第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對經(jīng)典2016圓錐曲線-第一輪

圓錐曲線題型總結(jié)( 1一■圓錐曲線的定義第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點， 的距離的和等于常數(shù)2a,且12此常數(shù)2a一定要大于|FF\，當常數(shù)等于\FF|時，軌跡是線段 ，當常數(shù)小于\FF|時，無軌跡；2121212雙曲線中，與兩定點， 的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于 ，定義中1212的“絕對值”與2aV 不可忽視。若2a= ,則軌跡是以, 為端點的兩條射線，若2a>121212|則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。12定義的試用條件：例：已知定點F(-3,0),F(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點的軌跡中是橢圓的( )12APFI,PF|=4 .IPF\,\PF|=6 .IPF\,\PF|=10 .|PD|2,|PF2=1212121212例：方程J(x-6)2,y2-J(x,6)2,y2=8表示的曲線是利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離：例3如已知點Q(^-'2,0)及拋物線y=寧上一動點()則 的最小值是例：點(，)為定點，點是拋物線y2=4x的焦點，點在拋物線y2=4x上移動，若IPAI+IPFI取得最小值，求點的坐標。利用定義求軌跡：例：動圓與圓 內(nèi)切與圓 外切求圓心的軌跡方程例：已知f、f2是橢圓的兩個焦點p是橢圓上的一個動點如果延長fP到q使得lPQ=\pf2\那么動點Q的軌跡是、橢圓 、圓 I直線 F點例：已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B：(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程

