新教材人教A版2.2基本不等式課件（40張）

2.2基本不等式第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解基本不等式

a>0,b>0).(數(shù)學(xué)抽象)2.能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能運(yùn)用基本不等式證明不等式和比較代數(shù)式的大小.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]某金店有一座天平,由于左右兩臂長(zhǎng)略有不等,所以直接稱(chēng)重不準(zhǔn)確.有一個(gè)顧客要買(mǎi)一串金項(xiàng)鏈,店主分別把項(xiàng)鏈放于左右兩盤(pán)各稱(chēng)一次,得到兩個(gè)不同的質(zhì)量a和b,然后就把兩次稱(chēng)得的質(zhì)量的算術(shù)平均數(shù)

作為項(xiàng)鏈的質(zhì)量來(lái)計(jì)算.顧客對(duì)這個(gè)質(zhì)量的真實(shí)性提出了質(zhì)疑,那么這樣計(jì)算的質(zhì)量相對(duì)于原來(lái)的真實(shí)質(zhì)量到底是大了還是小了呢?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn)一:基本不等式我們稱(chēng)不等式

為基本不等式,其中a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.名師點(diǎn)析

1.基本不等式與不等式a2+b2≥2ab的異同不等式a2+b2≥2ab適用范圍a,b∈Ra>0,b>0文字?jǐn)⑹鰞蓴?shù)的平方和不小于它們積的2倍兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)“=”成立的條件a=ba=b2.基本不等式的變形第一個(gè)變形體現(xiàn)了兩正數(shù)的積與兩正數(shù)和的平方之間的關(guān)系.當(dāng)不等式的一端為定值時(shí),另一端就可以取最值.基本不等式有多種變形,應(yīng)用時(shí)具有很大的靈活性,既可直接應(yīng)用又可變形應(yīng)用.一般地,遇到和與積,平方和與積,平方和與和的平方等不等式問(wèn)題時(shí),常利用基本不等式處理.微思考(1)在上節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了一個(gè)重要不等式:若a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立).如果a>0,b>0,我們用

分別代替不等式中的a,b,可得到什么形式?提示

得到a+b≥2.(2)我們稱(chēng)

為a,b的幾何平均數(shù),稱(chēng)

為a,b的算術(shù)平均數(shù).如何用這兩個(gè)概念描述基本不等式?提示

基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(3)當(dāng)a>0,b>0時(shí),由a2+b2≥2ab你能得到哪些變形式?知識(shí)點(diǎn)二:利用基本不等式求最值基本不等式與最值已知x,y都是正數(shù).名師點(diǎn)析

利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件:一正、二定、三相等,這三個(gè)條件缺一不可.二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用基本不等式,有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.例如:另外,在連續(xù)使用公式求最值時(shí),取等號(hào)的條件很?chē)?yán)格,要求同時(shí)滿(mǎn)足任何一次等號(hào)成立的字母取值存在且一致.微思考填寫(xiě)下面的表格:x+y101010101010101010x(x>0)123456789y(y>0)987654321xy

xy111111111x(x>0)

12345y(y>0)

x+y

根據(jù)以上表格,并結(jié)合基本不等式分析:(1)當(dāng)x+y是定值時(shí),xy有最大值還是最小值?最值等于什么?(2)當(dāng)xy是定值時(shí),x+y有最大值還是最小值?最值等于什么?微練習(xí)已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

答案

(1)4

(2)4課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一對(duì)基本不等式的理解例1(多選題)設(shè)a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(

)答案

ABC要點(diǎn)筆記

應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意以下三點(diǎn)(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.變式訓(xùn)練1下列結(jié)論正確的是(

)答案

B探究二利用基本不等式證明不等式反思感悟

利用基本不等式證明不等式的注意事項(xiàng)(1)利用基本不等式證明不等式,關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式,通過(guò)將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式,從而達(dá)到放縮的目的.(2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到.(3)解題時(shí)要注意技巧,當(dāng)不能直接利用基本不等式時(shí),可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造,以滿(mǎn)足能使用基本不等式的形式.(4)在證明不等式的過(guò)程中,注意充分利用“1的代換”,即把常數(shù)“1”替換為已知的式子,然后經(jīng)過(guò)整理后再利用基本不等式進(jìn)行證明.變式訓(xùn)練2已知a,b均為正實(shí)數(shù).若ab=2,求證:(1)(a+b)(a3+b3)≥16;(2)(1+2a)(1+b)≥9.探究三利用基本不等式求最值例3(1)已知x>0,則

+x的最小值為(

)(2)已知a>0,b>0,且ab=1,則a+4b的最小值為

.

答案

(1)A

(2)4延伸探究

本例第(2)問(wèn),改為“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.

素養(yǎng)形成基本不等式在求解恒成立與存在性(有解)問(wèn)題中的應(yīng)用由于利用基本不等式與重要不等式可以求某些特定式子的最值,因此基本不等式與重要不等式可以求解一類(lèi)含參數(shù)的恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題,求解的一般思路是:若能夠?qū)?shù)進(jìn)行分離,則分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解,若不能分離參數(shù),則直接將參數(shù)看作已知量求解.典例

(1)(2021北京海淀高一期末)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y,不等式x+4y≥恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.{m|0<m≤4} B.{m|0<m≤2}C.{m|m≤4} D.{m|m≤2}(2)若存在實(shí)數(shù)x>0,使不等式x2-ax+1≤0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.{a|a≤2} B.{a|a≥2}C.{a|a>2} D.{a|a<2}(3)若對(duì)實(shí)數(shù)x≠0,不等式ax2+-2≥0恒成立,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí),等號(hào)成立,∴m≤4.故選C.(2)存在實(shí)數(shù)x>0使不等式x2-ax+1≤0成立即存在實(shí)數(shù)x>0使不等式ax≥x2+1成立.答案

(1)C

(2)B

(3){a|a≥1}

當(dāng)堂檢測(cè)1.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(

)①a2+b2≥2ab成立的條件是a≥0,b≥0

②a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R

③a+b≥2成立的條件是a>0,b>0

④a+b≥2成立的條件是ab>0A.1 B.2 C.3 D.0答案

B解析

根據(jù)不等式成立的條件可知只有②③正確,故選B.2.(2021安徽皖北縣中聯(lián)盟高一聯(lián)考)已知y=x+-1(x<0),則y有(