第七隨機變量的數字特征

第七隨機變量的數字特征第1頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月

3、在檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質量就較好。從上面的例子看到，與隨機變量有關的某些數值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征。隨機變量的數字特征就是用數字表示隨機變量的分布特點，在理論和實踐上都具有重要的意義。第七章隨機變量的數字特征第2頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章隨機變量的數字特征

數學期望方差和標準差協(xié)方差和相關系數切比雪夫不等式及大數定理中心極限定理第3頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望從平均數說起，設以數據集

{2，3，2，4，2，3，4，5，3，2}為總體，求其平均數（設為μ）μ=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10=（2×4+3×3+4×2+5×1）/10=2×4/10+3×3/10+4×2/10+5×1/10=3概括得：第4頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望下面我們逐步分析如何由分布來求“均值”：（1）算術平均：如果有n個數x1,x2,…,xn，那么求這n個數的算術平均，只需將此n個數相加后除以n，即

（2）加權平均：如果這n個數中有相同的，不妨設其中有ni

個取值為xi(i=1,2,…,k)，列表為

頻率頻數取值第5頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望其實，這個“加權”平均的權數ni/n就是出現數值xi的頻率，而頻率在n很大時，就穩(wěn)定在其概率附近。（3）對于一個離散隨機變量X，如果其可能取值為x1,x2,…,xn，若將這n個數相加后除以n作為“均值”，則肯定是不妥的，原因在于X取各個值的概率是不同的，概率大的出現的機會就大，在計算中其權數就應該大。用取值的概率作為一種“權數”作加權平均是十分合理的。第6頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望1.定義

設離散隨機變量X的分布律為

一、離散型隨機變量的數學期望為隨機變量X的數學期望，或稱為該分布的數學期望，簡稱期望或均值。

若級數不收斂,則稱X的期望不存在。如果則稱XPx1x2…xn…p1p2…pn…第7頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望(1)X的期望E(X)是一個數，它形式上是X的可能值的加權平均，其權重是其相應的概率，實質上它體現了X取值的真正平均，為此我們又稱它為X的均值。因為它完全由X的分布所決定，所以又稱為分布的平均值。(2)E(X)作為刻劃X的某種特性的數值，不應與各項的排列次序有關。所以，定義中要求級數絕對收斂。注釋第8頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月所以A的射擊技術較B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098擊中環(huán)數BA射手名稱例:有甲，乙兩射手，他們的射擊技術如表所示，試問哪一個射手本領較好？解甲射擊平均擊中環(huán)數為乙射擊平均擊中環(huán)數為第9頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:某人有10萬元現金，想要投資于某項目，余估成功的機會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元，若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資？解設x為投資利潤，則E(X)=8×0.3-0.7×2=1(萬元)x8-2p0.30.7存入銀行的利息10×5%=0.5（萬元）故應選擇投資第10頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設隨機變量x服從參數為n，p二項分布，其分布律為（k=0,1,2，……）（0<p<1）則有當n=1時x服從二點分布b（l，p）的數學期望為p第11頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例泊松分布設x~p（），且分布規(guī)律為則有第12頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例幾何分布設隨機變量x的分布律為則有第13頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設有某種產品投放市場，每件產品投放可能發(fā)生三種情況：按定價銷售出去，打折銷售出去，銷售不出去而回收。根據市場分析，這三種情況發(fā)生的概率分別為0.6，0.3，0.1。在這三種情況下每件產品的利潤分別為10元，0元，－15元（即虧損15元）。問廠家對每件產品可期望獲利多少？解:設X表示一件產品的利潤（單位元），X是隨機變量，且X的分布律為X100-15P0.60.30.1

依題意，所要求的是X的數學期望

E(X)=10×0.6+0×0.3+(-15)×0.1=4.5(元)第14頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望2.幾種典型的離散型隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望i.X服從參數為p的(0,1)分布：

ii.若Xb(n,p),則E(X)=np；證明：X的分布律為E(X)=0×(1-p)+1×p=p；X

0

1

P

q

p

第15頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望2.幾種典型的離散型隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望iii.若XP(λ)，則E(X)=λ。

證明：X的分布律為第16頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望二、連續(xù)型隨機變量的數學期望1.定義

