2023年湖北省數(shù)學(xué)中考試題匯編方程與不等式（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.(2023·湖北省隨州市)如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線則下列結(jié)論正確的有()

；

；

方程的兩個(gè)根為，；

拋物線上有兩點(diǎn)和，若且，則．

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

2.(2023·湖北省黃岡市)已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列論中；；若點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；若為任意實(shí)數(shù)，則；方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且，則，正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.B.C.D.

3.(2023·湖北省)若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則()

A.或B.或C.D.

4.(2023·湖北省十堰市)為了落實(shí)“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球已知每個(gè)籃球的價(jià)格比每個(gè)足球的價(jià)格多元，用元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用元購進(jìn)足球的數(shù)量多個(gè)如果設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為元，那么可列方程為()

A.B.

C.D.

5.(2023·湖北省隨州市)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修千米，乙工程隊(duì)需要修千米已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，則可列出方程為()

A.B.C.D.

6.(2023·湖北省宜昌市)某校學(xué)生去距離學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的倍，汽車的速度是()

A.B.C.D.

7.(2023·湖北省鄂州市)已知不等式組的解集是，則()

A.B.C.D.

8.(2023·全國)不等式組的解集是()

A.B.C.D.

9.(2023·湖北省宜昌市)解不等式，下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是()

A.B.

C.D.

10.(2023·湖北省黃岡市)不等式的解集為()

A.B.C.D.無解

二、填空題（本大題共4小題）

11.(2023·湖北省武漢市)我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作九章算術(shù)記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程單位：步關(guān)于善行者的行走時(shí)間的函數(shù)圖象，則兩圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．

12.(2023·湖北省隨州市)已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，則的值為______．

13.(2023·湖北省宜昌市)已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值為______．

14.(2023·湖北省黃岡市)已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，則實(shí)數(shù)______．

三、解答題（本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.(2023·湖北省宜昌市)

為紀(jì)念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽個(gè)，肉粽個(gè)，共付款元，已知肉粽單價(jià)是豆沙粽的倍．

豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額

小歡媽媽

小樂媽媽

求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；

超市為了促銷，購買粽子達(dá)個(gè)及以上時(shí)實(shí)行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量單位：個(gè)和付款金額單位：元；

根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)；

為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成，兩種包裝銷售，每包都是個(gè)粽子包裝成本忽略不計(jì)，每包的銷售價(jià)格按其中每個(gè)粽子優(yōu)惠后的單價(jià)合計(jì)，兩種包裝中分別有個(gè)豆沙粽，個(gè)肉粽，包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，，兩種包裝的銷量分別為包，包，，兩種包裝的銷售總額為元求的值．

16.(2023·湖北省黃岡市)

創(chuàng)建文明城市，構(gòu)建美好家園為提高垃圾分類意識(shí)，幸福社區(qū)決定采購，兩種型號(hào)的新型垃圾桶若購買個(gè)型垃圾桶和個(gè)型垃圾桶共需要元，購買個(gè)型垃圾桶和個(gè)型垃圾桶共需要元．

求兩種型號(hào)垃圾桶的單價(jià)；

若需購買，兩種型號(hào)的垃圾桶共個(gè)，總費(fèi)用不超過元，至少需購買型垃圾桶多少個(gè)？

17.(2023·湖北)

已知關(guān)于的一元二次方程．

求證：無論取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求的值．

18.(2023·湖北省黃岡市)

加強(qiáng)勞動(dòng)教育，落實(shí)五育并舉孝禮中學(xué)在當(dāng)?shù)卣闹С窒拢ǔ闪艘惶巹趧?dòng)實(shí)踐基地年計(jì)劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成本單位；元與其種植面積單位：的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為元．

當(dāng)______時(shí)，元；

設(shè)年甲乙兩種蔬菜總種植成本為元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使最??？

學(xué)校計(jì)劃今后每年在這土地上，均按中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進(jìn)，預(yù)計(jì)種植成本逐年下降若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當(dāng)為何值時(shí)，年的總種植成本為元？

19.(2023·湖北省荊州市)

荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進(jìn)，兩種文創(chuàng)飾品對(duì)游客銷售已知元采購種的件數(shù)是元采購種件數(shù)的倍，種的進(jìn)價(jià)比種的進(jìn)價(jià)每件多元，兩種飾品的售價(jià)均為每件元；計(jì)劃采購這兩種飾品共件，采購種的件數(shù)不低于件，不超過種件數(shù)的倍．

求，飾品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購種超過件時(shí)，種超過的部分按進(jìn)價(jià)打折設(shè)購進(jìn)種飾品件，

求的取值范圍；

設(shè)計(jì)能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．

1.【答案】

【解析】解：拋物線開口向下，

，

拋物線交軸于正半軸，

，

，

，

，故正確；

拋物線對(duì)稱軸為直線，時(shí)，，

時(shí)，，

，故正確；

由可得方程的解，，

的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，

拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)為，

方程的兩個(gè)根為，，

，，

，

而若方程的兩個(gè)根為，，則，，故錯(cuò)誤；

拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，

若且，則點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離小于到直線的距離，

，故不正確．

故選：．

根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與軸交點(diǎn)位置判斷；由拋物線的對(duì)稱性可判斷；由二次函數(shù)與方程的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系可判斷；由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷．

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．

2.【答案】

【解析】解：拋物線經(jīng)過，

，正確，

，

拋物線開口向下，

點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，且點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離最大，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離最小，

