流體力學(xué)筆記整理

流體力學(xué)引言一、 流體力學(xué)的研究對(duì)象流體：氣體、液體的總稱(chēng)流體力學(xué)：研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及流體與固體相互作用的一門(mén)學(xué)科二、 流體力學(xué)的研究方法1、 理論分析方法建立模型f推導(dǎo)過(guò)程f求解方程f解釋結(jié)果2、 實(shí)驗(yàn)方法理論分析f模型試驗(yàn)f測(cè)量f數(shù)據(jù)分析3、 數(shù)值方法數(shù)學(xué)模型f離散化f編程計(jì)算f檢驗(yàn)結(jié)果第一章流體力學(xué)的基礎(chǔ)概念

§1.流體的物理性質(zhì)與宏觀模型一、流體的物理性質(zhì)1、 易形變性：流體靜止時(shí)，不能承受任何微小的切應(yīng)力。原因：分子平均間距和相互作用力的不同。2、 黏性：當(dāng)流體層之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)或者切形變時(shí)，流體就會(huì)反抗這種相對(duì)運(yùn)動(dòng)或切形變，使流體漸漸失去相對(duì)運(yùn)動(dòng)。流體這種阻礙流體層相對(duì)運(yùn)動(dòng)的特性稱(chēng)為黏性。庫(kù)倫實(shí)驗(yàn)一一表面不滑移假設(shè)內(nèi)摩擦：宏觀：相對(duì)快速流層對(duì)慢速流層有一個(gè)拖帶作用力，使慢速流層變快起來(lái)；相應(yīng)地慢速流層將拽住快速流層讓其減速，最終使流層間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)消失。流體層間這種單位面積的作用力稱(chēng)為黏性應(yīng)力。微觀:流體的黏性是分子輸送的統(tǒng)計(jì)平均，是由于分子不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在不同流層間進(jìn)行宏觀的動(dòng)量交換。理想流體：當(dāng)流體的黏性很小，其相對(duì)速度也不大時(shí)，其黏性應(yīng)力對(duì)流動(dòng)作用就不甚重要并可予以略去，這種不計(jì)黏性的流體稱(chēng)為理想流體。3、 壓縮性：壓強(qiáng)變化引起流體體積或密度變化的性質(zhì)液體：一般認(rèn)為不可壓縮（除水中爆炸等壓力驟變問(wèn)題）氣體：①壓強(qiáng)變化引起流體體積變化1%氣壓差相當(dāng)于85m高度上氣壓的改變量，所以一般認(rèn)為大氣不可壓縮（除非有強(qiáng)烈上升、下沉氣流）即p不變。②速度變化也可以影響流體壓強(qiáng)的變化當(dāng)速度增加時(shí)，壓強(qiáng)會(huì)減小。 1PV2 動(dòng)力氣壓2在常溫常壓下，氣體作低速流動(dòng)（v<100m/s）,氣體密度變化小于5%，可按不可壓縮流體處理。二、流體的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)一一宏觀理論模型把由離散分子構(gòu)成的實(shí)際流體看作是由無(wú)數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有間隙連續(xù)分布構(gòu)成的。