黑龍江省哈爾濱市南直中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

黑龍江省哈爾濱市南直中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)是（

）

A．7

B．8

C．15

D．16參考答案：A2.的外接圓的圓心為，半徑為，且，則向量在方向上的投影為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.甲：函數(shù)，f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；乙：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則甲是乙的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命題乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則不滿足函數(shù)單調(diào)性定義的任意性，∴命題甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4.已知直線平面，直線∥平面，則“”是“”的(

)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：A略5.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的漸近線方程，轉(zhuǎn)化列出a，b關(guān)系式，求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，可得：=，即：，解得e=．故選：A．6.若平面滿足，則下列命題中的假命題為（

）A．過點(diǎn)垂直于平面的直線平行于平面B．過點(diǎn)垂直于平面的直線在平面內(nèi)C．在平面內(nèi)過點(diǎn)垂直于的直線垂直于平面

D．過點(diǎn)垂直于的直線在平面內(nèi)參考答案：D略7.設(shè)函數(shù)，則是A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的偶函數(shù)

C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：解析：是周期為的偶函數(shù)，選B．

8.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且圖像關(guān)于對稱的函數(shù)是（）A. B. C. D.參考答案：C9.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）

參考答案：D略10.已知集合={2，0，1，4}，={|，，}，則集合中所有元素之和為（）A．2

B．-2

C．0

D．參考答案：【知識點(diǎn)】集合中元素的特性.A1

【答案解析】B

解析：因?yàn)?，所以有下列情況成立：（1）=2，解得,當(dāng)時(shí)，不滿足題意，舍去，故；（2）=0，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；（3）=1，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；（4）=4，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；所以集合中所有元素之和為，故選B.【思路點(diǎn)撥】由分情況討論即可得到結(jié)果.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的值為A8

B．7

C.6

D．5參考答案：A12.已知||=2，||=，，的夾角為30°，（+2）∥（2+λ），則（（+λ））?（﹣）=

．參考答案：1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)即可求出λ的值，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算便可求出的值．【解答】解：；∴；∴；∴λ=4；∴====1．故答案為：1．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________。參考答案：14.已知是遞增的等差數(shù)列，，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則▲

.參考答案：15.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

.參考答案：616.如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，則

．參考答案：；

17.過原點(diǎn)作曲線的切線，則切線的斜率為參考答案：e

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣1（k為常數(shù)，k∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)k=時(shí)，若函數(shù)f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z，e是自然對數(shù)的底數(shù)）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求n的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）把k=代入函數(shù)解析式，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的極大值為f（0）=0，極小值為f（3ln2）＜0，要使函數(shù)f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為，由此不等式組可得n的最小值為2．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，由，得．①當(dāng)k≤0時(shí)，對x∈R都有kex﹣1＜0，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣f（x）遞增極大值遞減此時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，0）；減區(qū)間是（0，+∞）．②當(dāng)0＜k＜1時(shí)，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＞0．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如下表：x（﹣∞，0）0（0，﹣lnk）﹣lnk（﹣lnk，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增此時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，0），（﹣lnk，+∞）；減區(qū)間是（0，﹣lnk）．③當(dāng)k=1時(shí)，，此時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，+∞），沒有減區(qū)間．④當(dāng)1＜k時(shí)，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＜0．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如下表：x（﹣∞，﹣lnk）﹣lnk（﹣lnk，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增此時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，﹣lnk），（0，+∞）；減區(qū)間是（﹣lnk，0）．（2）k=時(shí)，，由（1）②得：﹣lnk=﹣ln=3ln2，f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，0），（3ln2，+∞）；減區(qū)間是（0，3ln2）．∴f（x）的極大值為f（0）=0，極小值為f（3ln2）==＜0，要使函數(shù)f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，∵滿足en＞3ln2的最小整數(shù)n為2，當(dāng)n=2時(shí)，，∴n的最小值為2．19.等差數(shù)列{an}中，已知，且，，為遞增的等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式（），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）試題分析：（Ⅰ）三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，即，由此解得公差的值并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）分別令為奇數(shù)或偶數(shù)，即令或，當(dāng)時(shí)利用分組求和法求得其前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，利用前項(xiàng)和減去第項(xiàng)來求和.試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，即，解之得，或（舍去），所以，即，為所求.（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，.綜上，（）.20.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=?．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足acosC+c=b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后將所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，將sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而確定出B的范圍，得出+的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即為f（B）的范圍．【解答】解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=?=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a?+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．21.(13’)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD，已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）

參考答案：【解析】[解法一]設(shè)該扇形的半徑為米，連接.……2分由題意，得(米)，（米），

……4分在△中，

……6分即，

……9分解得（米）答：該扇形的半徑的長約為445米.

……13分

[解法二]連接，作，交于，

……2分由題意，得（米），（米），

……4分在△中，

.（米）.

……6分.……9分在直角△中，（米），，

（米）.答：該扇形的半徑的長約