11例8已知A(-2，°),B是圓F：(X-2)2，y2二4(F為圓心)上一動點線段AB的垂直平分線交BF于P則動點P的軌跡方程為 定義的應(yīng)用：X2y2 , ,例9橢圓25+$=1上一點M到焦點七的距離為，N為MF］的中點，O是橢圓的中心，則ON的值是 真題:【高考福建，理】若雙曲線E:--話=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)，點P在雙曲線E上，且PF1=3，則PF2等于()【新課標I卷文科1已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x—1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C。求C的方程；l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A,B兩點，當圓P的半徑最長是，求IABI。新課標卷文科】y2已知P是雙曲線C:X2— =1的右焦點,8三角形的面積為 二圓錐曲線的標準方程(標準方程是指中心(頂點)在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程)：扌橢圓：扌橢圓：焦點在x軸上時:焦點在X軸上時:雙曲線：焦點在y軸上時：焦點在y軸上時:實用標準拋物線方程：求方程的方法：定義法、待定系數(shù)法、直接法、代入法、參數(shù)法、幾何法等。關(guān)鍵是形數(shù)結(jié)合，建立等量關(guān)系例：設(shè)中心在坐標原點0，焦點F、F在坐標軸上，離心率e=(2的雙曲線過點p(4,-JlQ)，則12的方程為x2y2 L例1與雙曲線芒-冬€1有相同漸近線，且經(jīng)過點(2^3，-3的雙曲線的方程是16 9例：已知直線 與雙曲線4x2-4y2€1，如果以雙曲線的焦點為焦點作橢圓，使橢圓與有公共點，求這些橢圓中長軸最短的橢圓方程。I—例4雙曲線的離心率等于耳，且與橢圓f+y€1有公共焦點，則該雙曲線的方程例：橢圓ax2+by2+ab=0(a<b<0)的焦點坐標是( )a(土Ja-b,0) .(B,±Ja-b) .(±Jb—a,0) ..(0,±Jb-a)例：已知中心在原點的橢圓的兩個焦點和橢圓C：4x2+9y2€36的兩個焦點一個正方形的四個頂點,2且橢圓過點(2-),求橢圓的方程。真題：【高考廣東，理】已知雙曲線C:宇-缶€1的離心率e€4，且其右焦點F2(5'°)，則雙曲線C的方程為( )X2y2 4.—^―€1X2上€1X2y2-.€1X2 y2—-—€14 31699 163 4X2y2【 高考新課標，理4一個圓經(jīng)過橢圓苕+仝=1錯誤！未找到引用源。的三個頂點，且圓心在16 4軸的正半軸上，則該圓的標準方程為 【 高考天津，理】已知雙曲線—-筍=1G…0,b…0）的一條漸近線過點C,V3），且雙曲線的a2b2一個焦點在拋物線y2二4/7X的準線上，則雙曲線的方程為X2 X2 y2一=121 28x2y2——B-=12821三圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）橢圓：由卞‘，'分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。雙曲線：由忑'，'項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上;拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。x2 y2一例7已知方程——7+^—=1表示焦點在軸上的橢圓，！則的取值范圍是 m—1 2—m例：已知方程kx2+y2=a表示焦點在軸上的橢圓則實數(shù)的范圍是 例：如果方程x2+ky2二2表示焦點在y軸上的橢圓，求實數(shù)k的取值范圍。x2 y2例0方程9 —5廣1,為 時方程為雙曲線。當為 時，方程為焦點為軸的橢圓。9一k5—k例1方程Ax2+By2=C表示雙曲線的充要條件是什么？（壬，且，異號）。1_例：已知拋物線y二-4x2，則此拋物線的焦點坐標為 準線方程為 四圓錐曲線的幾何性質(zhì)（離心率、漸近線等）離心率問題：x2y2橢圓（以一+1=1（a…b…0）為例）：①范圍：—a<x<a,—b<y<b；②焦點：兩個焦點（土c,0）；a2b2③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0,—個對稱中心（）,四個頂點（±a,0）,（0,±b）,其中長軸長為a,c短軸長為b；④離心率：e=，橢圓O0<e<1,e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。三者知道任意兩個或三個a三者知道任意兩個或三個三者知道任意兩個或三個的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的值；的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍；注重數(shù)形結(jié)合思想不等式解法X2y2雙曲線(以 二1(a,0,b,0)為例人①范圍：xW—a或x?a,y…R；②焦點:兩個焦點(±c,0)；a2b2③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心(,0兩個頂點(±a，0)，其中實軸長為a，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2-y2=k,k豐0；④離心率：e二,雙曲線oe>1,等軸雙曲線oe=\/2,e越小，開口越小，e越大，開口越大；⑥兩ab條漸近線：y=±—xa拋物線(以y2=2px(p,0)為例)：①范圍：x?0,y…R；②焦點：一個焦點(|,0),其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸y二0,沒有對稱中心，只有一個頂點()；④準線：p c—條準線x二—；⑤離心率：e二一，拋物線oe=1。2 a離心率求法：(1畫出圖型，盡量把能表示的邊都用關(guān)于a,b,c的式子表示(2通過幾何關(guān)系，建立關(guān)于a,b,c的等式(3消去b，同時除以a2或a,解關(guān)于e的方程x2y2例：橢圓G：—+'二1(a,b,0)的兩焦點為F(—c,0),F(c,0),橢圓上存在點M使FM-FM=0a2b2 1 2 1 2則橢圓離心率e的取值范圍是 例:在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線—-—J=1的離心率為J5，則m的值為 ?mm2+4x2y2例5過橢圓c—+'=1(a,b,0)的左焦點作直線丄軸，交橢圓于，兩點，若厶為a2b2坐標原點是直角三角形，則橢圓的離心率e為 x2y2 3a例：設(shè)FF是橢圓E:—+—=1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x=—上一點，<FpF是底12 a2b2 2 21角為30的等腰三角形，則E的離心率為 x2y2例:雙曲線一=1=1(> >)的兩個焦點為、若為其上一點，且 則雙曲線離心a2b2率的取值范圍為 1單位長度，得到離心率為e的雙曲線C，則（2.對任意的a,b，e〉e12.對任意的a,b，e<e12高考新課標，理I已知，1單位長度，得到離心率為e的雙曲線C，則（2.對任意的a,b，e〉e12.對任意的a,b，e<e12高考新課標，理I已知，為雙曲線的左，右頂點，點在上，△為等腰三角形,高考湖南，理的離心率為（3設(shè)F是雙曲線Cx2y2——[?1的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的a2b2中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為 高考山東，理5平面直角坐標系xoy中，雙曲線C1：5-￡?1（a〉0,b〉0）的漸近線與拋物線C2：x2?2py…p〉0）交于點o,A，B，若aoab的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為 【新課標卷"文科】設(shè)橢圓C:a2+：2?1（a〉b〉°）的左、右焦點分別為FF2'P是C上的點PF丄FF,ZPFF?30<，則C的離心率為21212.錯誤！未找到引用源。 .錯誤！未找到引用源。源。 .錯誤！未找到引用源。漸近線及其它問題：.錯誤！未找到引用例：設(shè)仆F2分別為雙曲線離+b-二1’（a、）的左、右焦點若在雙曲線右支上存在點，滿足pf2?FF，且F到直線PF的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 21例：已知F"為雙曲線C:x2-y2?2的左、右焦點，點P在C上1PFJ?21PF2I，則C0SZF1PF2?例0過拋物線y2?4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點，若IAF1?3，則IBFI 例：以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為時，則橢圓長軸的最小值為 x2y2例：設(shè)雙曲線一—一?1(a2b2）中，離心率e[吃 則兩條漸近線夾角6的取值范圍是.實用標準真題：高考湖北，理】將離心率為e的雙曲線C的實半軸長a和虛半軸長b（a€b）同時增加m（m〉0）個.當a〉b時，e〉e;當a,b時,12.當a〉b時，e<e;當a<b時,12例4若直線y二kx+2與橢圓2x2+3y2=6有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為 例：已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為的直線被橢圓截得的aJv3弦長為一—，求點A的坐標x2 y2一例6直線一一與橢圓三1恒有公共點，貝的取值范圍是5m例：過點(2,4)作直線與拋物線y2二8x只有一個公共點，這樣的直線有例：若直線 與雙曲線 的右支有兩個不同的交點，則的取值范圍是例9過點與雙曲線?一§二1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為x2y2r例0過雙曲線T-才=1的右焦點直線交雙曲線于、兩點，若丨丨=,則這樣的直線有 條例1對于拋物線：y2二4x,我們稱滿足y2<4x的點M(x,y)在拋物線的內(nèi)部，若點M(x,y)在000000拋物線的內(nèi)部，則直線l:yy=2(x+x)與拋物線的位置關(guān)系是00例2直線y二ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點。①當a為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？②當a為何值時，以為直徑的圓過坐標原點？真題:y2高考四川，理】過雙曲線x2-專=1的右焦點且與軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點，則AB=( )