流體質(zhì)點(diǎn)（流點(diǎn)、流體微團(tuán)、流體微元）：大量流體分子的集合微觀“足夠大”：能保持大量分子，具有確定地統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)宏觀“充分小”：可以把流體近似看成在幾何上沒(méi)有維度的“點(diǎn)”§2流體運(yùn)動(dòng)的速度與加速度一、 兩種表述流動(dòng)的方法1、 Lagrange法(隨體法)：跟隨流點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，記錄該流點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律。(以流點(diǎn)為著眼點(diǎn))設(shè)該質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為(a,b,c)，該質(zhì)點(diǎn)的物理量B的Lagrangge表達(dá)式B=B(a,b,c,t)不同的(a,b,c)表示不同流點(diǎn) (a,b,c)稱(chēng)為L(zhǎng)agrangge變量位置矢的Lagrange表達(dá)式：r=r(a,b,c,t) Lagrange變量速度的Lagrange表達(dá)式：^=^偵b,c,t)=gQb,c,t)——不同時(shí)刻同一流點(diǎn)的速度加速度a^Lagrange表達(dá)式:a=a(a,b,c,t)=竺r(a,b,c,t)dt22、 Euler法：將其瞬時(shí)占據(jù)某空間點(diǎn)的流點(diǎn)的物理量作為該空間點(diǎn)的物理量(以空間點(diǎn)為著眼點(diǎn))設(shè)空間點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)物理量B的Euler表達(dá)式B=B(x,y,z,t)不同(x,y,z)代表不同的空間點(diǎn)速度r的Euler表達(dá)式：v=v(%,j,z,t) Euler變量——同一時(shí)刻不同空間點(diǎn)速度物理量的Euler表達(dá)式代表了該物理量的空間分布，稱(chēng)為該物理力場(chǎng)，如速度場(chǎng)、氣壓場(chǎng)等若場(chǎng)內(nèi)函數(shù)不依賴(lài)于矢徑即與(x,y,z)無(wú)關(guān)，稱(chēng)作空間均勻場(chǎng)。若場(chǎng)內(nèi)函數(shù)不依賴(lài)于時(shí)間即與t無(wú)關(guān)，稱(chēng)作定常場(chǎng)。二、 描述流體運(yùn)動(dòng)兩種方法的聯(lián)系1、L變量nE變量已知r=r(a,b,c,t)「x=x(a,b,c,t)彳y=y(a,b,c,t)C—=u(a,b,c,t)Iz=z(a,b,c,t)xu=u(x,y,z,t)dt<竺=v(a,b,c,t)消去a,b,cn Jv=vG,y,z,t)'dty—=^Wa,b,c,t)dt、w=w(%,y,z,t)2、E變量nL變量u=u(x,y,z,t)v=v(x,y,z,t)w=w(x,y,z,t)u=u0)y(t)z(t)t)=空dtv=v(x(t)y(t)z(t)t)=空dtw=w0)y(t)z(t)t)=竺dt對(duì)時(shí)間t積分x=x(a,b,c,t)x=xx=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)

