2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章-三角形-微專題-八大?？既饶Ｐ驼n件

微專題八大?？既饶Ｐ?必考，在幾何綜合題中涉及考查)模型一平移模型(10年2考：2016.21，2015.22)例1如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF.求證：△ABC≌△DEF.已知結(jié)論AB∥DE∠CBA＝∠FEDBE＝CFBE＋EC＝CF＋EC?BC＝EF例1題圖例1證明：∵AB∥DE，∴∠CBA＝∠FED，∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SAS)．模型分析模型展示

模型特點(diǎn)沿同一直線(BC)平移可得兩三角形重合(BE＝CF)

解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)加(減)共線部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行線性質(zhì)找對(duì)應(yīng)角相等

模型應(yīng)用1.如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，BC＝EF，AC⊥BC于點(diǎn)C，DF⊥EF于點(diǎn)F，AC＝DF.求證：AB∥DE.第1題圖證明：∵AC⊥BC于點(diǎn)C，DF⊥EF于點(diǎn)F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE.模型二軸對(duì)稱(翻折)模型(10年2考：2020.22，2018.23)例2如圖，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2.求證：△ABC≌△ADE.已知結(jié)論∠1＝∠2∠1＋∠EAC＝∠2∠EAC?∠BAC＝∠DAE例2題圖例2證明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(ASA)．模型分析模型展示有公共邊有公共頂點(diǎn)

模型特點(diǎn)所給圖形沿公共邊所在直線或者經(jīng)過(guò)公共頂點(diǎn)的某條直線折疊，兩個(gè)三角形完全重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)找公共角、垂直、對(duì)頂角、等腰等條件得對(duì)應(yīng)角相等；(2)找公共邊、中點(diǎn)、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對(duì)應(yīng)邊相等模型應(yīng)用2.如圖，△CDF和△ABD均是等腰直角三角形，且F在AD邊上，若BF是∠ABD的平分線，則的值為(

)第2題圖A.B.C.－1D.＋1C3.如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE.若矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，則△EFC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．第3題圖9模型三三垂直模型(10年2考：2017.25，2012.23)例3如圖，AD⊥AB，DE⊥AE，BC⊥AE，垂足分別為A、E、C，且AD＝AB，求證：△AED≌△BCA.已知結(jié)論AD⊥AB∠DAE＋∠BAC＝90°DE⊥AE∠DEA＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°BC⊥AE∠ACB＝90°例3題圖例3證明：∵AD⊥AB，DE⊥AE，BC⊥AE，∴∠DEA＝∠ACB＝∠DAB＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∠BAC＋∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠BAC.在△AED和△BCA中，∴△AED≌△BCA(AAS)．模型分析常用三個(gè)垂直作條件進(jìn)行角度等量代換，即同(等)角的余角相等，相等的角就是對(duì)應(yīng)角，證三角形全等時(shí)必須還有一組邊相等．基本圖形1如圖①，已知：AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD，AB＝CE.圖①圖②圖①結(jié)論：①∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D；②BE＝AB＋DE；③連接AD，則△ACD是等腰直角三角形．基本圖形2