六■焦半徑及弦長公式的計算方法:若直線y€kx+b與圓錐曲線相交于兩點、，且X],x2分別為、 的橫坐標，則|AB|= 111+k2ITXJ，若彳y2分別為'的縱坐標，則IM珂1+自叮以，若弦所在直線方程設(shè)為x€ky+b,貝i」|AB|=71+k2yi，yJ。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解（了解）。拋物線的焦點弦公式:AB=x弦公式:AB=x+x+p=赳1 2 sin20（°為直線的傾斜角）例：過拋物線y2€2x焦點的直線交拋物線于、兩點，已知 ，為坐標原點，則△ 重心的橫坐標為例：已知拋物線方程為y2€8x,若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于，則它到拋物線的焦點的距離等于例：點在橢圓蘭+蘭€1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點的橫坐標為25 9例：拋物線y2€2x上的兩點、到焦點的距離和是，貝I」線段的中點到y(tǒng)軸的距離為七■焦點三角形問題：橢圓焦點三角形面積S€b2tan*；雙曲線焦點三角形面積S€b心冷常利用第一定義和正弦、余弦定理求解橢+n,m-n,mn,m2+n2四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用;周長為4a:例：已知F1、F為橢圓玄+巻€1的兩個焦點,過F的直線交橢圓于A、B兩點。若\FA+|F?B€12,TOC\o"1-5"\h\z1 2 25 9 1 2 2則IAB€ 例8已知…ABC的頂點B、C在橢圓丁+y2€1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則…ABC的周長為 \o"CurrentDocument"x2y2 c例9已知橢圓的方程是一+J=1（a>5）,它的兩個焦點分別為F,F,且FF=8,弦AB過F,a2 25 12 12 1則△ABF的周長為2例：短軸長為J5,離心率e€2的橢圓的兩焦點為F、F，過F作直線交橢圓于、兩點，則AABF31212的周長為TOC\o"1-5"\h\z, ,橢圓焦點三角形面積S€b2tan—；雙曲線焦點三角形面積S€b2cot—2 2例：設(shè)是等軸雙曲線x2?y2€a2（a>0）右支上一點，、是左右焦點，若PF-FF=0， =則該雙曲線的方程為 X2y2 」 」例：橢圓丁+才€1的焦點為'，點為橢圓上的動點，當T?T 時，點的橫坐標的取值范圍是 例=已知雙曲線的離心率為2、是左右焦點，為雙曲線上一點，且ZFPF€60。朋 €12屁12 APF1F2求該雙曲線的標準方程真題：【 高考新課標1理】已知（X,y）是雙曲線:—-y2€1上的一點，F(xiàn),F是上的兩個焦00212點，若MF?MF<0，則y的取值范圍是120（V3 V3） （V3 V3） （?2. 2^2） （?2. 2羽）（T，T） （ ~6. ~6） （?丁，?。?（—丁，丁）八?拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（）AF€_，BF€_（）丄+丄€2（=AB€x+x+p= （）以1-cos0 1+cos0 AFBFp 12 sin20過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（）設(shè)為焦點弦，為準線與軸的交點，則z=z；F）設(shè)為焦點弦，、在準線上的射影分別為1，］，若為］］的中點，則丄；（）若的延長線交準線于，則平行于軸，反之，若過點平行于軸的直線交準線于點，則，，三點共線。例:過拋物線y2€4x的焦點F作一直線交拋物線于、兩點，若線段與的長分別是p、q，則11+€pq1例：過拋物線y€?丁x2的焦點作傾斜角為a的直線l與拋物線交于、兩點，旦 ，求傾斜角,.4例6已知拋物線y2€2px，（p>0），直線l過焦點F，且與拋物線交于點A,B與拋物線的準線交于點C|BC|€2BF|又|AF|€3則拋物線的方程為實用標準真題：【 新課標文科80為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C:y2€4血x的焦點，P為C上一點，若IPF1=4邁,TOC\o"1-5"\h\z則APOF的面積為( )()2 (B2^2 (C2^/3 (D4【 新課標卷II文科8設(shè)拋物線 的焦點為，直線過且與交于兩點若 ，則的方程為【新課標卷I理科8設(shè)拋物線C:y2=2px(p,0)的焦點為F，點M在C上,\MF\=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為( )新課標卷I新課標卷I文科】已知拋物線：y2€x的焦點為F心,y°)是【 新課標卷I理科8已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，準線為l,P是l上一點，Q是直線PFTOC\o"1-5"\h\z與C的一個焦點，若FP=4FQ,則IQFI( )A7 B5 C D2 才【 新課標卷I文科8設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交C于AB.30