lz=z(a,b,c,t)Yy=y(ci,C2,y=y(a,b,c,t)

lz=z(a,b,c,t)三、流體的加速度v=vG,y,z,t)u=u(x,y,z,t)=u(x(t)y(t)z(t)t)v=v(x,y,z,t)=v0)y(t)z(t)t)iw=w(x,y,z,t)=w(x(t)y(t)z(t)t)TOC\o"1-5"\h\z、一dv dv dv dvAAv=——At+——Ax+——Ay+——Azdt dx dy dzAv dv dvAx dv Ay dv Azn——=——+ + + At dt dxAt dy At dz Atdv dv dv dx dv dy dv dz當(dāng)At—0時(shí)，——=——+ + + dt dt dx dt dy dt dz dtdv dv dv dv dv dv (_ [—=一+u一+v——+w——=——+3，萬(wàn)dt dt dx dy dz dt流點(diǎn)加速度 局地加速度平流加速度Lagrange:v=v(a,b,c,t)na=a(a,b,c,t)=*""C,'dtEuler:v=v(x,y,z,t) na=a(x,y,z,t)=空+G?vkdt

V=g—+￡—V=g—+￡——+￡k

dx dy dz(---)v=ui+vj+wk7V-V=u—+v—+w

dx dyd

dz—dudvdwV-v=一+一+一dxdydzdududududu-——=——+u——+v——+w——廠dtdtdxdydzTOC\o"1-5"\h\zdv dv dv dv dv形十 J 一=一+u一+v一+w一分量形式° dt dt dx dy dzdw dw dw dw dwV = +u +v +w \o"CurrentDocument"dt dt dt dt dt個(gè)別變化局地變化 平流變化個(gè)別變化局地變化 平流變化個(gè)別變化：流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中流點(diǎn)隨時(shí)間的變化。局地變化：物理量在空間點(diǎn)上隨時(shí)間的變化。平流變化：由于流體運(yùn)動(dòng)沿運(yùn)動(dòng)方向的物理量分布不均勻所引起的變化。討論：1）如果流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中流體所具有的物理量不隨時(shí)間變化d=0n，?Vdt dt物理量的局地變化完全由于平流變化引起2）如果流體所具有的物理量分布是均勻的或沿運(yùn)動(dòng)方向是均勻的-dcdd-v-V=0n一=一dtdt§3.跡線(xiàn)和流線(xiàn)一、跡線(xiàn)跡線(xiàn)：流點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡線(xiàn)。跡線(xiàn)方程：1） 跡線(xiàn)的Lagrange表達(dá)式：r=r（a,b,c,t）消去時(shí)間t，得一空間曲線(xiàn)2） 跡線(xiàn)的Euler表達(dá)式：V=V（x,y,z,t）

對(duì)時(shí)間積分得到x,y,z關(guān)于t的函數(shù)，消去t得到跡線(xiàn)方程二、流線(xiàn)流線(xiàn)：某時(shí)刻曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)方向跟那一時(shí)刻該點(diǎn)的速度方向一致的假想曲線(xiàn)。drxv=0———ijkdrxv=dxdydzuvwwdy=vdzdx dy dz奸蝴nj）=— ，——流線(xiàn)方程vdx=udy? ? ?注：一般情況下，流線(xiàn)和跡線(xiàn)不重合。當(dāng)流動(dòng)定常時(shí)，兩者重合，但反之不成立?！?.速度的分解，匕，鄰v

0'0 ■■o?，＞0+&"），匕，鄰v

0'0 ■■o?，＞0+&"）可以用Tailor展近點(diǎn)M（x+8x,y+8y）速度為v（Af）=v（x+5%開(kāi)來(lái)表示ru（M）=u（M）+空_8x+—8y| odxdyJ ' 已略去二階以上的高階小量\y（MKv（M）+空&+空&yodxdy對(duì)上式進(jìn)行適當(dāng)整理，可得：人,、 \duQdu1SvQ13v?u\M）-u\M/+ ox+ Oy+ oy- Oyf odxdy2dx2dxdu 1du+ ox— oxdydu 1du+ ox— oxdy 2dyodxdy

u(M)=u(M)+塑&+—0dx :u(M)=u(M)+塑&+—0dx :11dudv +——2(dydx)11dudv _——2(dydx)5yV(M)=V(M0)+f5y1(dvdu—k+—2(dxdyJ1(dvdu'dudv2(dxdy/8yy dy8xy(dudv' +——(dydxJ這些項(xiàng)都為流體的形變xxxy「u(M)=u(M)-WSy+8Sx+8Syxxxy0>v(M)=v(M)+wSx+8Sx+8Syyx0、5x5yyywz0vM)=vM)+WxSr+yx0、5x5yyywz0vM)=vM)+WxSr+A-Sr

