河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期五調(diào)數(shù)學(xué)試題

2022—2023衡水中學(xué)下學(xué)期高三年級五調(diào)考試數(shù)學(xué)第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集和補集的定義結(jié)合集合間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】或，則集合不具有包含關(guān)系，故A錯誤；，故B錯誤；，則不具有包含關(guān)系，故C錯誤；，故D正確.故選：D.2.某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業(yè)的營銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢，已知該企業(yè)營銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是4:1，且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是（）A.90 B.96 C.120 D.144【答案】C【解析】【分析】設(shè)參加體檢的人數(shù)是，根據(jù)題意列出方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)參加體檢的人數(shù)是，則，解得，所以參加體檢的人數(shù)是120人.故選：C.3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點是一個正方形的3個頂點，則這個正方形的第4個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得對應(yīng)的點，利用正方形性質(zhì)，根據(jù)向量相等，即可求得答案.【詳解】由，設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對應(yīng)點，設(shè)正方形的第四個頂點對應(yīng)的坐標(biāo)是，則其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，結(jié)合對應(yīng)點的位置特征知：，又，∴,，∴，故這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故選：B4.如圖，在正方形中，分別是邊上的點，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正切的和差公式得到，然后得到，即可得到.【詳解】由題可知，則，即，.故選：D.5.李明開發(fā)的小程序經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)，其中k10天后有2000名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（?。〢.31 B.32 C.33 D.34【答案】D【解析】【分析】依題意知，從而求得，再令，結(jié)合對數(shù)運算可求得結(jié)果.【詳解】∵經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)，又∵小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，∴，即，可得，∴①當(dāng)用戶超過50000名時有，即，可得，∴②聯(lián)立①和②可得，即，故，∴用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為34天.故選：D.6.如圖，在棱長為4的正方體中，點P是的中點，動點Q在平面內(nèi)（包括邊界），若平面，則AQ的最小值是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別為的中點，連接，證明平面平面，得到的軌跡為線段，AQ的最小值是邊上的高，計算得到答案.【詳解】如圖所示：分別為的中點，連接，，，故，平面，平面，故平面；易知四邊形為平行四邊形，，平面，平面，故平面；，平面，故平面平面，當(dāng)平面時，面平面，故的軌跡為線段，，，AQ的最小值是邊上的高，為.故選：D7.若數(shù)列對任意正整數(shù)，有(其中，為常數(shù)，且，則稱數(shù)列是以為周期，以為周期公比的類周期性等比數(shù)列.已知類周期性等比數(shù)列的前4項為1，1，2，3，周期為4，周期公比為3，則的前25項和為（）A.3277 B.3278 C.3280 D.3282【答案】A【解析】【分析】確定，再根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式計算得到答案.【詳解】，，則的前25項和為：

.故選：A8.已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點作直線交于兩點.現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點的對應(yīng)點分別為，且若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角，利用雙曲線的定義與性質(zhì)結(jié)合余弦定理運算求解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得：，則，且，則銳角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因為，即，可得，解得.故選：C.【點睛】方法點睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)為正實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件及不等式的性質(zhì)逐一判斷選項即可.【詳解】對于A，由及為正實數(shù)，可知，，則，由，可得，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選：AC10.若的三個內(nèi)角均小于，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量滿足，且，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，，，則，即為點到三點的距離之和，由費馬點的性質(zhì)可知當(dāng)時，取得最小值，然后求解即可.【詳解】因為，，設(shè)，，，則，即為點到三點的距離之和，則是等腰銳角三角形，如圖：由費馬點的性質(zhì)可知，當(dāng)點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，所以，則的最小值是.故選：AB11.“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（）A.B.在第2022行中第1011個數(shù)最大C.記“楊輝三角”第行的第i個數(shù)為，則D.第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為【答案】AC【解析】【分析】利用二項式定理，結(jié)合組合數(shù)運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：所以本選項正確；B：第2022行是二項式的展開式的系數(shù)，故第2022行中第個數(shù)最大，所以本選項不正確；C：“楊輝三角”第行是二項式的展開式系數(shù)，所以，，因此本選項正確；D：第34行是二項式的展開式系數(shù)，所以第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為，因此本選項不正確，故選：AC12.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.的最大值大于C.， D.，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各選項.