高等數(shù)學(xué)-重積分教學(xué)課件

第八章習(xí)題課重積分、關(guān)于二重積分計算二、關(guān)于三重積分在直角坐標(biāo)系下計算、關(guān)于二重積分的應(yīng)用o忑、關(guān)于二重積分計算(一)、重積分常見題目類型累次積分1.一般重積分的計算法a.選擇坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離b.確定積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙c.寫出積分限列不等式法(投影穿線)充分利用對稱性d.計算要簡便應(yīng)用換元公式o忑2改變累次積分的積分次序題目要求改變積分次序或按原積分次序積不出來,必須改變積分次序3求平面圖形D的面積=∫!xdya=』Adade4求由曲面所圍立體的體積用二重積分:V=f(x,yxdy5用二重積分求曲面的面積A=1+()2+()axdyA1+()2+(g)dxdzAvazoedo8估計重積分的值6重積分性質(zhì)的應(yīng)用題{比較重積分的大小重積分中值定理的應(yīng)用(二)、重積分計算的基本技巧1.交換積分順序的方法2.利用對稱性簡化計算分塊積分法3.消去被積函數(shù)絕對值符號利用對稱性4被積函數(shù)為1時巧用其幾何意義∫ddy=D的面積o忑(三)、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分1.【預(yù)備知識及二重積分公式推導(dǎo)】(1)[X一型域]a≤x≤b,q1(x)sy≤q2(x)y=(p2(r)y=9.(r)y=中1(x)其中函數(shù)q(x)、2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)【X—型區(qū)域的特點】穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點若積分區(qū)域為X一型域:a≤x≤b,q(x)≤y≤q2(x且設(shè)f(x,y)≥0則∫(x,y)dσ的值等于以D為底,以曲面zf(x,y)為曲頂?shù)闹w體積【方法】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法來求Vxo∈a,b作平面x=x0oedo8z=f(x,y)E=∫(x0,y)y=p,(xA(x0)oaroy=p(r)91q2(x0)A(x)Hazfat-3)ody∴V=|A(x)dx卿得(xy=4廠(xyM0,公式上式稱為先對y后對x的二次積分【幾點小結(jié)】J(x,y)y=1a,(x,yyr①通過體積作為過渡,實現(xiàn)了二重積分的一種計算方法通過計算兩次定積分(單積分)來求解②二重積分的計算關(guān)鍵是定限:投影穿線法Dx:a≤x≤b,q(x)≤y≤q2(x)y=p2(ryf(r,y)do(x,yr)oedo8(2)[Y一型域]c≤y≤d,v(y)≤x≤v2(y)x=y(y)Dy1(y)y2(yx=y2(y)Y—型區(qū)域的特點】穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點oedo8y↑x=v(2)若積分域為Y-型域csy≤d,W1(y)sxsv2(y)f(