丁兩點，則|AB|.30

丁12 7(九圓錐曲線的中點弦問題(點差法)遇到中點弦問題常用“點差法”求解。在橢圓蘭+啟=1a2b2b2x x2y2中，以P(x,y)為中點的弦所在直線的斜率 °；在雙曲線一1中，以P(x,y)為中點的00 a2y a2b2 000b2x弦所在直線的斜率 ——；在拋物線y2=2px(p,0)中，以P(x,y)為中點的弦所在直線的斜率a2y 000。y0

實用標準例：雙曲線 的弦被點 平分求直線的方程例8已知中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線 交于兩點，是 的中點，若|2,為坐標原點，的斜率為J2，求橢圓的方程。例9如果橢圓羋€巻=1直線l與雙曲線交于A、B兩點，且A、B的中點坐標為M，貝I」點M的36 9軌跡方程是 例：已知橢圓篤€琴=1,直線l過點P(2,1),且與橢圓交于A、B兩點，求A、B中點M的軌跡16 4方程例：已知雙曲線的方程為—-鴿=1，直線y二x+b與雙曲線交于A、B，且A、B的中點坐標為6,2),a2b2則此雙曲線的離心率為 例：試確定的取值范圍，使得橢圓罕+琴二1上有不同的兩點關(guān)于直線y二4x€m對稱4 3真題：x2y2【 新課標卷I理科】已知橢圓E:—+]=1(a…b…0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢a2b2圓于A,B兩點。若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為( )x2y2x2y2—^―=145 36x2y2—€=13627x2y2——^―=127 18x2y2—^―=118 9x2y2【新課標卷II理科】平面直角坐標系xOy中，過橢圓M:—+'=1(a…b…0)的右焦點F作直a2b2x+y，.-；3=0交M于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為2.(I)求M的方程；(II)C,D為M上的兩點，若四邊形ABCD的對角線CD丄AB,求四邊形ABCD面積的最大值.

