第講復(fù)數(shù)的概念課件

第講復(fù)數(shù)的概念第講復(fù)數(shù)的概念第講復(fù)數(shù)的概念第9講復(fù)數(shù)的概念、表示方法和運算2學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展，了解擴充實數(shù)集的必要性，正確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2．熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式其化方法；3．熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則；熟練復(fù)數(shù)三角形式、指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式的乘法、乘方、除法的運算法則，并選擇合理的方法進行運算；3 虛數(shù)單位，英文譯名為imaginarynumberunit.所以，用“i”來表示這個新數(shù)。一、虛數(shù)單位（1）它的平方等于-1,即j2=-1;（2）它和實數(shù)一起，可以按實數(shù)的四則運算法則進行運算，數(shù)j稱為虛數(shù)單位為了使x2=-1方程有解，我們引進一個新的數(shù)，用符號j表示（在數(shù)學(xué)上一般用符號i表示,為了區(qū)別于電學(xué)中電流強度的符號，本書中用符號j表示），并規(guī)定：6

一般地，對任意整數(shù)n，虛數(shù)單位j的冪具有下面重要的性質(zhì)：虛數(shù)單位j的這個性質(zhì)稱為周期性．特別規(guī)定：7例1：計算：（1）j2012;（2）j-53;解：（1）j2012＝j(luò)4×503=1（2）另解：8相關(guān)概念：復(fù)數(shù)：形如z=a+bj(a,b∈R)的數(shù)復(fù)數(shù)集：由全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)集通常用C表示表示方法：通常用字母z表示，如z=-1+2j代數(shù)形式：形如z=a+bj(a,b∈R)的形式.復(fù)數(shù)：ComplexNumber9復(fù)數(shù)a+bj(a,b∈R)由兩部分組成，實數(shù)a與b分別稱為復(fù)數(shù)a+bj的實部與虛部，1與i分別是實數(shù)單位和虛數(shù)單位，有時把實部記成為ReZ;虛部記成為ImZ，即a=ReZ,b=ImZ.10

復(fù)數(shù)z=a+bj(a、bR)實數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)(b=0)有理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a=0,此時z=bj

)11

兩個復(fù)數(shù)相等是指它們的實部與虛部分別相等12xyobaZ(a,b)

建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面------復(fù)數(shù)平面

(簡稱復(fù)平面)x軸------實軸y軸------虛軸z=a+bj特別注意：虛軸不包括原點。復(fù)數(shù)z=a+bj有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)131、復(fù)數(shù)的加法與減法二、復(fù)數(shù)的四則運算兩個復(fù)數(shù)相加(減)就是實部與實部，虛部與虛部分別相加(減)。14例2:計算解:講解例題

152、復(fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)a+bj和c+dj是任意兩個復(fù)數(shù),那么它們的積為復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的,但必須在所得的結(jié)果中把j2換成-1,并且把實部合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).16概念：共軛復(fù)數(shù)：實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)。特別地，實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是實數(shù)本身。若復(fù)數(shù)用z表示,則其共軛復(fù)數(shù)用符號表示為即若復(fù)數(shù)z=a+bj,則其共軛復(fù)數(shù)為17例3:計算解:講解例題

18把滿足(c+dj)(x+yj)=a+bj

(c+dj≠0)的復(fù)數(shù)x+yj叫做復(fù)數(shù)a+bj除以復(fù)數(shù)c+dj的商,3、復(fù)數(shù)的除法法則19先把除式寫成分式的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡后寫成代數(shù)形式(分母實數(shù)化).20例4:計算解:講解例題

21例5

:設(shè)z1=5-5j，z2=-3+4j，求z1/z2;

解:講解例題

22三、復(fù)數(shù)的模與輻角模：復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量(從原點到z=a+bj所引向量oz）。向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：yxOz=a+bjZ

(a,b)特別地23復(fù)數(shù)的絕對值的幾何意義:復(fù)數(shù)z=a+bj在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z(a,b)到原點的距離,通常用r表示,即(復(fù)數(shù)的模)yxOz=a+bjZ

