最短路徑問題經(jīng)典課件

兩點(diǎn)之間,線段最短

我們把研究關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”等問題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常碰到，今天我們就通過幾個(gè)實(shí)際問題,具體體會如何運(yùn)用所學(xué)知識選擇最短路徑.新課引入問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl13.4最短路徑問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知BAllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最?。糠治觯築Al如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點(diǎn)之間，線段最短.lABCB（1）這兩個(gè)問題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把左圖A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC(利用軸對稱找點(diǎn))lABCB′如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′.當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與CB′的和最?。吭谶B接AB′兩點(diǎn)的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.ABABB′C你能證明為什么點(diǎn)C即為所求嗎？

作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．在直線l上任取另一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點(diǎn)B、B′的對稱軸，點(diǎn)C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，

AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+BC′，即AC+BC最小．AlBCB′C′證明：如圖.問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問題BAl新知1運(yùn)用軸對稱解決距離最短問題

運(yùn)用軸對稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同.歸納：問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？

aBAbMN分析：可以把河岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M，這樣問題可以轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)點(diǎn)N在直線的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最??？由于河寬固定，因此AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小。這樣問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最小？最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N+NB最??？參考右圖，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決.最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點(diǎn)N，在點(diǎn)N處造橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：你能證明嗎？最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問題lABC最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）新知2利用平移確定最短路徑選址

解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題.

在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題.最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）

1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用：最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）2.最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）（1）作AB的中垂線交l于點(diǎn)C，如圖.解：lABC（2）如圖.A’C3.最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）

4.如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點(diǎn)，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長最小。M’P最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）5.如圖所示，點(diǎn)A是貨運(yùn)總部，想在公路m上建一個(gè)分部B，在公路n上建一個(gè)分部C，要使AB＋BC＋CA最小，應(yīng)如何建？

利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短確定B、C的位置，從而使AB＋BC＋CA最小.解析：解：

①作A關(guān)于m的對稱點(diǎn)A1，再作A關(guān)于n的對稱點(diǎn)A2；

②連接A1A2交m于B，交n于C，連接AB、AC.mnAA1A2BC由于兩點(diǎn)之間線段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，∴AB＋BC＋CA最小.最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）最短路徑問題實(shí)用課件（PPT優(yōu)秀課件）小結(jié)歸納lABClAB