0得到：物理意義：M的流速可以分為三部分1）隨吃點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)的平移速度vM0）亥姆霍茲速度分解定理uM)u(M)—??i—?J—?k8 8v(M)=vM0)+wwwxx xy+8 8三維： （、w\M）w\M)0xSxSyzSzyx yy氣8zy* *2） 繞M°點(diǎn)旋轉(zhuǎn)引起的轉(zhuǎn)動(dòng)線(xiàn)速度七=WxSr—*3） 由M0點(diǎn)形變引起的線(xiàn)速度A-Sr8xz8yz8zz記:dudvdw< 8二=—8=——8= xxdxyy dyzz dz1(dvdu、1(dwdv、1(dwdu:8=8=_——+——=8=_——+——8=8=_+xyyx2(dxdy/J8yzzy2(dy dz/z^ xz 2(dx dz)xdu、z1「dwdv'— — 2(dydzJy(dv———_(dxdy)(dudw'————^^(dzdx)§5.渦度、散度與形變率一、法形變率以xy平面流場(chǎng)為例，u沿y方向不變，v沿x方向不變，ot時(shí)間后，x方向上增加的長(zhǎng)度為e單位長(zhǎng)度，單位時(shí)間的伸長(zhǎng)為d單位長(zhǎng)度，單位時(shí)間的伸長(zhǎng)為du dv dw￡= ￡=—— ￡= xx dx yy dy z dzlim5tt05t^0面積的相對(duì)擴(kuò)張率( d〃 \( ....ox+竺lim5tt05t^0面積的相對(duì)擴(kuò)張率( d〃 \( ....ox+竺8x8t Sy<L8y8t-8x8yk dx 人 c「A(5A)lim :Oat0OAOt當(dāng)ot—0時(shí)A(5A)dudv —limb^=—+—=▽?v 速度散度0A項(xiàng)oAot dxdyOtt0體積的相對(duì)膨脹率dy )8x8y8tdudvdudvQ=一+一+ otdxdydxdyA(&)ot.&( du WEx+竺oxotBy+k dx 人oyojoz+*oz5t])k dz )一oxoyozSxSySzStdudvdw=——+——+——dxdydzrA（8T）dudvdw體積的相對(duì)膨脹率!巖糖7=虱=N=V?v——體脹速度Att0二、切形變率（角形變率）考察xy平面流場(chǎng)中過(guò)任意點(diǎn)M的一對(duì)正交線(xiàn)元MA,MB分別長(zhǎng)為5x,5y，存在速度梯度四業(yè)oa，dv<<oa，dv<<—ox?ot8a=d. =dvotox dxdu<仗——oy?ot8P=dy =duotoy dydxdyot時(shí)間后，MA，MB分別轉(zhuǎn)過(guò)角度定義切形變率為該面元正交于該點(diǎn)兩線(xiàn)元夾角的瞬間變化率Sa+SB和duu=—-_-=一+一◎ St dxdydudwu=一+一次dzdxu定義切形變率為該面元正交于該點(diǎn)兩線(xiàn)元夾角的瞬間變化率Sa+SB和duu=—-_-=一+一◎ St dxdydudwu=一+一次dzdxu_dvdwyzdzdy1^dvdu'———+——2(dxdyJ1'dudw、-1T-+—-2l(6z dx)1'dvdw、———+——2(dzdyJ￡xy切形變率'￡*三、流體的旋轉(zhuǎn)考察xy平面流場(chǎng)中過(guò)任意點(diǎn)M的一對(duì)正交線(xiàn)元MA,MB分別長(zhǎng)為Sx,Sy，存在速度梯度絲,也dx，dyMA、MB繞M點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，規(guī)定逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正。MA、MB繞M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)① _角度為1心①M(fèi)BdvsrSx 「dX dVli^ _hm——_一Si0St St^0St dx竺(逆時(shí)針為正)dy定義一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體繞z軸方向旋轉(zhuǎn)的角速度為xy平面上正交于該點(diǎn)兩線(xiàn)元的平均角速度：①zx①y1(dvdu'———_ 2(dxdyI1(dwdv' _ 2(dyd)(dudw—-T—_——(dzdx三個(gè)角速度的分量構(gòu)成一點(diǎn)鄰域內(nèi)角速度的矢量員=si+sj+sk一1^__Vxv 渦度三Vx^_2①2渦度表示流體旋轉(zhuǎn)快慢，相當(dāng)于剛體的角速度—>速度環(huán)流：在流場(chǎng)中任取一閉合曲線(xiàn)l,速度v沿該閉合曲線(xiàn)的線(xiàn)積分