設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，

如果則稱

為隨機變量X的數學期望，記為E(X).第17頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設隨機變量X的概率密度函數為試求X的數學期望解第18頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例顧客平均等待時間設顧客在某銀行的窗口等待時間的服務的時間x（以分記）服從指數分布，其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間？解因此顧客平均等待5分鐘就可得到服務第19頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望二、連續(xù)型隨機變量的數學期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數學期望

i.若XU(a,b),則E(X)=(a+b)/2.證：X的概率密度為均勻分布結論：均勻分布的數學期望位于區(qū)間的中點第20頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數學期望二、連續(xù)型隨機變量的數學期望證：X的概率密度為ii.若X服從參數為λ的指數分布，則E(X)=1/λ

.第21頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望二、連續(xù)型隨機變量的數學期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數學期望證：X的概率密度為iii.正態(tài)分布若XN(μ,σ2)，則E(X)=μ.特別地，若XN(0,1)，則E(X)=0.第22頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望三、隨機變量的函數的數學期望定理設Y是隨機變量X的函數:Y=g(X)(g是連續(xù)函數)，(1)X是離散型隨機變量，它的分布律為P{X=xk}=pk

，k=1，2，…，若絕對收斂，則有(2)

X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)，若絕對收斂，則有第23頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例先求014PP2P1+P3P4則有第24頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例已知隨機變量的分布律如下求解0.20.10.10.30.3-2-1012

0.20.10.10.30.30.10.40.5014對相同的值合并，并把對應的概率相加，可得所以或的數學期望。的分布律為第25頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例：某公司生產的機器其無故障工作時間X有密度函數公司每出售一臺機器可獲利1600元,若機器售出后使用1.2萬小時之內出故障,則應予以更換,這時每臺虧損1200元;若在1.2到2萬小時之間出故障,則予以維修,由公司負擔維修費400元;在使用2萬小時以后出故障,則用戶自己負責.求該公司售出每臺機器的平均獲利.解:設Y表示售出一臺機器的獲利.則第26頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望三、隨機變量的函數的數學期望

定理:設Z是隨機變量X,Y的函數Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數).(1)設二維隨機向量(X,Y)的分布律為(2)設二維隨機向量(X,Y)的分布密度為f(x,y),若若則則第27頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解

XY

123

010.10.150.25

0.250.150.1

第28頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月Yx123-10.20.1000.10310.10.10.1例設（x，y）的分布規(guī)律為求E(X),E(Y),E(Y/X),X123P0.40.20.4解：X的分布規(guī)律得Y的分布律為得Y-101P0.30.40.3第29頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月由于于是得P0.20.10.10.10.10.30.1(x,y)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)y/x-101-1/21/201/3P0.20.10.10.10.10.30.1(x,y)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)4109194第30頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(X，Y)服從A上的均勻分布,其中A為由x軸，y軸及直線x+y/2=1圍成的平面三角形區(qū)域,求E(XY)x+y/2=1201xy解：第31頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望四、數學期望的性質1.若C是常數,則E(C)=C.2.設X,Y是兩個隨機變量,若E(X),E(Y)存在,則對任意的實數a、b,E(aX+bY)存在,且有

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)3.設X,Y是互相獨立的隨機變量,則有

E(XY)=E(X)E(Y)性質2、3都可推廣到有限個互相獨立的隨機變量之積的情況.第32頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以x表示停車的次數，求E（x）（設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車相互獨立）解：引入隨機變量xi則i=1,2，……10由此第33頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望四、數學期望的性質性質2E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)證明(1)設離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊緣分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則第34頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望四、數學期望的性質性質2E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(2)設連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x),fY(y)則第35頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望四、數學期望的性質性質3如X,Y是互相獨立,則E(XY)=E(X)E(Y)證明(1)設離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則第36頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1隨機變量的數學期望四、數學期望的性質性質3如X,Y是互相獨立,則E(XY)=E(X)E(Y)(2)設連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x),fY(y)則第37頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例：將n個球隨機地放入M個盒子中去，設每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數X的期望解：記i=1,2,…,M,則P(第i個盒無球)因而第38頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:拋擲6顆骰子，X表示出現的點數之和，求E(X).從而由期望的性質可得