十■面積問題16例：已知定點(點、分別在橢圓4x2+—y2二1的準線上運動，當z 。時，求厶面積的最大值。例4若拋物線2=的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于，兩點，動點在曲線$上，則△的面積的最小值為例5已知橢圓a2€辛二％>b>°)的離心率為字，長軸長為2朽，直線1:y二kx€m交橢圓于不同的兩點、。()求橢圓的方程；()求m=1,且OA-OB=0,求k的值(點為坐標原點)；()若坐標原點/3到直線1的距離為匸，求?AOB面積的最大值。x2 y2例：已知橢圓M:一+廠=1(a>b>°)的左右焦點分別為F(一2,0)，F(xiàn)(2,0).在橢圓M中有一a2 b2 1 2內(nèi)接三角形ABC,其頂點C的坐標&'3,1),AB所在直線的斜率為f求橢圓M的方程；當?ABC的面積最大時，求直線AB的方程.例7已知橢圓ca2+y：€1（>>）的離心率為f，短軸—個端點到右焦點的距離為屁（I）（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線與橢圓交于兩點，坐標原點到直線的距離為g3,求厶面積的最大值。真題Ca2 1【 高考浙江，理9已知橢圓T+y2€1上兩個不同的點A,B關(guān)于直線y€ma+對稱.（）求實數(shù)m的取值范圍； （）求，AOB面積的最大值（O為坐標原點）.十一■最值及范圍問題（一般用參數(shù)方程的方法或用定義轉(zhuǎn)化）例8已知a2 4求c a2的最大值與最小值 的最大值與最小值.例:已知點是拋物線=上的一點，為拋物線的焦點，在圓c— + — =上，則ma+mf的最小值為例0若點和點分別為橢圓普+y€1的中心和左焦點，點為橢圓上的任意一點，則OP?FP的最大值為 一—X2y2例i若是橢圓+~^€1上的任意一點，F(xiàn)、F是橢圓的左、右焦點，則!?\mfI的最大值為例3若點是拋物線y2€2X上的一個動點，則點到點（0 ）的距離與點到準線的距離之和的最小值為實用標準十二.直線與圓錐曲線大題常規(guī)解題方法一、 設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時分斜率存在與不存在；②設(shè)為 與 的區(qū)別）二、 設(shè)交點坐標；（提醒之所以要設(shè)是因為不去求出它即“設(shè)而不求”三、 聯(lián)立方程組；四、 消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）五、 根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：“以弦為直徑的圓過點（提醒：需討論是否存在）€OA丄OB€k,K=—1€OA，OB=0€兀兀+yy=0121212“點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” €“直角、銳角、鈍角問題”€“向量的數(shù)量積大于、等于、小于問題”€兀兀+yyo1212“等角、角平分、角互補問題”€斜率關(guān)系（k+K=0或K=K）；1212“共線問題”（如：AQ=九QB€數(shù)的角度：坐標表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：—o三點共線€直線與斜率相等）；“點、線對稱問題”€坐標與斜率關(guān)系；基本解題思想：1“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；、證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。定點定值問題精彩文檔在圓錐曲線中，有一類曲線系方程，對其參數(shù)取不同值時，曲線本身的性質(zhì)不變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值問題圓錐曲線中的幾何量，有些與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題它涵蓋兩類問題，一是動曲線經(jīng)過定點問題；二是動曲線的某些幾何量的斜率、長度、角度、距離、面積等為常數(shù)問題、處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明、求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗；、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。弦的垂直平分線問題例：過點 作直線1與曲線：y2€x交于、兩點，在軸上是否存在一點"0使得AABE是等邊三角形，若存在，求出xo；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于。設(shè)直線/:y€k(x,1)，k豐0，A(x,y)，B(x,y)。1122?y=k(x,1)由… 消整理，得k2x2,(2k2-1)x,k2=0 ①Iy2=x由韋達定理，得：x2€-2k2-1