r=jv-dl_jvcosadlv_ui+vj+wk————v_ui+vj+wkr_』：,udx+vdy+wdz「是標(biāo)量dl_idx+jdy+kdzr_』：,udx+vdy+wdz「是標(biāo)量r>o流體有順著閉合曲線(xiàn)流動(dòng)的趨勢(shì)r<o流體有逆著閉合曲線(xiàn)流動(dòng)的趨勢(shì)當(dāng)TO時(shí)，n(vxv)-do…lim_仟 =Vxv-n=Sa->0JJ r>o流體有順著閉合曲線(xiàn)流動(dòng)的趨勢(shì)r<o流體有逆著閉合曲線(xiàn)流動(dòng)的趨勢(shì)當(dāng)TO時(shí)，n(vxv)-do…lim_仟 =Vxv-n=Sa->0JJ ns=lim- 單位面積速度環(huán)流的極限值n 八("7cttOJ§6.速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)一、速度勢(shì)函數(shù)dvdu八1、以平面流場(chǎng)為例，若：虱一寸。則可以引入勢(shì)函數(shù)低*=女=0可推廣至三維無(wú)旋流場(chǎng)u=— dxa(bV=-——w=~—v=-V(|)dz速度勢(shì)函數(shù)相應(yīng)的=-V2(|)等位勢(shì)面dvdw

T + —

dxdydz=-V2(|)等位勢(shì)面2、等位勢(shì)面某一時(shí)刻t： y,z）=Const對(duì)"取全微分d卜竺辦+絲dy+絲女一。辦+的+屹）=0dxdydzV4>-dr=0v-dr=00（￥,y,z）=。處處與速度相垂直 等勢(shì)線(xiàn)y）=c

1、2、流函數(shù)若流動(dòng)是無(wú)輻散（不可壓縮）和二維（平面），即水平無(wú)輻散dudv八+=1、2、流函數(shù)若流動(dòng)是無(wú)輻散（不可壓縮）和二維（平面），即水平無(wú)輻散dudv八+=0dxdy則可定義流函數(shù)v(x,y,t)dvu=— dydvv= dx相應(yīng)地流函數(shù)等值線(xiàn)dvdud叩S=——一——=dxdydx2+*"VW某一時(shí)刻t：v（x,y）=C 曲線(xiàn)t=t0,中G,y,z）=C 等勢(shì)面曲面）取全微分：dv=dVdx+華dy=0dx dydxdyvdx—udy=0 n——=——uv說(shuō)明：流函數(shù)等值線(xiàn)就是流線(xiàn)流線(xiàn)不一定是流函數(shù)等值線(xiàn)！必須滿(mǎn)足無(wú)輻散、平面3、3、流函數(shù)與體積流量的關(guān)系通過(guò)AB兩點(diǎn)間單位時(shí)間的流量——q=通過(guò)AB兩點(diǎn)間單位時(shí)間的流量——q=jBvdl n=kx—An dldl=idx+jdyn=kx(—dx+jdy)/dl=^jdx—idy)/dl=Gidy+jdx)idl(")-ui+vj人n=(-udy+vdx)/dl—?—?v=v-n=bb bdvi,dv|q=JBvdl=B—udy+vdx=JB―—dy+ dx=ana adydx三、二維流動(dòng)一般的二維流動(dòng)，既不是無(wú)旋也不是無(wú)輻散S—機(jī)_如莉*dxdydudvD—一+一*0dxdy—?—?—?v—v+V?其中d?dxd；其中d?dxd；— dydudvD—一+一—-V2?dxdyTOC\o"1-5"\h\z_dys-空—坐—V2寸》［七=一0dxdy dyv— 、ydx， d；dyu———— n< dxdyI d；dyv———+ dydx第二章基本方程流體運(yùn)動(dòng)同其他運(yùn)動(dòng)一樣，同樣遵循質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章將導(dǎo)出描述流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程和能量方程?！?.連續(xù)方程流體的連續(xù)方程是說(shuō)明流體運(yùn)動(dòng)和其質(zhì)量分布的關(guān)系式，它是按質(zhì)量守恒定律建立起來(lái)的。一、Lagrange觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程流體塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化，但其質(zhì)量是守恒不變的。既=&街亥8m=p既—(8m)=0dt—(p8i)=0n8c—p+p(—L=0—t —t—tdp 1 —St 1—St —一du dv dwn-^+p =0 其中 =V-v=一+一+一 體脹速度dt 8t dt 8tdt dx dy dzn^-+pV-v=0 Lagrange連續(xù)方程dtV-v>0n流體體積增大n也<0n流體局地密度減小dtV-v<0n流體體積減小n空〉0n流體局地密度增大dtV-V=0n流體體積不變n亞=0n流體局地密度不變dtdpv v?——+v-Vp+pV-v=0dt竺+V-(pV)=0dtnd￡=-V?M流體通量dt