練習第39頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例你知道自己該交多少保險費嗎？根據生命表知，某年齡段保險者里，一年中每個人死亡的概率為0.002，現在有10000個這類人參加保險，若在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金。問每個人一年需交保險費多少元？解：設1年中死亡人數為x，則x~b（10000,0.002）被保險人所的賠償金的期望值應為若設每人一年需交保險費為a元由被保險人交的“純保險費”與他們所能得到的賠償的期望值相等時故每人一年應向保險公司交保險費4元。第40頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差引例有兩批鋼筋(每批10根)它們的抗拉強度為：第一批110,120,120,125,125,125,130,130,135,140第二批90,100,120,125,125,130,135,145,145,145可以計算出兩批數據的平均數都是126,但直觀上第二批數據與平均數126有較大的偏離因此,欲描述一組數據的分布,單單有中心位置的指標是不夠的,尚需有一個描述相對于中心位置的偏離程度的指標.通常可用E[X-E(X)]2描述相對于期望的偏離第41頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差一、方差的定義

定義設X是一個隨機變量，若E[X-E(X)]2存在，則稱E[X-E(X)]2為X的方差，記為D(X)，即:D(X)=E[X-E(X)]2注釋：(1)方差是隨機變量X與其“中心”E(X)的偏差平方的平均。它表達了X的取值與其期望值E(X)的偏離程度。若X取值較集中，則D(X)較小，反之，若取值較分散，則D(X)較大。(2)應用上，常用量，稱為標準差或均方差，記為(X)=。第42頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差二、方差的計算公式

方差實際上是隨機變量X的函數g(X)=[X-E(X)]2的數學期望.于是(1)對于離散型隨機變量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…則(2)對于連續(xù)型隨機變量X,若其概率密度為f(x),則第43頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差二、方差的計算公式(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2

證明：D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2-2X·E(X)+[E(X)]2)=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第44頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差三、常見分布的方差1.（0-1）分布的方差定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,則D(X)=pq.證明X

0

1

P

q

p

第45頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差三、常見分布的方差2.二項分布的方差定理:若隨機變量X服從二項分布X~B(n,p),則

D(X)=npq.證明第46頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差三、常見分布的方差3.泊松分布的方差定理：設隨機變量X服從泊松分布X~P(λ),則D(X)=λ.證明第47頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差三、常見分布的方差4.均勻分布的方差定理:設隨機變量X服從均勻分布X~U(a,b),則

D(X)=(b-a)2/12.證明第48頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差三、常見分布的方差5.指數分布的方差定理:設隨機變量X服從參數為λ的指數分布,則證明第49頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差三、常見分布的方差6.正態(tài)分布的方差定理:設隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2),則

D(X)=σ2證明第50頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差常見分布的期望和方差表第51頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差四、方差的性質假定以下所遇到的隨機變量的方差存在:(1)設C是常數，則D(C)=0；(2)設X是隨機變量，a是常數，則D(aX)=a2D(X),從而

D(aX+b)=a2D(X)；(3)設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有

D(XY)=D(X)+D(Y)；(2)證:D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}=E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}=E{[aX-E(aX)]2}=E{[a(X-E(X))]2}=a2E{[X-E(X)]2}=a2D(X)第52頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差

由于X，Y相互獨立，X－E(X)與Y－E(Y)也相互獨立，由數學期望的性質，

2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0

于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y).四、方差的性質(3)證:D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}

+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}這一性質可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況。

第53頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2方差和標準差四、方差的性質若相互獨立，為常數則若X,Y相互獨立第54頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設X1,X2,…,Xn獨立同分布，E(X)=μ,D(X1)=σ2.記若用X1,X2,…,Xn表示對某物件重量的n次重復測量的誤差,而σ2為測量誤差大小的度量，公式表明n次重復測量的平均誤差是單次測量誤差的1/n，換言之，重復測量的平均精度比單次測量的精度高.證明:證注第55頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月已知

X的概率密度函數為其中

A,B

是常數，且E(X)=0.5.

求

A,B.

設Y=X2,求

E(Y),D(Y)練習第56頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)第57頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)第58頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設隨機變量x具有概率密度

求D（x）解：方差D（x）作為分散程度的一個指標，有一個缺陷，即方差的單位是x單位的平方，為單位一致，常用衡量分散程度的另一指標標準差第59頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月一般的稱為x的k階原點矩，稱為x的k階中心距，其中k為正整數。例如期望E(x)是一階原點矩，方差D(x)是二階中心距。實際應用中，高于4階的矩很少使用，三階中心距主要用來衡量隨機變量的分布是否有偏。四階中心距主要用來衡量隨機變量的分布在均值附近的陡峭程度如何。D（x）大，E(x)的代表性差，D（x）值小，E(x)代表性好。第60頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數引言

對于二維隨機向量(X,Y)來說,數學期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對X與Y之間相互關系不提供任何信息.