如圖③，已知：AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD，AB＝BC.圖③圖④圖③結(jié)論：①∠A＝∠DBC，∠ABE＝∠C；②DE＝AE－CD.模型應(yīng)用4.如圖，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝ED，且BC⊥DE，若AB＝5，CD＝8，則AE＝________．第4題圖35.如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD＝BE，∠1＝∠2.(1)求證：△ADE≌△BEC；第5題圖(1)證明：∵AD∥BC，∠A＝90°，∠1＝∠2，∴∠A＝∠B＝90°，DE＝CE.在Rt△ADE和Rt△BEC中，∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；(2)若AD＝3，AB＝9，求△ECD的面積．(2)解：由△ADE≌△BEC得∠AED＝∠BCE，AD＝BE.∴∠AED＋∠BEC＝∠BCE＋∠BEC＝90°.∴∠DEC＝90°.又∵AD＝3，AB＝9，∴BE＝AD＝3，AE＝9－3＝6.∵∠1＝∠2，∴ED＝EC＝，∴S△ECD＝.模型四一線三等角模型例4如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的三邊上，且∠B＝∠1，BD＝CF.求證：△EBD≌△DCF.已知結(jié)論AB＝AC∠B＝∠C∠B＝∠1，∠EDC是△EBD的外角∠FDC＝∠DEB例4題圖例4證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EDC是△EBD的外角，∴∠EDC＝∠BED＋∠B＝∠1＋∠FDC，又∵∠B＝∠1，∴∠FDC＝∠DEB，在△EBD和△DCF中∴△EBD≌△DCF(AAS)．模型分析一般通過(guò)一線三等角找等角或進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，證三角形全等時(shí)必須還有一組邊相等這個(gè)條件.常見(jiàn)基本圖形如下：(1)兩個(gè)三角形在直線同側(cè)，點(diǎn)P在線段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD.銳角一線三等角鈍角一線三等角結(jié)論：△CAP≌△PBD.(2)兩個(gè)三角形在直線異側(cè)，點(diǎn)P在BA(或AB)的延長(zhǎng)線上，已知：∠1＝∠2＝∠3，CP＝PD.銳角一線三等角鈍角一線三等角結(jié)論：△CAP≌△PBD.模型應(yīng)用6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P，D分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，且BP＝CD，∠APD＝∠B，若∠APB＝120°，則∠CDP的度數(shù)為(

)A.30°B.60°C.120°D.150°第6題圖C模型五自旋轉(zhuǎn)型(10年4考：2019.23，2013.24，2012.23，2011.23)例5如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，與AC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接AF.求證：AF∥BC.已知結(jié)論D是BC邊的中點(diǎn)BD＝DCDE∥AB，D是BC的中點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，即AE＝CE例5題圖例5證明：∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∵DE∥AB，∴＝1，∴AE＝CE，又∵EF＝ED，∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△CED(SAS)．∴∠F＝∠EDC，∴AF∥BC.模型分析模型展示共頂點(diǎn)

不共頂點(diǎn)