（1） V-pv>0n有流體流出n史<0n流體局地密度減小dt（2） ?-pv<0n有流體流入n空〉0n流體局地密度增大（3） V-pv=0n流體無(wú)出入n①=0n流體局地密度不變&二、自由表面的流體連續(xù)方程通常把自然界中水面與空氣面的交界面稱(chēng)為水面或水表面通常把自然界中水面與空氣面的交界面稱(chēng)為水面或水表面在流體中選取一個(gè)以&禽為底的方在流體中選取一個(gè)以&禽為底的方當(dāng)水面向某處匯集，該處水面將被擁擠而升高。反之，當(dāng)該處有水向四周散開(kāi)，該處水面將降低。因流動(dòng)而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面，稱(chēng)為自由表面。假設(shè)流團(tuán)密度為p=pG,y,zt），考慮流體運(yùn)動(dòng)為二維，即滿(mǎn)足①=0，9=0并dz選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，取流向方向?yàn)閤軸正方向，設(shè)流體自由表面高度h，且h=h（x,y,t），即h在各處高低不同且可以隨時(shí)間變化。形柱體，該柱體是一個(gè)固定不動(dòng)的空間區(qū)域，稱(chēng)為控制區(qū) Euler觀點(diǎn)考慮柱體內(nèi)流體的質(zhì)量為8m=jh（p8x8y*0經(jīng)流體柱后側(cè)流入的流體質(zhì)量應(yīng)為:jh（pu8y》z0TOC\o"1-5"\h\z經(jīng)流體柱前側(cè)流出的質(zhì)量為：jh（pu8yk+—rfh（pu8y足］&0 辦L0 」流出質(zhì)量減去流入質(zhì)量，可以得到柱體內(nèi)的凈流出量，等于柱體內(nèi)質(zhì)量的減少量，即：_￡jh（p8x8yk=E「jh（pu8y?z］板at0 辦l0 」由于上式積分中的上限h為x,y,t的函數(shù)，根據(jù)可變上限的積分規(guī)則：dja（）f（X,t）dx=f^（）f（X,t認(rèn)+flaQt］業(yè)-f舄）t性dt氐） 品）t dt dt