但二維隨機向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律,也包含有X與Y之間關系的信息.我們希望有一個數字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.第61頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數一、協(xié)方差定義：設二隨機向量(X,Y)的數學期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]若X，Y為連續(xù)型隨機變量(1)用定義求：若X，Y為離散型隨機變量

計算

第62頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數一、協(xié)方差①協(xié)方差有計算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(2)用公式求證由協(xié)方差的定義及數學期望的性質，得第63頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數一、協(xié)方差②任意兩個隨機變量X與Y的和的方差

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(2)用公式求證由方差公式及協(xié)方差的定義，得第64頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設（X，Y）有聯(lián)合分布律YX01∑∑011/41/41/31/67/125/121/21/21求cov(X，Y）.解E（X）=0×1/2+1×1/2=1/2E（Y）=0×7/12+1×5/12=5/12E（XY）=1×1/6=1/6cov(X,Y)=E（XY）-E（X）E（Y）=1/6-5/24=1/24第65頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(X，Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，求cov(X,Y)

Y～N(μ2,σ22)，解:X～N(μ1,σ12),E(X)=μ1,D(X)=σ12；E(Y)=μ2,D(X)=σ22；令第66頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數一、協(xié)方差(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；(3)Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)，a,b,c,d為常數；(2)Cov(X,X)=D(X)；性質

證Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)證Cov(aX+b,cY+d)=E[(aX+b-E(aX+b))(cY+d-E(cY+d))]=E{[a(X-E(X))][c(Y-E(Y))]}=acE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=acCov(X,Y)第67頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數二、相關系數定義:設二維隨機變量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,協(xié)方差Cov(X,Y)均存在,則稱為隨機變量X與Y的相關系數或標準協(xié)方差.

一般地，數學期望為0，方差為1的隨機變量的分布稱為標準分布，故ρXY又稱為標準協(xié)方差。第68頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數二、相關系數性質1.|ρXY|≤1；3.|ρXY|=1，稱之為X與Y完全相關，其充要條件為,存在常數a,b使得P{Y=aX+b}=1.2.ρXY=0，稱之為X與Y不相關；意義:|ρXY|=1當且僅當Y跟X幾乎有線性關系。這在一定程度上說明了相關系數的概率意義。ρXY并不是刻畫X，Y之間的“一般”關系，而只是刻畫X，Y之間線性相關的程度。說明：假設隨機變量X，Y的相關系數ρXY存在，當X與Y相互獨時,ρXY=0,即X與Y不相關，反之若X與Y不相關，X與Y卻不一定相互獨立。第69頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數二、相關系數oXYoooXXXYYY0<ρ<1-1<ρ<0ρ=1ρ=-1相關情況示意圖第70頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月XY-10100.070.180.1510.080.320.20解X與Y的分布律分別為X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6例：二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如下表，求，第71頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月解

第72頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(X,Y)服從二元正態(tài)分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，則因為(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)且，所以證(1)必要性X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)所以故X與Y相互獨立第74頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月證(2)充分性因為X,Y相互獨立所以,f(x,y)=f(x)f(y)所以ρ=0第75頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月小結：結論1：X與Y相互獨立

ρXY=0X與Y不相關；

反之，ρXY=0不能推出X與Y相互獨立。結論2：對任意X與Y，以下結論等價

ρXY=0Cov(X,Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)。結論3：若(X，Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，則X與Y相互獨立

ρXY=0X與Y不相關。7.3協(xié)方差與相關系數第76頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數三、隨機變量的矩

定義:設X和Y是隨機變量,(1)若E(Xk)(k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階原點矩,簡稱k階矩.(2)若E{[X-E(X)]k}(k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階中心矩.例如：期望是一階原點矩，方差D（X）是二階中心矩(3)對正整數k與l，稱E(XkYl)為X和Y的k+l階混合矩；(4)若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。第77頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數三、隨機變量的矩

協(xié)方差的計算公式性質第78頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數三、隨機變量的矩

