高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列的綜合應(yīng)用課件

第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型1.等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，

其一般形式是：an＋1－an＝d(常數(shù)).2.等比模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的百

分?jǐn)?shù)時，該模型是等比模型，與變化前的量的比就是公比.3.混合模型：在一個問題中，同時涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)

列的模型.4.生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增

加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，

我們稱該模型為生長模型.如分期付款問題，樹木的生長與

砍伐問題等.5.遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項

an－1(或前n項)間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推數(shù)列

的知識求解問題.1.某學(xué)校高一、高二、高三共計2460名學(xué)生，三個年級的學(xué)

生人數(shù)剛好成等差數(shù)列，則該校高二年級的人數(shù)是(

)A.800

B.820C.840D.860解析：由題意可設(shè)高一、高二、高三三個年級的人數(shù)分別為a－d，a，a＋d.則a－d＋a＋a＋d＝2460，∴a＝＝820.故高二年級共有820人.答案：B2.數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于x的不等式x2－x<nx(n∈N*)的解集

中的整數(shù)個數(shù)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(

)A.n2B.n(n＋1)C.D.(n＋1)(n＋2)解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)，因此an＝n，Sn＝答案：C3.若a，b，c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的

交點的個數(shù)為 (

)A.0B.1C.2D.不能確定解析：由題意b2＝ac(ac＞0)，∴Δ＝b2－4ac＝－3b2＜0.答案：A4.5·12汶川大地震后，山東天成書業(yè)公司于2008年8月向北川

中學(xué)捐贈《三維設(shè)計》系列叢書三萬冊，計劃以后每年比

上一年多捐5000冊，則5年共捐

萬冊.解析：由題意知a1＝3，d＝0.5S5＝3×5＋×0.5＝20.答案：205.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，點(an－1，an)(n＞1且n∈N)滿足y＝

2x－1，則a1＋a2＋…＋a10＝

.解析：an＝2an－1－1?an－1＝2(an－1－1)，∴{an－1}是等比數(shù)列，則an＝2n－1＋1.∴a1＋a2＋…＋a10＝10＋(20＋21＋22＋…＋29)＝10＋＝1033.答案：10331.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重

點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以

及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點.2.利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值.同時對兩

種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，

可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程

求解.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且是與(an＋1)2的等比中項.(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn；(3)[理]在(2)的條件下，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出λ；若不存在，說明理由.(1)由條件可得Sn＝(an＋1)2，然后利用an與Sn的關(guān)系可證結(jié)論；(2)可用錯位相減法求和；(3)假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，然后求λ的值即可，然后檢驗λ的正確性.【解】

(1)由題知Sn＝(an＋1)2，當(dāng)n＝1時，a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＞0，∴an－an－1－2＝0.即當(dāng)n≥2時，an－an－1＝2.∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列{an}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，則Tn由①-②得∵bn=∴Tn

Tn=+2·+1∴Tn=3-(3)[理]∴數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是＝A·qn(A、q為非0常數(shù))，∴當(dāng)且僅當(dāng)3＋λ＝0，即λ＝－3時，數(shù)列為等比數(shù)列.1.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，

已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項；

(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

解：(1)由已知，得設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝由題意知q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列.故Tn=ln2.∴Tn=b1+b2+…+bn=ln2.數(shù)列在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，因而涉及數(shù)列的應(yīng)用問題非常多，如人口增長問題、銀行利率問題、濃度配比問題、分期付款問題等等.解題時要充分挖掘題中所給條件，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)列模型求解.解數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟可用圖表示如下：【注意】求解數(shù)列應(yīng)用題，必須明確屬于哪種數(shù)列模型，是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列；是求通項問題，還是求項數(shù)問題，或者是求和問題；題目中涉及到哪幾個量，這幾個量之間存在什么關(guān)系等等.2008年金融危機(jī)嚴(yán)重影響了世界經(jīng)濟(jì)，某市為了拉動內(nèi)需，決定2009年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米，那么，到哪一年年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2009年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)

(1)把求累計面積看作數(shù)列{an}求和，求得和之后據(jù)題意建立不等關(guān)系，求得n的范圍；(2)由新建住房面積構(gòu)造數(shù)列{bn}，求得bn，建立an與bn的關(guān)系求n.

【解】

(1)設(shè)中低價房面積構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列.其中a1＝250，d＝50，則Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10.∴到2018年年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列.其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400×1.08n－1，由題意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85，由1.085≈1.47解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n＝6，∴到2014年年底，當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.2.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為元

(n∈N*)，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指

使用的這臺儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了(

)A.600天B.800天

C.1000天

D.1200天解析：由第n天的維修保養(yǎng)費為元(n∈N*)，可以得出觀測儀的整個耗資費用，由平均費用最少而求得最小值成立時相應(yīng)n的值.設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，此時n＝800，故應(yīng)選B最合算.答案：B數(shù)列與其他知識的綜合問題主要指的是用幾何方法或函數(shù)的解析式構(gòu)造數(shù)列，用函數(shù)或方程的方法研究數(shù)列問題.函數(shù)與數(shù)列的綜合問題主要有以下兩類：一是已知函數(shù)的條件，利用函數(shù)的性質(zhì)圖象研究數(shù)列問題，如恒成立，最值問題等.二是已知數(shù)列條件，利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法等知識對式子化簡變形，從而解決函數(shù)問題.已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且點An(an，an＋1)在函數(shù)

的圖象上.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：弦AnAn＋1的斜率隨n的增大而增大.y=(1)將點An(an，an＋1)代入函數(shù)即可得出數(shù)列的性質(zhì)，從而求得an；(2)可用作差比較法證明；(3)用錯位相減法求和.【解】(1)∵an+1且a1=1,∴1+∴=1,∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，（2）證明an=,an+1=,an+2,∴=1+(n-1)×1=n,∴an=.∴弦AnAn＋1的斜率隨n的增大而增大.∴弦AnAn+1的斜率kn=∴kn+1-kn==>03.已知曲線C：y＝x2(x＞0)，過C上的點A1(1,1)作曲線C的切線l1

交x軸于點B1，再過點B1作y軸的平行線交曲線C于點A2，再

過點A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2，再過點B2作y軸的平行

線交曲線C于點A3，…，依次作下去，記點An的橫坐標(biāo)為

an(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求證：anSn≤1.解：(1)∵曲線C在點An(an，)處的切線ln的斜率是2an，∴切線ln的方程是y－

＝2an(x－an)，由于點Bn的橫坐標(biāo)等于點An＋1的橫坐標(biāo)an＋1，∴令y＝0，得an＋1＝∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴an＝令t=，則0<t≤∴anSn＝4t(1－t)＝－4(t－)2＋1，當(dāng)t＝，即n＝1時，－4(t－)2＋1有最大值1，即anSn≤1.(2)∵Sn=2(1-),∴anSn=4×(1-),從近幾年的高考試題看，數(shù)列的綜合應(yīng)用成為命題的熱點，在選擇題、填空題、解答題中都有可能出現(xiàn).主要是等差、等比數(shù)列綜合題，或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的綜合問題，或者與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題.2009年廣東卷第21題.考查直線與曲線相切的充要條件，構(gòu)造函數(shù)證明不等式等知識，考查運(yùn)用所學(xué)知識綜合分析、解決問題的能力，是高考在知識交匯點命題的典型代表.(2009·廣東高考)已知曲線Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…).從點P(－1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn＞0)的切線ln，切點為Pn(xn，yn).(1)求數(shù)列{