對(duì)上式兩邊展開(kāi)，左邊為：--J力(pSxSy無(wú)=-j"^^bzdxdy—p空％x5y=—j力①&&禽-P竺&禽dto oSt dt oSt hdt右邊為：=&8y|7hpdudz+o SxjhuSP8z+Shpu0dx SxhTOC\o"1-5"\h\z—rjhG"8y=&8y|7hpdudz+o SxjhuSP8z+Shpu0dx Sxh消去5x5y:竺p+jh&+竺pu+jhSpu5z+(jhpdz=oSthoSt SxhoSx \o JSx由連續(xù)方程，得jhfSp+uSpk=oo{St SxSh ShSh Sh^^—+u+St Sx值johpdz =。hSuSx￡jhdr =h的勻流體）phoPz[th自由面附近或淺層流體）Sh Sh[Su八X:——+u——+h——=oSt Sx Sx自由表面連續(xù)方程：竺+V-（hv）=oSt§2.作用于流體的力應(yīng)力張量牛頓第二定律：物體宏觀運(yùn)動(dòng)（加速度）一一作用于物體的力一、作用于流體的力分析對(duì)象：流體中以界面。包圍的體積為，的流體塊流體的作用力質(zhì)量力流體的作用力質(zhì)量力表面力質(zhì)量力（體力）：是指作用于所有流體質(zhì)點(diǎn)的力，如重力、萬(wàn)有引力和電磁力等。（1） 質(zhì)量力是長(zhǎng)程力：它隨著相互作用的元素之間的距離的增加而減小，對(duì)于一般流體的特征運(yùn)動(dòng)距離而言，均能顯示出來(lái)。（2） 它是一種分布力，分布于流體塊的整個(gè)體積內(nèi)，流體塊所受的質(zhì)量力與其周?chē)渌黧w的存在并無(wú)關(guān)系。二 一8f'如果F表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力，規(guī)定其為：F=lim-8m^oom式中8戶(hù)是作用在質(zhì)量8m的流體塊上的質(zhì)量力，不難看出，戶(hù)可以看做是質(zhì)量力的分布密度。通過(guò)體積分，作用于體積是匚的流體塊上的質(zhì)量力是 ?fflpF&T表面力：是指流體內(nèi)部之間或流體與其他物質(zhì)之間的接觸面上所受到的相互作用力，如流體內(nèi)部的黏性應(yīng)力和壓力，流體與固體接觸面上的摩擦力和壓力等。（1） 表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間距離增加而迅速減弱，只有在相互作用元素之間的距離與分子距離同量級(jí)時(shí)，表面力才顯現(xiàn)出來(lái)。（2） 根據(jù)作用力與反作用力原理，流體塊內(nèi)各部分之間的表面力都是互相作用而互相抵消，只有處于界面上的流體質(zhì)點(diǎn)所受的、由界面外側(cè)流體所施加的表面力存在。（3） 表面力也是一種分布力。- 5p'定義單位面積上的表面力為：P=lim藤83Ob其中弗'是作用于某個(gè)流體面積8。上的表面力，通過(guò)面積分，某流體塊與周?chē)黧w接觸面b上所受到的表面力為Updbb質(zhì)量力與表面力的比較—-質(zhì)量力與表面力有著本質(zhì)差別。本質(zhì)上，矢量F是質(zhì)量力的分布密度，它是時(shí)間點(diǎn)和空間點(diǎn)的函數(shù)，因而構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。而矢量P為流體的應(yīng)力矢量，它不但是時(shí)間點(diǎn)和空間點(diǎn)的函數(shù)，并且在空間的每一點(diǎn)還隨著受力面元的取向不同而變化，所以要確定應(yīng)力矢P，必須考慮點(diǎn)的矢徑-,，該點(diǎn)受力面元的方向（或者說(shuō)面元的法向單位矢n）以及時(shí)間t。確切地說(shuō)應(yīng)力矢量是兩個(gè)矢量（-,n）和一個(gè)標(biāo)量t的函數(shù)，即pG,-"）。二、應(yīng)力張量取流體四面體體元M-ABC，三角形ABC為其底面，這個(gè)四面體是由一個(gè)斜面和三個(gè)坐標(biāo)面相交而成的，其底面積為8。n，跟坐標(biāo)面平行的三個(gè)側(cè)面面積

