷系統(tǒng)（K斷開）表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實(shí)現(xiàn)第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月虛功原理計(jì)算靜電力（2）

常電位系統(tǒng)（K接通）外源提供能量的增量外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。根據(jù)f的“±”號判斷力的方向

例試求圖示平行板電容器極板的電場力相同，負(fù)號表示電場力企圖使d減小(吸引力），即電容增大第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月虛功原理計(jì)算靜電力（3）

電介質(zhì)片受到的靜電力的機(jī)理－邊緣電場不均勻性的效應(yīng)dwxl

板間的電場為

E=U/d，設(shè)插入介質(zhì)部分的寬度為

x，則系統(tǒng)能量為

介質(zhì)塊所受的力為—介質(zhì)被拉入電容中導(dǎo)電板受到的力為

負(fù)號表示導(dǎo)電板受到的力為吸引力

與前頁結(jié)果一致第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月體積力與表面力（1）

體積力

是非電荷產(chǎn)生的

表面力其中麥克斯韋張力張量證明（作業(yè)）利用有類似有代入整理，得第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月體積力與表面力（2）例1:利用張量計(jì)算帶電平板間的電力------++++++－－吸引力，與虛位移法得到結(jié)果一致

說明場力可通過表面力(應(yīng)力）來表示場力是由電力線傳遞力管以太說（后論）給出了實(shí)際計(jì)算電場力（凈力）有效表達(dá)式。面積分較體積分容易計(jì)算注：積分面的可選擇性例2導(dǎo)體表面電荷所受的靜電力（前頁）第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月作用在介質(zhì)上的靜電力體積力＝內(nèi)應(yīng)力（場致伸縮力）＋顯現(xiàn)力（材料總體凈余力）表達(dá)式－介質(zhì)質(zhì)量密度

第一項(xiàng)：電場作用與介質(zhì)中自由電荷的顯現(xiàn)力

第二項(xiàng)：電場對不均勻介質(zhì)的力，可用來計(jì)算介質(zhì)分界面上的顯現(xiàn)力

第三項(xiàng)：場致伸縮力（內(nèi)應(yīng)力－可使材料變形或破裂），因?yàn)樽ⅲ号c虛位移法的結(jié)果一致第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月作用在介質(zhì)上的靜電力啟示：能量變化－作功－廣義力乘廣義坐標(biāo)：虛功原理證明：第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂休息（3）第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月有限空間電荷在遠(yuǎn)處電位若電荷分布在有限的空間，空間的線度為,則該電荷分布對空間較遠(yuǎn)處產(chǎn)生的場，可以按小參量進(jìn)行展開。原子核線度原子線度將在處展開。原點(diǎn)在選在內(nèi)記：第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月電位的多極展開第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月帶電體系的電多極矩體系的電荷體系的電偶極矩體系的電四極矩＋－d第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月電四極矩的另一定義體系的電四極矩或：

第42頁，課件共49頁