定積分在生活中地應(yīng)用

院系經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院題目定積分在生活中的應(yīng)用年級(jí)專(zhuān)業(yè)級(jí)市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)班學(xué)生姓名:孫天鵬定積分在生活中的應(yīng)用定積分作為大學(xué)里很重要的一部分，在生活有廣泛的應(yīng)用。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的，最初牛頓應(yīng)用微積分是為了從萬(wàn)有引力導(dǎo)出行星三定律，此后，微積分極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展，而且隨著人類(lèi)知識(shí)的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類(lèi)走向認(rèn)知的殿堂。一、定積分的概述、定積分的定義：設(shè)函數(shù)f€x)在區(qū)間,a,b］上有界①在,a,b］中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x<x< <x<x=b把區(qū)間,a,b］分成TOC\o"1-5"\h\z0 1 n—1 nAx…x—x，110n個(gè)小區(qū)間L,x］Ax…x—x，11001 12 n—1nAx…x一x，…，Ax…x'-x。2 2 1 nn n—1②在每個(gè)小區(qū)間L,x］上任取一點(diǎn)g，作函數(shù)f(g)與小區(qū)間長(zhǎng)度Ax的乘積i—1i i i if(g)Ax(i…1,2, ,n)，iiP…max{Ax,Ax, ,Ax<P…max{Ax,Ax, ,Ax<作極限lim工f(g)Ax1 2 n Ipto iii=1如果不論對(duì),a,b］怎樣分法，也不論在小區(qū)間廠,x］上點(diǎn)g怎樣取法，只要當(dāng)i—1i iPT0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分(簡(jiǎn)稱(chēng)積分)，記作Jbf(x)dx，即aJbf(x)dx=lim工f(g)Axa Iplt0 iii=1其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，「a,b］叫做積分區(qū)間。

．定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在［a,b］上都可積，k是常數(shù)，則kf(x)和f(x)g(x)都可積，并且性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)J性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)Jbkf(xJdxkJbf(xJdxaaJb[f(x)+g(x)衛(wèi)兀Jbf(x)dxJbg(x)dxa a aJb[f(x)-g(x)]dxJbf(x)dxJbg(x)dxa a a定積分對(duì)于積分區(qū)間的可加性設(shè)f(x)在區(qū)間上可積，且a，b和c都是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則不論a，b和c的相對(duì)位置如何，都有Jcf(x)dxJbf(x)dxJcf(x)dx。aab性質(zhì)如果在區(qū)間［a,b］上f(x)三，則JbldxJbdxb-a。性質(zhì)aa性質(zhì)如果在區(qū)間［a,b］上f(x)>0則Jbf(x)dx>0(a<b)。性質(zhì)a性質(zhì)如果在［a,b］上m<f(x)<M則m(b—a)<Jf(x)dx<M(b—a)性質(zhì)性質(zhì)a性質(zhì)(定積分中值定理)如果f(x)在［a,b］上連續(xù)，則在［a,b］上至少存一點(diǎn)g使得 ?/(x)dx二f(g)(b-a)．定理定理微積分基本定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)則積分上限函數(shù)‘(x)Jxf(t%在［a,b］上a可導(dǎo)并且它的導(dǎo)數(shù)是 ‘'(x)〃”(t“f(x)(a<x<b)dx定理原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)則函數(shù)‘(x)Jxf(t%就是f(x)在a［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)

定理如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間,a,b］上的一個(gè)原函數(shù)則?bf(xHF(b)-F(a)a稱(chēng)上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.二、定積分的應(yīng)用1、定積分在幾何中的應(yīng)用()設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件g(x)<f(x)，xg［a,b］?求曲線y=f(x)，y=g(x)及直線x二a,x二b所圍成的平面圖形的面積S?(如圖)解法步驟：第一步：在區(qū)間［a,b］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］，并考慮它上面的圖形的面積，這塊面積可用以［f(x)-g(x)］為髙，以dx為底的矩形面積近似，于是HS二［f(x)—g(x)］dx?第二步：在區(qū)間［a,b］上將dS無(wú)限求和，得到S=?b［f(x)—g(x)］dxa()上面所訴方法是以x為積分變量進(jìn)行微元，再求得所圍成圖形的面積；我們還可以將y作為積分變量進(jìn)行微元，再求圍成的面積。由連續(xù)曲線x=^(y)、x=<(y)其中申(y)n<(y)與直線y二c、y=d所圍成的平面圖形(圖)的面積為：S=?d［p(y)-<(y)］dyc例求由曲線y=sinx，y二cosx及直線x二0，x二兀所圍成圖形的面積?解()作出圖形，如圖所示.易知，在［0,兀］上，曲線y=sinx與y二cosx42