分別為8七,5q,和8b'，首先分析四面體元M-ABC所受到的力，其受到質(zhì)量力—?Fm，四個(gè)側(cè)面受到的表面力分別為p8b,p8b,p8b,p8b。nn-xx-yy-z z按照牛頓第二定律，可得:說(shuō)明：應(yīng)力矢量的下標(biāo)取其受力面元的外法向，并規(guī)定為外法線(xiàn)方向流體對(duì)另一部分流體的作用應(yīng)力。按照牛頓第二定律，可得:應(yīng)力分量Pj的物理含義：第一個(gè)下標(biāo)表示面元的外法線(xiàn)方向（且規(guī)定應(yīng)力為外法線(xiàn)方向流體對(duì)另一部分流體的作用；第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力所投影的方向?！猟^ —c—c—c—c—c——8m=F8m+p8b +p 8b +p8b +p 8bdt nn -x x一yy一，v根據(jù)作用力與反作用力原理：——d^ —C—C—C—C—C—8m=F8m+p8b-p8b-p8b-p8bdt nnxxyyzz當(dāng)四面體元向內(nèi)收縮時(shí)，即8m-0時(shí)，p8b=p8b+p8b+p8bnnxxyyzz上式為作用于小四面體元的應(yīng)力矢量之間的相互關(guān)系。考慮到面元間的關(guān)系：'8b=8bcos。,x^=n8b<8b=8bcos（n,y）=n8b8b=8bcos。,z^=n8bn zn于是，p8b=p8b于是，+p8by—?++p8by—?+py8b可以改寫(xiě)為—— —— ——p=np+npn xx y——+np—(pxxpxyp'xzP=pyxpyypyz[ppp)zxzyzz引進(jìn)應(yīng)力張量:利用應(yīng)力張量，可將p=nP+nP+nP改寫(xiě)成：nxxyyzz>p=n-P另外，應(yīng)力矢量Pn也可以表示為：> > *p=ip+jp+kpnnxnynz以上分析表明：對(duì)于以n為外法線(xiàn)方向面元上的應(yīng)力矢量pn，可以用三個(gè)坐標(biāo)面平行的應(yīng)力矢量px,py和pz進(jìn)行線(xiàn)性表示，也可以將其表示為沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量形式pnx，Pny，pnz的組合。通常應(yīng)力矢量也可以表示為：—? —? —?p=pn+pt法應(yīng)力為Pnn=pn-n，PnT為切應(yīng)力。三、應(yīng)力張量與流體運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系流體中的應(yīng)力與流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（主要是形變率）之間有著非常密切的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)有兩無(wú)界平行平板間的黏性流體運(yùn)動(dòng)，保持下板不動(dòng)，使上板以速度U作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)表明，兩平板上的流體質(zhì)點(diǎn)黏附在平板上，隨平板一起運(yùn)動(dòng)。因此，下平板的流體處于靜止，上平板的流體速度為U，且流體的流速隨距上板距離的增加而減小。經(jīng)過(guò)實(shí)踐測(cè)定此流動(dòng)中黏性應(yīng)力處處相同，與速度梯度成正比：T/h牛頓歸納上述實(shí)驗(yàn)，提出牛頓黏性定律：T女=日牛式中U稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)黏性系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)黏性系數(shù)。一般情況下，需以流體的切形變率代替上式的速度梯度。對(duì)確定地流體，切應(yīng)力與切形變率成正比，不論流體的黏性如何，只要流體無(wú)切形變就無(wú)黏性應(yīng)力存在。其中?0其中?0* -( 2 -\-P=2"-p ydivVI，I3 )

§3.§3.運(yùn)動(dòng)方程一、流體的運(yùn)動(dòng)方程在運(yùn)動(dòng)流體中選取一小六面體體元，其邊長(zhǎng)&,5j,8z小體元運(yùn)動(dòng)時(shí)，周?chē)黧w通過(guò)6個(gè)表面有表面力的作用。通過(guò)六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿x向的表面力分別為：前后側(cè)面：小體元運(yùn)動(dòng)時(shí)，周?chē)黧w通過(guò)6個(gè)表面有表面力的作用。通過(guò)六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿x向的表面力分別為：前后側(cè)面：p+役xxSx5ySz和p SySzIxx dx )-p^Sy|Sx8z和p SxSzkyx dy ) -yx^zrSz^SxSy和p SxSy-zx右左側(cè)面：p+上下側(cè)面：|p+ -.因此，周?chē)黧w通過(guò)側(cè)面作用于小體元的x向表面力*力為:-xx5x5x5y5zkdx dy dz)小六面體體元運(yùn)動(dòng)時(shí)，還受到質(zhì)量力的作用，并且小體元所受x向質(zhì)量力為FpSxSySzx考慮小體元沿x方向的運(yùn)動(dòng)加速度為空，根據(jù)牛頓第二定律，則dtTOC\o"1-5"\h\z—p&xSySz=FpSxSySz+[-^-x^+^yx+^^SxSySzdt xk必 dy dz/可以化簡(jiǎn)為性二F+1(也+吐+也、dtxp"dx dy dz/d^ 1(dp=F+—d^ 1(dp=F+—