，錯(cuò)誤；

，

，

，

，

拋物線的最大值為，

若為任意實(shí)數(shù)，則，

，正確；

方程的兩實(shí)數(shù)根為，，

拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，

由拋物線對(duì)稱性可得拋物線與軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，

拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，

拋物線開口向下，，

，，正確．

故選：．

由拋物線經(jīng)過可判斷，由各點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離大小可判斷從而判斷，由時(shí)取最大值可判斷，由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷．

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．

3.【答案】

【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，

，即，且，，

，

，即，

，即，

解得：或．

故選：．

利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出與，已知等式整理后代入計(jì)算即可求出的值．

此題考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為元，可列方程為：

．

故選：．

直接利用根據(jù)單價(jià)，表示出籃球與足球價(jià)格，再利用元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用元購進(jìn)足球的數(shù)量多個(gè)得出等式即可．

此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修千米，且甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，

乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米．

根據(jù)題意得：．

故選：．

根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)工作效率間的關(guān)系，可得出乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合乙工程隊(duì)所用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月，即可列出關(guān)于的分式方程，此題得解．

本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：設(shè)學(xué)生的速度為，

由題意可得：，

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意；

，

故選：．

設(shè)學(xué)生的速度為，根據(jù)一部分學(xué)生騎自行車先走，過了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．列出方程，即可求解．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：由，得：，

由，得：，

解集為，

，，

解得，，

則．

故選：．

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集得出、的值，代入計(jì)算可得．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：

由移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，

系數(shù)化為得：；

由移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，

系數(shù)化為得：，

則原不等式組的解集為：，

故選：．

首先解兩個(gè)不等式求得各自的解集，然后取它們解集的公共部分即可．

本題考查解一元一次不等式組，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．

9.【答案】

【解析】解：，

去分母得：，

去括號(hào)得：，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，

那么在數(shù)軸上表示其解集如圖所示：

，

故選：．

解不等式求得其解集，然后在數(shù)軸上表示其解集即可．

本題考查在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．

10.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

則不等式組的解集為，

故選：．

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】

【分析】

設(shè)善行者經(jīng)過分鐘追上，根據(jù)兩個(gè)人所行的路程差為步，列出方程解答即可．

此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

【解答】

解：設(shè)善行者經(jīng)過分鐘追上，

由題意得，

解得

步

即兩圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．

故答案為．

12.【答案】

【解析】解：關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，

，，

．

故答案為：．

直接利用根于系數(shù)的關(guān)系，，再代入計(jì)算即可求解．

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟記根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)解題關(guān)鍵．根與系數(shù)的關(guān)系：，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．

13.【答案】

【解析】解：，是方程的兩根，

，，

．

故答案為：．

利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，把兩根之和與兩根之積代入即可求出值．

此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，

，，

，

，

解得，

又方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，

解得，

綜合以上可知實(shí)數(shù)取值范圍是．

故答案為：．

把兩根之和與兩根之積代入已知條件中，求得的值，再根據(jù)根的判別式求得的取值范圍．最后綜合情況，求得的值．

此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．

15.【答案】解：設(shè)豆沙粽的單價(jià)為元，肉粽的單價(jià)為元；

由題意可得：，

解得：，

元，

答：豆沙粽的單價(jià)為元，肉粽的單價(jià)為元；

設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為元，

由題意可得：，

解得：，

答：豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為元；

由題意可得：，

解得：或，

，

，

．

【解析】設(shè)豆沙粽的單價(jià)為元，肉粽的單價(jià)為元，由購買豆沙粽個(gè)，肉粽個(gè)，共付款元，列出方程可求解；

設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為元，由題意列出方程組，即可求解；

由，兩種包裝的銷售總額為元，列出方程，即可求解．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：設(shè)型垃圾桶單價(jià)為元，型垃圾桶單價(jià)為元，

由題意可得：，

解得：，

答：型垃圾桶單價(jià)為元，型垃圾桶單價(jià)為元；

設(shè)型垃圾桶個(gè)，

由題意可得：，

，

答：至少需購買型垃圾桶個(gè)．

【解析】設(shè)型垃圾桶單價(jià)為元，型垃圾桶單價(jià)為元，根據(jù)購買個(gè)型垃圾桶和個(gè)型垃圾桶共需要元，購買個(gè)型垃圾桶和個(gè)型垃圾桶共需要元，列出二元一次方程組，即可求解；

設(shè)型垃圾桶個(gè)，根據(jù)總費(fèi)用不超過元，列出不等式，即可求解．

本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．

17.【答案】證明：

，

無論取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

解：該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，

，，

，

，

，

整理得：，

解得：，，

的值為或．

【解析】要證明方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明即可；

利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，再將變形可得，將，的代入可得關(guān)于的一元二次方程，求解即可．

本題主要考查一元二次方程根的判別式的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系：，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．

18.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)甲種蔬菜種植成本單位；元與其種植面積單位：的函數(shù)關(guān)系式為，

把，代入得：，

解得：，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

解得：，

故答案為：；

當(dāng)時(shí)，，

，

拋物線開口向上，

當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，

此時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，有最小值為：，

，

當(dāng)種植甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時(shí)，最??；

由可知，甲、乙兩種蔬菜總種植成本為元，乙種蔬菜的種植成本為元，

則甲種蔬菜的種植成本為元，

由題意得：，

設(shè)，

整理得：，

解得：，不符合題意，舍去，

，

，

答：當(dāng)為時(shí)，年的總種植成本為元．

當(dāng)時(shí)，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，，再求出當(dāng)時(shí)的值，即可得出結(jié)論；

當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，再求出當(dāng)時(shí)，，由一次函數(shù)的性質(zhì)