模型特點(diǎn)(1)共頂點(diǎn)，繞該頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得兩三角形重合(2)不共頂點(diǎn)，繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，再平移可得兩三角形重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)共頂點(diǎn)：加(減)共頂點(diǎn)的角的共角部分得一組對(duì)應(yīng)角相等；(2)不共頂點(diǎn)：①通過(guò)加(減)共線部分，得BC＝EF；②利用平行線性質(zhì)找對(duì)應(yīng)角相等模型應(yīng)用7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AC及其延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B，F(xiàn)分別在AE兩側(cè)，連接CF，已知AD＝EC，BC＝FD，BC∥DF.(1)求證：△ABC≌△EFD；第7題圖(1)證明：∵AD＝EC，∴AD＋DC＝EC＋DC，即AC＝ED，∵BC∥DF，∴∠ACB＝∠EDF.在△ABC和△EFD中，∵BC＝FD，∠ACB＝∠EDF，AC＝ED，∴△ABC≌△EFD(SAS)；(2)若CE＝CF，F(xiàn)C平分∠DFE，求∠A的度數(shù)．(2)解：∵△ABC≌△EFD，∴AB＝EF.∵AB＝AC，AC＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD.∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE.∵FC平分∠DFE，∴∠EFD＝∠EDF＝2∠CFE＝2∠E.∵∠EDF＋∠EFD＋∠E＝180°，∴2∠E＋2∠E＋∠E＝180°，∴∠E＝36°.∴∠A＝∠E＝36°.模型六手拉手模型(構(gòu)造全等)(2014.23)例6如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形，連接AG、CE.求證：AG＝CE.已知結(jié)論四邊形ABCD、BEFG均為正方形∠ABC＝∠GBE＝90°，AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＋∠CBG＝∠GBE＋∠CBG例6題圖例6證明：∵四邊形ABCD、BEFG均為正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，∴∠ABC＋∠CBG＝∠GBE＋∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，在△ABG和△CBE中，∴△ABG≌△CBE(SAS)，∴AG＝CE.模型分析已知：有公共頂點(diǎn)的一對(duì)全等圖形，稱為“手拉手”模型，連接其他對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；結(jié)論：①得到一對(duì)全等三角形；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線夾角中，有一個(gè)角等于公共頂點(diǎn)上的對(duì)應(yīng)角.注：此模型研究手拉手旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，手拉手旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形見(jiàn)P112.模型展示模型特點(diǎn)△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD、CE.正方形ABFC中，AB＝AC，正方形ADGE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD、CE.解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)共頂點(diǎn)：加(減)共頂點(diǎn)的公共角∠BAE得一組對(duì)應(yīng)角相等；(2)利用已知兩組邊相等或者等腰、等邊、正方形、菱形等得到兩組對(duì)應(yīng)邊相等結(jié)論△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8字型”證角相等)模型應(yīng)用8.如圖，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB＝AC，AD＝AE，連接BD，CE交于F，連接AF，則∠AFE的度數(shù)是________．第8題圖63°9.如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形，AN與MB交于點(diǎn)P.(1)求證：AN＝MB；第9題圖證明：(1)∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠ACN＝∠MCB＝120°，∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝MB；(2)連接CP，求證：CP平分∠APB.(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AN于點(diǎn)E，作CF⊥BM于點(diǎn)F，∵△ACN≌△MCB，∴S△ACN＝S△MCB，∴AN·CE＝BM·CF，∵AN＝MB，∴CE＝CF，∵CE⊥AN，CF⊥BM，∴CP平分∠APB.第9題解圖模型七半角模型類型1對(duì)稱半角模型例7如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC邊于點(diǎn)G，連接AG，求證：∠GAE＝∠BAD.例7題圖證明：由翻折的性質(zhì)可得△AFE≌△ADE，則∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，∠DAE＝∠FAE.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，AB＝AD，∴∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠GAE＝∠GAF＋∠EAF＝∠BAG＋∠DAE＝∠BAD.模型分析模型展示含45°半角模型含30°半角模型含22.5°半角模型含15°半角模型模型特點(diǎn)①∠BAD＝45°；②△ABC≌△ABE，③△ADC≌△ADF①∠BAD＝30°；②△ABC≌△ABE，③△ADC≌△ADF①∠CAD=22.5°；②△ACD≌△ACE；③DF⊥AE①∠CAD＝15°；②△ACD≌△ACE；③DF⊥AE結(jié)論四邊形AEGF為正方形△AEF為等邊三角形△AFD為等腰直角三角形△AFD為直角三角形，且∠DAF＝30°

解題思路上圖依次是含45°、30°、22.5°、15°角的三角形的對(duì)稱(翻折)，關(guān)鍵是構(gòu)造成正方形、等邊三角形或者含特殊角的直角三角形，應(yīng)用對(duì)稱圖形全等及圖形的性質(zhì)解題.模型應(yīng)用10.如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)B與AD邊上的H重合(H不與端點(diǎn)A、D重合)，折痕交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，邊BC折疊后與邊CD交于點(diǎn)G，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m，△DHG的周長(zhǎng)為n，則的值為_(kāi)_____．第10題圖類型2旋轉(zhuǎn)半角模型例8如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D和點(diǎn)E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，試猜想BD、DE、EC滿足的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程．例8題圖

解：BD2＋CE2＝DE2，理由：如解圖，∵AB＝AC，∴把△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，∴AD＝AG，BD＝CG，∠B＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG，∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，例8題解圖∴∠ECG＝∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝45°＋45°＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE＋∠CAG＝∠CAE＋∠BAD＝90°－45°＝45°，∴∠DAE＝∠GAE，在△DAE和△GAE中，∴△DAE≌△GAE(SAS)，∴DE＝EG，在Rt△ECG中，由勾股定理得EG2＝CE2＋CG2，即BD2＋CE2＝DE2.模型分析模型展示模型分析①△AED≌△AEF；②△CEF為直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2

①△AEF≌△AEG；②△AGF為等腰直角三角形；EF＝BE＋DF①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF

結(jié)論上圖依次為等腰直角三角形含半角、正方形含半角、120°含半角模型，通過(guò)旋轉(zhuǎn)一定角度將另外兩個(gè)角拼接在一起，構(gòu)造的三角形與半角所在的三角形