【詳解】的定義域為，，故選項A錯誤；，故選項B正確；，故選項C正確；，，，當(dāng)時，，，而在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，故選項D正確，故選：BCD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)命題，若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】判斷命題的真假，利用基本不等式，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】是假命題，故是真命題；又當(dāng)時，單調(diào)遞增，其值域為，若滿足題意，則，即的取值范圍為.故答案為：.14.拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線為l，M是C上的一點，點N在l上，若，且，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求得，由直線方程求得即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：拋物線C：的焦點為，準(zhǔn)線，不妨設(shè)點，則，即，可得，即，故，則直線的斜率，∵，則直線的斜率，∴直線的方程，令，解得，即，故.故答案為：5.15.已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】設(shè)為在上的一個零點，則，所以在直線上，又為坐標(biāo)原點，易知.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合兩點間距離公式，再構(gòu)造函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.16.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個球，則該球表面積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】分析出球心的位置，得出半正多面體所在的正四面體的高，求出點到正六邊形所在平面的距離，到正三角形所在平面的距離，即可求出當(dāng)球的表面積最大時，該球的半徑，進而得出表面積.【詳解】由題意，半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，，當(dāng)球的表面積最大時，該球的球心即為半正多面體所在正四面體的外接球的球心，記球心為.在中，，,該半正多面體所在的正四面體的高為：，設(shè)點到正六邊形所在平面的距離為，過點作于，由幾何知識得，∴，即，解得：，∴當(dāng)球的表面積最大時，該球的半徑為，表面積為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，，且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合因式分解法、等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）利用分組法，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴.又∵，∴，即，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又∵，，成等差數(shù)列，∴，即，解得.∴；【小問2詳解】由（1）可知，∴∴.18.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的，位于該市的某大學(xué)與市中心的距離km，且.現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)，其中，，km.（1）求大學(xué)與站的距離；（2）求鐵路段的長.【答案】（1）km（2）km【解析】【分析】（1）在中運用余弦定理即可；（2）首先利用正弦定理求得，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求得和的值，再在中利用正弦定理即可求得的長.【小問1詳解】在中，，，且，，由余弦定理，得，所以，所以大學(xué)與站的距離為km；【小問2詳解】因為，且為銳角，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，由題意知為銳角，所以，所以，因為，，且為銳角，所以，，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，解得，所以鐵路段的長為km.19.如圖，三棱錐和三棱錐均為棱長為的正四面體，且四點共面，記直線與的交點為.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接與的交點為，連接，可證得，進而證，再證四邊形是菱形得，從而可證；（2）過點作，交于點，則平面，分別求得，，再以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，再利用面面角的向量求法即可求解.【小問1詳解】如圖，連接與的交點為，連接，因為三棱錐和三棱錐均為棱長為的正四面體，所以，，，則，則，所以，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，因為，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】過點作，交于點，則平面，又三棱錐是正四面體，所以是的中心.在中，，在中，，又，所以，所以，由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，得平面的一個法向量為，設(shè)二面角平面角為，則，所以，故二面角的正弦值為.20.某校組織甲、乙、丙、丁、戊五位學(xué)生參加某大學(xué)測試活動，現(xiàn)有A，B兩種不同的測試方案，每位學(xué)生隨機選擇其中的一種方案進行測試.選擇A方案測試合格的概率為，選擇B方案測試合格的概率為，且每位學(xué)生測試的結(jié)果互不影響.（1）若甲、乙、丙三位學(xué)生選擇A方案，丁、戊兩位學(xué)生選擇B方案，求恰有三位學(xué)生合格的概率；（2）若測試合格的人數(shù)的均值不小于3，試寫出選擇A方案進行測試的學(xué)生的人數(shù).【答案】（1）（2）當(dāng)選擇A方案測試的學(xué)生人數(shù)為時，測試合格的人數(shù)的均值不小于3【解析】【分析】（1）根據(jù)二項分布的概率公式以及獨立事件的概率乘法公式求解；（2）利用二項分布的期望公式求解.【小問1詳解】若選擇A方案的三人全部合格，則所求概率，若選擇A方案的三人中有兩人合格，則所求概率，若選擇A方案的三人中，只有一人合格，則所求概率，所以恰有三位學(xué)生合格的概率；【小問2詳解】設(shè)選擇A方案測試的學(xué)生人數(shù)為，則選擇B方案測試的學(xué)生人數(shù)為并設(shè)通過A方案測試合格的學(xué)生人數(shù)為，通過B方案測試合格的學(xué)生人數(shù)為，當(dāng)時，此時所有學(xué)生均選擇B方案測試，則，所以，不符合題意；當(dāng)時，此時所有學(xué)生均選擇A方案測試，則，所以，符合題意；當(dāng)時，，，所以，又，則，故當(dāng)時，符合題意.綜上，當(dāng)選擇A方案測試的學(xué)生人數(shù)為時，測試合格的人數(shù)的均值不小于3.21.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長.某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點到圓心的距離為4，按上述方法折紙.以點、所在的直線為軸，線段中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義對照折紙的方法求出；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理再結(jié)合斜率的兩點公式求解即可.【小問1詳解】如圖以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點，由題意可知，，所以點軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，所以，，則，所以橢圓方程為；【小問2詳解】由已知：直線過，設(shè)的方程為，由題意m必定是存在的聯(lián)立兩個方程得，消去得，得，設(shè)，，則，（*）所以，將（*）代入上式，可得，要使為定值，則有，，又∵∴，此時，∴存在點，