18.1.1勾股定理(證明方法多)

18.1勾股定理勾股弦

千古第一定理祝同學(xué)們學(xué)習(xí)快樂這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案．問題1你見過這個(gè)圖案嗎？你聽說過勾股定理嗎？

這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為“趙爽弦圖”．1955年希臘發(fā)行的一枚紀(jì)念一位數(shù)學(xué)家的郵票這郵票圖案中隱藏了什么數(shù)學(xué)奧妙呢？問題2問題3相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．我們也來觀察右圖中的地面，看看有什么發(fā)現(xiàn)？畢達(dá)哥拉斯（公元前572-前492年），古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+SB=SC兩直邊的平方和等于斜邊的平方ABCABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）問題4讓我們一起探究1：等腰直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)BCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2（單位面積）把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2SA+SB=SCA的面積(單位長(zhǎng)度)B的面積(單位長(zhǎng)度)C的面積(單位長(zhǎng)度)圖19918圖2A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系448兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABC圖3-1ABC圖3-2把C分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（面積單位）讓我們?cè)偬骄?：任意整數(shù)邊的直角三角形三邊為邊關(guān)系把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為7的正方形cAB圖3ABC圖4讓我們?cè)偬骄?：任意整數(shù)邊的直角三角形三邊為邊關(guān)系（面積單位）ABC圖3ABC圖4A的面積(單位長(zhǎng)度)B的面積(單位長(zhǎng)度)C的面積(單位長(zhǎng)度)圖3圖4A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系議一議169254913SA+SB=SC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）“割”“補(bǔ)”“拼”總結(jié)方法問題5：利用拼圖來驗(yàn)證勾股定理：cab1、準(zhǔn)備四個(gè)全等的直角三角形（設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊c）；2、你能用這四個(gè)直角三角形拼成一個(gè)正方形嗎？拼一拼試試看3、你拼的正方形中是否含有以斜邊c為邊的正方形？4、你能否就你拼出的圖說明a2+b2=c2？=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為；也可以表示為c24?+(b-a)2∵c2=4?+(b-a)2

拼圖1(弦圖的另一種證法）cacaccabbaabbcabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為；也可以表示為(a+b)2c2+4?ab/2拼圖2“勾股定理”趙爽證法=baabcca拼圖3拼圖4：（傳說中的畢達(dá)哥拉斯證法）而所以即，，..因?yàn)?，證明：美國(guó)總統(tǒng)的證明茄菲爾德

（JamesA.Garfield；18311881）1881年成為美國(guó)第20任總統(tǒng)1876年提出有關(guān)證明伽菲爾德經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法．1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就稱這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。拼圖5：aabbcc茄菲爾德證法---總統(tǒng)證法∴

a2+b2=c2

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)

問題6

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.a2+b2=c2┏acb勾股弦c2=a2+b2b2=c2

-

a2a2=c2

-

b2結(jié)論變形問題7鞏固練習(xí)：1、如圖，a=3,b=4,則c=_____.2、在△ABC中，∠C=90度，BC=3，AC=4，,則AB=________.3、在直角三角形中，兩邊長(zhǎng)分別為3、4，,則第三邊長(zhǎng)為________.abC4、如圖,一個(gè)高6米,寬8米的特大大門,需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條,則木條的長(zhǎng)為()A.6米B.8米C.10米D.12米C68新知運(yùn)用

在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！奔矗寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”。故稱之為“勾股定理”或“商高定理”史話勾股定理

在西方，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，公元前三百年左右）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。

相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有“百牛定理”之稱。

1、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們不但知道了著名的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索方法及借助于圖形的面積來探索、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)形結(jié)合思想。2、學(xué)了本節(jié)課后我們有什么感想？

很多的數(shù)學(xué)結(jié)論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課我們還受到了數(shù)學(xué)文化輝煌歷史的教育。同學(xué)們,想一想,這節(jié)課你有什么收獲?

小結(jié)必做題：P69---701、2選做題：查閱勾股定理的名稱及其他證明方法

作業(yè)：祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步！再見！a證明六

印度婆什迦羅的證明cc2=b2+a2b證明七證明七證明七證明七證明七a2b2證明八證明八證明八證明八證明八c2a2+b2=c2證明九證明九拼圖游戲證明九拼圖游戲無字證明青出朱方青方朱入朱出青入青入青出青出abc無字證明①②③④⑤青出朱入朱出朱方青方青入青入青出青出華羅庚青朱出入圖朱入朱出證明十IIIIII注意：面積

I:面積II:面積III

=a2:b2:c2

IIIIII注意：面積

I:面積

II:面積

III

=a2:b2:c2

證明十IIIIII注意：面積

I:面積

II:面積

III

=a2:b2:c2

證明十注意：面積

I:面積

II:面積

III

=a2:b2:c2

證明十注意：面積

I:面積

II:面積

III

=a2:b2:c2

證明十