()取X為積分變量，積分區(qū)間為［0,€］?從圖中可以看出，所圍成的圖形可以分成兩部分；()區(qū)間［0,€］上這一部分的面積A和區(qū)間［€,€］上這一部分的面積A4 1 4 2分別為€A€A=J4(cosx一sinx)dx，10A=J€(sinx-cosx)dx,2€4所以，所求圖形的面積為=Isinx?cosx14?…一cosx一sinx］冗=?0€4A=A?AJ4(cosx-sinx)dxJ€(sinx-cosx)dx1 2€1 2 04例求橢圓蘭+蘭=1的面積a2b2解橢圓關(guān)于x軸y軸均對(duì)稱(chēng)故所求面積為第一象限部分的面積的倍即S=4S1S=4S1=4Jaydx0利用橢圓的參數(shù)方程x=acosty=bsint應(yīng)用定積分的換元法d=皿tdt且當(dāng)x=0時(shí)t=I，x=a時(shí)t=0于是

S=4J0bsint(，acost)dt€€1一cos2t2dt兀21一cos2t2dt兀2=€ab0(t1 ?=4ab—一一sin2t12 4丿．求旋轉(zhuǎn)體體積用類(lèi)似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積，例如一個(gè)木塊的體積，我們可以將此木塊作分割T:a=x<x<……<x=b劃分01n成許多基本的小塊，每一塊的厚度為<x(i=1,2,,n)，假設(shè)每一個(gè)基本的小i塊橫切面積為A(x)(i=1,2,,n)，A(x)為la,b］上連續(xù)函數(shù)，則此小塊的體積大i約是A(x)<x，將所有的小塊加起來(lái)，令T0，我們可以得到其體積：V=lim工A(x)<x=JbA(x)dx。TU0 ' 'ai=1例求由曲線xy=4直線x=1x=4y=0繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解先畫(huà)圖形，因?yàn)閳D形繞x軸旋轉(zhuǎn)，所以取x為積分變量，x的變化區(qū)間為，相應(yīng)于，上任取一子區(qū)間xxdx的小窄條，繞x軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用髙為dx，底面積為ny2的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為dVny2dxn(4)2dxx于是，體積VnJ4(4)2dx1x

