北京課改初中數(shù)學(xué)九上《圓的對稱性》課件-(公開課獲獎)2022年北京課改版-北京課改版

圓的對稱性〔一〕軸對稱1．假設(shè)將一等腰三角形沿著底邊上的高對折，將會發(fā)生什么結(jié)果?２．如果以這個等腰三角形的頂點為圓心，腰長為半徑作圓，得到的圓是否是軸對稱圖形呢？二、新課1．結(jié)論：圓是軸對稱圖形，它有無數(shù)條對稱軸，經(jīng)過圓心每一條直線都是它的對稱軸．強調(diào)：〔1〕對稱軸是直線，不能說每一條直徑都是它的對稱軸；〔2〕圓的對稱軸有無數(shù)條．判斷：任意一條直徑都是圓的對稱軸〔〕1．任意作一個圓和這個圓的任意一條直徑CD；2．作一條和直徑CD的垂線的弦，AB與CD相交于點E．問題：把圓沿著直徑CD所在的直線對折，你發(fā)現(xiàn)哪些點、線段、圓弧重合？ABCDOE三、新知識在你們動手實驗中產(chǎn)生得出結(jié)論：①EA=EB；②AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根據(jù)圓的軸軸對稱性，可得射線EA與EB重合，∴點A與點B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒ABCDOE歸納得出：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的?。箯蕉ɡ淼膸缀握Z言∵CD為直徑，CD⊥AB（OC⊥AB）∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒ABCDOE②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理:AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.過點M作直徑CD.●O右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?我們發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.你可以寫出相應(yīng)的結(jié)論嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在以下五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結(jié)論.駛向勝利的彼岸●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.觀察以下哪些圖形滿足“垂直于弦的直徑〞的條件？為什么？BADCOABDOABDOABCDO圖5ABCDO圖6OABCD圖7圖8圖9圖10ＥＥＥＥＥ例1如圖，兩個圓都以點O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？G例2一條排水管的截面如下圖．排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC．．OABC思路：先作出圓心O到水面的距離OC，即畫OC⊥AB，∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，∴圓心O到水面的距離OC為6．例3：如圖，線段AB與⊙O交于C、D兩點，且OA=OB．求證：AC=BD．思路：作OM⊥AB，垂足為M∴CM=DM∵OA=OB∴AM=BM∴AC=BD．．OABCMD圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距．小結(jié)：1．畫弦心距是圓中常見的輔助線；．OABCrd2．半徑〔r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問題的主要思路，它們之間的關(guān)系：1．⊙0的半徑為13，一條弦的AB的弦心距為5，那么這條弦的弦長等于．242．如圖，AB是⊙0的中直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=BED．BD=BC⌒⌒C．ABCODE五、目標訓(xùn)練3．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM長為（）

A．3B．6cmC．cmD．9cm4．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB長為8，M是弦AB上的動點，那么OM的長的取值范圍是〔〕A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3<OM<5D．4<OM<5．ABOMAA五、目標訓(xùn)練5．⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，那么AB和CD的距離為．6．如圖，AB、AC為弦，OM⊥AB于點M，ON⊥AC于點N，BC=4，求MN的長．2或14．ACOMNB思路：由垂徑定理可得M、N分別是AB、AC的中點，所以MN=BC=2．五、目標訓(xùn)練１．本節(jié)課主要內(nèi)容：〔1〕圓的軸對稱性；〔2〕垂徑定理．2．垂徑定理的應(yīng)用：〔1〕作圖；〔2〕計算和證明．3．解題的主要方法：六、總結(jié)回憶（2）半徑（r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問題的主要思路，它們之間的關(guān)系：〔1〕畫弦心距是圓中常見的輔助線；作法：⒈連結(jié)AB.⒉作AB的垂直平分線CD，交弧AB于點E.點E就是所求弧AB的中點．CDABE例1已知AB，如圖，用直尺和圓規(guī)求作這條弧的中點．(先介紹弧中點概念）⌒做一做，提高你的能力變式一：求弧AB的四等分點．CDABEFGmn變式一：求弧AB的四等分點．CDABＭFG錯在哪里？1．作AB的垂直平分線CD2．作AT、BT的垂直平分線EF、GHＴＥＮＨＰ強調(diào)：等分弧時一定要作弧所對的弦的垂直平分線．變式二：你能確定弧AB的圓心嗎？OABCab方法：只要在圓弧上任意取三點，得到三條弦，畫其中兩條弦的垂直平分線，交點即為圓弧的圓心．判斷〔1〕垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧…………..()〔2〕弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心……..()〔3〕圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()〔4〕平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧………()〔5〕圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分〔〕×√××√垂徑定理的應(yīng)用例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.駛向勝利的彼岸解:連接OC.●OCDEF┗老師提示:注意閃爍的三角形的特點.趙州石拱橋多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).駛向勝利的彼岸趙州石拱橋駛向勝利的彼岸解：如圖，用表示橋拱，所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與相交于點C.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高.由題設(shè)在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得〔m〕.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.RD37.47.2垂徑定理的應(yīng)用在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如下圖.假設(shè)油面寬AB=600mm，求油的最大深度.駛向勝利的彼岸ED┌

600BAO600?650DC船能過拱橋嗎2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為米,拱頂高出水面米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？相信自己能獨立完成解答.駛向勝利的彼岸船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是的中點,CD就是拱高.由題設(shè)得駛向勝利的彼岸在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得〔m〕.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過這座拱橋.小結(jié)：1、有時并未直接給出“圓的直徑垂直于弦〞這樣的條件，而是給出以下圖所示條件，我們可以得到他們具有和垂直與弦的直徑一樣的性質(zhì)。BADCOABDOABDO圖11圖12圖13ＥＥ圓的半徑垂直于弦圓心到弦的垂線段〔弦心距〕過圓心的直線垂直于弦2、在圓中接有關(guān)弦的問題，常常需要做一條輔助線：垂直與弦的直徑或半徑或弦心距。從而利用“垂直與弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧〞圓的這條非常重要的性質(zhì)。討論〔1〕過圓心〔2〕垂直于弦〔3〕平分弦〔4〕平分弦所對優(yōu)弧〔5〕平分弦所對的劣弧〔3〕〔1〕〔2〕〔4〕〔5〕〔2〕〔3〕〔1〕〔4〕〔5〕〔1〕〔4〕〔3〕〔2〕〔5〕〔1〕〔5〕〔3〕〔4〕〔2〕〔1〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧〔2〕弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧〔3〕平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧學(xué)生練習(xí)：AB是⊙O直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求證：EC＝DF.AOBECDF

列方程解應(yīng)用題的一般步驟：(1)(2)(3)(4)(5)分析題意，設(shè)未知數(shù)找出等量關(guān)系，列方程解方程看方程的解是否符合題意答數(shù)綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？解：設(shè)寬為x米，那么長為〔x+10〕米依題意得：x(x＋10)＝900

整理得

x2＋10x－900＝0解得：所求的，都是所列方程的解嗎？

所求的，都符合題意嗎？綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？解：設(shè)寬為x米，那么長為〔x+10〕米

依題意得：x(x＋10)＝900

整理得x2＋10x－900＝0

解得：

但不合題意，舍去．

例1．如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長。

例題例1．如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長