(a,b)24顯然,非零復(fù)數(shù)的輻角有無窮多個,它們彼此相差2π的整數(shù)倍,為了實際需要,本書把適合于-π<θ≤π的輻角θ稱為主輻角,記作argZ,θ的值稱為輻角的主值,并規(guī)定:今后要用主輻角表示復(fù)數(shù)Z=a+bj的輻角.這樣,每一個非零復(fù)數(shù)都有唯一確定的模和主輻角,模和主輻角也可以唯一確定一個非零復(fù)數(shù).25例如:若z=3+4j,則若z=5-12j,則26輻角:向量z與實軸正向之間的夾角稱為復(fù)數(shù)z的輻角，定義為：------主值主輻角:輻角ArgZ的某一特定值記為argZ,我們規(guī)定則有：yxOz=a+bjZ

(a,b)argZ2728幾個特殊復(fù)數(shù)的主輻角Z=a+0j(a>0)的主輻角為θ=argZ=0Z=a+0j(a<0)的主輻角為θ=argZ=πZ=0+bj(b>0)的主輻角為θ=argZ=Z=0+bj(b<0)的主輻角為θ=argZ=例如:復(fù)數(shù)Z=3j的主輻角為θ=argZ=又如:復(fù)數(shù)Z=-2j的主輻角為θ=argZ=292-2講解例題

例6:計算下列復(fù)數(shù)的幅角主值。解：30-1講解例題

解：例6:計算下列復(fù)數(shù)的幅角主值。31講解例題

解：-1例6:計算下列復(fù)數(shù)的幅角主值。32四、復(fù)數(shù)的其它形式復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式33復(fù)數(shù)四種形式的相互轉(zhuǎn)化三角形式:指數(shù)形式:極坐標(biāo)形式:代數(shù)形式：Z=a+bj(a,b∈R)這里主要是代數(shù)形式與三角形式的相互轉(zhuǎn)化,至于三角形式與指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式的相互轉(zhuǎn)化非常簡單。34把代數(shù)形式Z=a+bj轉(zhuǎn)化為三角形式Z=r(cosθ+jsinθ)，先求出復(fù)數(shù)的模r和主輻角argZ例7：求出復(fù)數(shù)Z=-3+3j的其它三種形式。（P76例13）解：因為a=-3,b=3,所以又因為點Z（-3，3）在第二象限內(nèi)，所以其主輻角為講解例題

35所以復(fù)數(shù)Z=-3+3j的模為，主輻角為，因此三角形式:指數(shù)形式:極坐標(biāo)形式:代數(shù)形式：Z=-3+3j(a,b∈R)36例8：把復(fù)數(shù)Z=2(cos1200+jsin1200)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式。解：要把復(fù)數(shù)的三角形式Z=r(cosθ+jsinθ)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式Z=a+bj,只要通過計算器求出cosθ、sinθ然后展開即可。37五、復(fù)數(shù)其它形式的乘除法運算這里主要介紹復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式的乘除運算乘法的計算規(guī)律為：模相乘，主輻角相加除法的計算規(guī)律為：模相除，主輻角相減38乘法的計算規(guī)律為：模相乘，主輻角相加除法的計算規(guī)律為：模相除，主輻角相減39乘法的計算規(guī)律為：模相乘，主輻角相加除法的計算規(guī)律為：模相除，主輻角相減40乘法的計算規(guī)律為：模相乘，主輻角相加除法的計算規(guī)律為：模相除，主輻角相減41P80例8例9：講解例題

42P80例10例10：講解例題

43P83例12例11：講解例題

44P84例14講解例題

45例14：將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為講解例題

指數(shù)表示式為所以46例15:把復(fù)數(shù)-2+2j化為指數(shù)形式。解:復(fù)數(shù)的模為因為實部a=-2<0，虛部b=2>0，所以其主輻角為所以47例16：將下列復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式：(1)Z1=50∠53.1；(2)Z2=10∠120。解：利用復(fù)數(shù)的三角形式，計算如下：(1) Z1=5053.1

=50(cos53.1+jsin53.1)=50(0.6+0.8j)=30+j40(2) Z2=10

120

=10(cos120

jsin120)=10(0.50.866j)=58.66j講解例題

48例17：將下列復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式：(1)Z1=5；(2)Z2=3j；(3)Z3=1612j解：利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，計算結(jié)果如下：(1) Z1=5=50(2) Z2=j3=3

90(3) Z3=16j12=20

36.9講解例題

49小結(jié)你能總結(jié)一下本講的主要內(nèi)容嗎？501、計算：。2、求復(fù)數(shù)

的實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、模與輻角練習(xí)513．如果等式

成立，則實數(shù)x、y為何值？4、將復(fù)數(shù)

化成三角表示式和指數(shù)表示式以及極坐標(biāo)形式。練習(xí)52祝你學(xué)習(xí)進