n€4丄 dx1x21n—4x.求曲線的弧長(zhǎng)()設(shè)曲線y,f(x)在la,b?上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(如下圖)利用微元法,取x為積分變量，在la,b?n€4丄 dx1x21n—4x.求曲線的弧長(zhǎng)()設(shè)曲線y,f(x)在la,b?上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(如下圖)利用微元法,取x為積分變量，在la,b?上任取小區(qū)間L,x+dx?,切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段MT的長(zhǎng)度近似代替一段小弧MN的長(zhǎng)度，即l沁ds得弧長(zhǎng)微元為:MNds，MT，｛(dx)2+(dy)2=*1+(y‘)2dx再對(duì)其積分，則曲線的弧長(zhǎng)為：s，€bds=€b、：1+(y‘)2dx，J\..1+[ff(x)]2dxas，aa2)參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長(zhǎng)計(jì)算，設(shè)曲線Jx，0(t)上t詬,卩]一段的弧Iy，<(t)長(zhǎng).這時(shí)弧長(zhǎng)微元為：ds="02(t‘…屮‘2(t‘dt則曲線的弧長(zhǎng)為dt丿S，JPds，€%[0(t)]2…[<‘(t)]2dta a求曲線y=3x3上從一段弧的長(zhǎng)度解由公式sJ.T+yQdx (aa<b)知弧長(zhǎng)為162143 — ——— 0 3 3 3003求擺線Jx，a(t-sin°在0<t<2?上的一段弧的長(zhǎng)度(a>0)?Iy，a(1-cost)解取t為積分變量，積分區(qū)間為[0,2?]?由擺線的參數(shù)方程，得x，=a(1一cost)，y，=asint，=a”：2(1一cost)=2aIsin2I?、x，2+y，2=Qa2(1-cost)=a”：2(1一cost)=2aIsin2I?于是，由公式(16-)，1在30…t…2?上的一段弧的長(zhǎng)度為t一cos-2_02?=8as=J2?2aIsin—Idt=t一cos-2_02?=8a0 2 0 2、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用(1)、由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的增量根據(jù)邊際成本，邊際收入，邊際利潤(rùn)以及產(chǎn)量x的變動(dòng)區(qū)間［a,b］上的改變量(增量)就等于它們各自邊際在區(qū)間［a,b］上的定積分：TOC\o"1-5"\h\zR(b)―R(a)=JbR，(x)dx ()aC(b)—C(a)=JbC，(x)dx ()aL(b)—L(a)=JbL，(x)dx ()a例已知某商品邊際收入為—0.08x+25(萬(wàn)元)，邊際成本為(萬(wàn)元),求產(chǎn)量x從增加到 時(shí)銷(xiāo)售收入R(x)，總成本(x)，利潤(rùn)I(x)的改變量(增量)。解首先求邊際利潤(rùn)L，(x)=R，(x)—C，(x)=—0.08x+25—5=—0.08x+20所以根據(jù)式(1)、式(2)、式(3)，依次求出：R(300)—R(250)=J300R，(x)dx=J300(—0.08x+25)dx 萬(wàn)元TOC\o"1-5"\h\z250 250C(300)—C(250)=J300C，(x)dx=J300dx 萬(wàn)元250 250L(300)—L(250)=J300L，(x)dx=J300(—0.08x+20)dx—萬(wàn)元250 250(2)、由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率為f(t)，則稱(chēng) ;f(t)dt為該經(jīng)濟(jì)函數(shù)在時(shí)間間隔t€t21［t,t］內(nèi)的平均變化率。21例2某銀行的利息連續(xù)計(jì)算，利息率是時(shí)間t(單位：年)的函數(shù)：r(t)，0.08+0.015*t求它在開(kāi)始2年，即時(shí)間間隔［，02內(nèi)］的平均利息率。解由于J2r(t)dt，J2(0.08+0.015 )dt，0.16+0.01々t2,0.16+0.02匹000所以開(kāi)始2年的平均利息率為J2r(t)dt 一r，0.08+0.01邁?0.0942-0例某公司運(yùn)行t(年)所獲利潤(rùn)為L(zhǎng)(t)(元)利潤(rùn)的年變化率為L(zhǎng)(t)，3x10^.tTT(元年)求利潤(rùn)從第年初到第年末，即時(shí)間間隔，8內(nèi)］年平均變化率解由于8，38x1053J8L(t)dt，J83x10^,-7+Tdt，2x108，38x10533 3所以從第4年初到第8年末，利潤(rùn)的年平均變化率為8L'(t)dt3 ，7.6x105(元年)8—3即在這年內(nèi)公司平均每年平均獲利7.6x105元。3)、由貼現(xiàn)率求總貼現(xiàn)值在時(shí)間區(qū)間上的增量設(shè)某個(gè)項(xiàng)目在t(年)時(shí)的收入為f(t)(萬(wàn)元)，年利率為r，即貼現(xiàn)率是f(t)e—rt，則應(yīng)用定積分計(jì)算，該項(xiàng)目在時(shí)間區(qū)間［a,b］上總貼現(xiàn)值的增量為Jbf(t)e—rtndt。a

設(shè)某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為(萬(wàn)元)，竣工后的年收入預(yù)計(jì)為a(萬(wàn)元)年利率為r，銀行利息連續(xù)計(jì)算。在進(jìn)行動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，把竣工后收入的總貼現(xiàn)值達(dá)到，即使關(guān)系式,Tae€rtdt=A0成立的時(shí)間(年)稱(chēng)為該項(xiàng)工程的投資回收期。例4某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為100萬(wàn)0元，竣工后的年收入預(yù)計(jì)為20萬(wàn)0元，年利息率為0.，0求8該工程的投資回收期。解這里A=1000,a=200,r=0.08,則該工程竣工后 年內(nèi)收入的總貼現(xiàn)值為,丁200貼現(xiàn)值為,丁200e€0.08tdt=0200 e€0.081—0.08T=2500(1一e-0.08T)0令 2500(1€e