k2由直線和拋物線交于兩點，得A€（2k2-1）2-4k4€-由韋達定理，得：x2€-2k2-1

k2，xx€1。則線段的中點為（-,二）。12 2k22k線段的垂直平分線方程為:y-丄€-1(x-亠y-丄€-1(x-亠)令

2kk 2k空得“0€舟-2，則已（羔-2,0）AABE為正三角形，???E（2k2 2|AB|=X]|AB|=X]_x2)2,(yi-y2)22|k<1,k2解得k=± 滿足②式此時X0€3。動弦過定點的問題證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明。TOC\o"1-5"\h\z例5已知橢圓:—，若=1(a…b…0)的離心率為務(wù)，且在軸上的頂點分別為 。\o"CurrentDocument"a2b2 2()求橢圓的方程；()若直線l:x=t(t…2)與軸交于點點為直線l上異于點的任一點，直線 分別與橢圓交于、點，試問直線是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論c，/3 X2解：()由已知橢圓的離心率e=—=\,a€2則得c=屈b=1。從而橢圓的方程為外，y2=1a 2 4()設(shè)M(x1，y\N(x,y),直線AM的斜率為k則直線AM的方程為y=k(x,2)()設(shè)M(x1，y\y=k1(x+2)消1 消x2,4y2y=k1(x+2)消1 消x2,4y2=4整理得(卩1k6x,21(— €4-2和x是方程的兩個根，c 16k2-4-2x€ 1 1 1+4k21則X12-8k2€1,y1,4k2'丿114k€訂詬，即點1_ 2-8k2 4k、的坐標為(匕主),1+4k21+4k211同理，設(shè)直線 的斜率為，則得點_/8k2-2 -4k、的坐標為(一2 , 1)1+4k21+4k2722y=k(t,2),y=k(t-2)p1 P2k—k1—

k+k122，叮直線的方程為:y—yy—y1€ 2 1,x一xx一x1 2 1人 人 xy一xy令，得x二 ———y一y124將點、的坐標代入，化簡后得：x€—t???0<-<2叮橢圓的焦點為(73,0)A-=逼,即t€羊故當t€洋時，過橢圓的焦t t 3 3點。實用標準過已知曲線上定點的弦的問題例:已知點、、是橢圓E蘭€蘭=1(a，b,0)上的三點，其中點(2/3,0)是橢圓的右頂點,a2b2直線過橢圓的中心O且ACfC=0，IBC|=2AC|，如圖。求點的坐標及橢圓的方程；若橢圓上存在兩點、q使得直線與直線關(guān)于直線x=J3對稱，求直線的斜率。解： |B=2|AC|,且過橢圓的中心??■oc|=|ac|??AC^BC=0.?.…ACO=?2又Ad3,0)???點的坐標為(J^V3)。??t_(2J30)是橢圓的右頂點，???a=2J3，則橢圓方程為：乂€竺=112b2將點(J3,J3)代入方程，得b2=4,???橢圓的方程為竺+竺=112 4I直線與直線關(guān)于直線x=73對稱，???設(shè)直線的斜率為k,則直線的斜率為-k,從而直線 的方程為：y-羽=k(x-書),即y=kx+73(1—k),由］y=kx+石(1-k)消，整理得：x2+3y2—12=0(1+3k2)x2+6時3k(1—k)x+9k2—18k—3=0x=*3是方程白勺一個根，9k2—189k2—18k—3_1+3k2-即xp9乞-鯨-3同理可得:J3(1+3k2)9k2+18k—3<3(1+3k2)=kx+*3(1—k)+kx—卞3(1+k)=k(x+x)—2人：3k= —12k p Q PQ 3(1+3k2)y―y 1P Q=-x—x 3P Q9k2—18ky―y 1P Q=-x—x 3P Q?<3(1+3k2) <3(1+3k2) <3(1+3k2)二kpQ則直線的斜率為定值3。向量問題例:已知點M(4,0),N(1，0)，若動點P滿足MN?MP=61PN丨.(I)求動點P的軌跡C的方程;1812求直線l的斜率的取值范圍(II)過點N的直線l交軌跡C于A,B兩點，若-—WNA?NB求直線l的斜率的取值范圍1 3例：已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為2，且經(jīng)過點M（1，2），過點（，）的直線I與橢圓相交于不同的兩點、 （1求橢圓的方程；（）是否存直線I，滿足Pa，PB=PM2若存在，求出直線1的方程；若不存在，請說明理由存在性問題：（存在點，存在直線 x存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例：設(shè)橢圓+=1（ ）過（2V2）,（6兩點，為坐標原點，a2b2（）求橢圓的方程；（I是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點且丄OB?若存在，寫出該圓的方程，并求 的取值范圍，若不存在說明理由。例:已知定點（，4,過點作傾斜角為度的直線，交拋物線J2