相關系數的性質結論（1）二維正態(tài)分布密度函數中，參數代表了x與y的相關的系數（2）二維正態(tài)隨機變量x與y相關系數為零等價于x與y相互獨立。第79頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設，試求x與y的相關系數。

解：由第80頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月故于是結論（1）二維正態(tài)分布密度函數中，參數代表了x與y的相關的系數（2）二維正態(tài)隨機變量x與y相關系數為零等價于x與y相互獨立。第81頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例已知隨機變量x，y分別服從N（1,3^2）,N(0,4^2)，

設z=x/3+y/2（1）求z的數學期望與方差（2）求x與z的相關系數（3）問x與z是否相互獨立？為什么？解：1）由E（x）=1，D（x）=9，E（y）=0，D（y）=16

得第82頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月2）故3）由二維正態(tài)隨機變量相關系數為零和相關獨立兩者是等價的結論，可知x與z是相互獨立的。注意：1）不相關與相互獨立的關系2）不相關的充要條件：

第83頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數三、隨機變量的矩

推廣對于n維隨機向量(X1,X2,…,Xn),把向量(X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并記為X，即X=(X1,X2,…,Xn)。定義設X=(X1,X2,…,Xn)

為n維隨機向量,并記μi=E(Xi)，則稱μ=(μ1,μ2,…,μn)為向量X的數字期望或均值，稱矩陣為向量X的協(xié)方差矩陣。第84頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3協(xié)方差與相關系數cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]},第85頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求X和Y的協(xié)方差矩陣.解第86頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4切比雪夫不等式及大數律(1)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數.(2)在實踐中人們還認識到大量測量值的算術平均值也具有穩(wěn)定性.現象：第87頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4切比雪夫不等式及大數律一、伯努利大數律

設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列,具有相同的數學期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),則對于任意給定的ε>0,恒有其中若上式對任何ε>0成立，則稱依概率收斂于μ，且可表示為第88頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4切比雪夫不等式及大數律一、伯努利大數律例如:意思是:當a而意思是:時,Xn落在內的概率越來越大.,當第89頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4切比雪夫不等式及大數律切比雪夫(Chebyshev)不等式:

設隨機變量X具有數學期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對于任意正數ε,有二、切比雪夫(Chebyshev)不等式第90頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4切比雪夫不等式及大數律證明(1)設X的概率密度為p(x),則有(2)設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk,則有二、切比雪夫(Chebyshev)不等式第91頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標準差為2度,試估計住房溫度與平均溫度的偏差的絕對值小于4度的概率的下界.解第92頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月例設隨機變量相互獨立，且有如下分布律是否滿足切比雪夫定理？解：獨立性依題意可知，檢驗是否具有數學期望說明每一個隨機變量都具有數學期望，檢驗是否具有有限方差說明離散型隨機變量有有限方差-na0NaPP第93頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4切比雪夫不等式及大數律三、切比雪夫(Chebyshev)大數定律

設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列,具有數學期望E(Xi)和方差D(Xi)[i=1,2,...].若存在常數C,使得D(Xi)≤C(i=1,2,…),則對于任意給定的ε>0,恒有證明第94頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5中心極限定理

在一定條件下,許多隨機變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個隨機變量X可以看著許多微小而獨立的隨機因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導作用,則X一般都可以認為近似地服從正態(tài)分布.”

例如對某物的長度進行測量,在測量時有許多隨機因素影響測量的結果.如溫度和濕度等因素對測量儀器的影響,使測量產生誤差X1;測量者觀察時視線所產生的誤差X2;測量者心理和生理上的變化產生的測量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機的,而且相互沒有影響.測量的總誤差是上述各個因素產生的誤差之和,即∑Xi.第95頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5中心極限定理

一般地,在研究許多隨機因素產生的總影響時,很多可以歸結為研究相互獨立的隨機變量之和的分布問題,而通常這種和的項數都很大.因此,需要構造一個項數越來越多的隨機變量和的序列:

我們關心的是當n→∞時,隨機變量和∑Xi的極限分布是什么?第96頁，課件共106頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5中心極限定理

設隨機變量X1,X2,…,Xn是n個相互獨立且每個都服從(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p),現在來求Yn=X1+X2+…+Xn這里每個Xi只能取0，1，的分布Yn只能取0，1，…，n即Yn服從B（n,p）第97頁，課件共106頁，創(chuàng)作于202