2-1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)變函數(shù)任群北京理工大學(xué)理學(xué)院1第二章解析函數(shù)§2-1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§2-2函數(shù)的解析性和指數(shù)函數(shù)§2-3

初等解析函數(shù)2§2-1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一Δ、導(dǎo)數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則二、微分的定義及其可微的充要條件3一Δ、導(dǎo)數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則定義:設(shè)函數(shù)是區(qū)域D內(nèi)的單值函數(shù)，并

，如果

存在并且等于,則稱此極限為函數(shù)

在點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)，記作

.此時(shí)，稱函數(shù)

在點(diǎn)

可導(dǎo)，否則，稱函數(shù)在點(diǎn)

不可導(dǎo)．4求導(dǎo)法則5若函數(shù)在點(diǎn)

可導(dǎo)，則

在點(diǎn)

連續(xù)．反之，未必．6例1

試證函數(shù)

（n為自然數(shù)）在復(fù)平面上處處可導(dǎo)，且證

用定義來證明．

對(duì)于復(fù)平面上的任意一點(diǎn)z，由導(dǎo)數(shù)定義有

于是，

在點(diǎn)z的導(dǎo)數(shù)存在且等于

．由點(diǎn)

z

在復(fù)平面上的任意性，證得

在復(fù)平面上處處可導(dǎo)．函數(shù)

在復(fù)平面解析．

7例2

設(shè)

定義在復(fù)平面上，試證

于復(fù)平面上僅在原點(diǎn)可導(dǎo)．證用定義來證明．

若

，則因

所以，

在點(diǎn)

可導(dǎo)．

8若

，則有

令

，于是有

由于上式當(dāng)

在過點(diǎn)z平行于虛軸的直線上趨于０（即

）時(shí)，其極限為

x，而當(dāng)

在過點(diǎn)

z

平行于實(shí)軸的直線上趨于０（即

）時(shí)，其極限為

，所以，當(dāng)

時(shí)，

不存在，故

在點(diǎn)

處不可導(dǎo)．

9

于復(fù)平面上僅在原點(diǎn)可導(dǎo)．

可證得函數(shù)

在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．該函數(shù)在復(fù)平面上是一個(gè)處處連續(xù),但又處處不可導(dǎo)的函數(shù).1011定理:設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)確定，則函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是⑴

與

在

可微．

⑵

在的導(dǎo)數(shù)為條件(*)常稱為柯西—黎曼條件（C.—R.條件）．柯西——黎曼條件方程（C.—R.方程）12判別可導(dǎo)性P33,4(3)判斷函數(shù)f(z)=zRe(z)在那些點(diǎn)可導(dǎo)，那些點(diǎn)連續(xù)。f(z)＝zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xyf(z)在整個(gè)復(fù)平面連續(xù)C-R方程2x=x，0=-y僅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(0,0)可微，所以f(z)僅在點(diǎn)z=0處可導(dǎo)。13用L’Hospital法則求型的極限

設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)且，試證等式P34,6證:說明:(1)當(dāng)而時(shí)，極限為無窮大。(2)當(dāng)時(shí)，可繼續(xù)用L’Hospital法則求極限(3)的情形，可用