3-隨機(jī)過程基本概念講解課件

隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的概率分布隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的特征函數(shù)復(fù)隨機(jī)過程13.1隨機(jī)過程的定義7106543218910X1i……7106543218910X2i……7106543218910Xmi……

例1

貝努里序列。擲一枚硬幣，記出現(xiàn)正面為1，出現(xiàn)反面為0。每一次擲的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量，第i次結(jié)果的隨機(jī)變量記為Xi，由概率論知，其概率分布為

如果無限多次的拋一枚硬幣，各次的結(jié)果隨著拋的次數(shù)（時(shí)間）是隨機(jī)變化的，即表示每次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)變量是隨次數(shù)變化的，所有這些結(jié)果就形成了一個(gè)隨機(jī)過程，可用一族隨機(jī)變量{Xi}表示。23.1隨機(jī)過程的定義

例2

電話問題。當(dāng)t(t≥0)固定時(shí)，電話交換站在[0，t]時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是個(gè)隨機(jī)變量，它可以取非負(fù)整數(shù)值0，1，2，…。如果t從0變到∞，t時(shí)刻前接收到的呼喚次數(shù)就需要用一族隨機(jī)變量表示，是一個(gè)隨機(jī)過程。做一次試驗(yàn)，可得到一條表示t時(shí)刻前接收到的呼喚次數(shù)的非降階梯曲線（樣本函數(shù)）。各次試驗(yàn)所得的曲線是隨機(jī)的。所有這些樣本函數(shù)組成一隨機(jī)過程。0x1(t)t0x2(t)t0xn(t)t33.1隨機(jī)過程的定義

例3

熱噪聲電壓。對接收機(jī)的噪聲電壓做多次觀測試驗(yàn)，可得到如圖所示的波形。每次試驗(yàn)后得到一條隨時(shí)間變化的電壓曲線（確定性函數(shù)，樣本函數(shù)），這樣變化的波形在試驗(yàn)前是不確定的，即任意一時(shí)刻的取值是不確定的；不同次試驗(yàn)得到的結(jié)果是不同的，每一次試驗(yàn)所得到的波形是隨機(jī)的；所有這些可能的波形的集合，就構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過程。

當(dāng)t=t1時(shí),各次試驗(yàn)取值是不確定的，固定t時(shí)，熱噪聲電壓是一個(gè)隨機(jī)變量；t變化時(shí)是一族隨機(jī)變量，表示一個(gè)隨機(jī)過程。43.1隨機(jī)過程的定義依賴于一個(gè)變動參量(時(shí)間)的一族隨機(jī)變量。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。關(guān)注對象：一族隨時(shí)間或地點(diǎn)變化的隨機(jī)變量;隨機(jī)過程：需要研究這一族隨機(jī)變量的整體或局部統(tǒng)計(jì)規(guī)律性;53.1隨機(jī)過程的定義現(xiàn)實(shí)世界中的許多現(xiàn)象是隨時(shí)間的進(jìn)展而變化與發(fā)展的，這些現(xiàn)象通常稱為過程。如何描述這樣的變化過程：1.如果對其變化過程的全過程做一次觀察,得到一個(gè)位置與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)x1(t),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t),…,因而得到一族函數(shù).2.如果在時(shí)刻t觀察質(zhì)點(diǎn)的位置x(t

),則x(t

)是一個(gè)隨機(jī)變量,這樣對于每個(gè)時(shí)刻t便得到一個(gè)隨機(jī)變量X(t

),于是我們就得到一族隨機(jī)變量{X(t),t≥0},（最初始時(shí)刻為t=0）,它描述了此隨機(jī)的運(yùn)動過程.63.1隨機(jī)過程的定義

定義1

設(shè)(?,?,P)是一個(gè)概率空間，T是一個(gè)實(shí)數(shù)集。X(t,ω)（t?T,ω??)是定義在T和?上的二元函數(shù)。若對于任意固定的t?T，X(t,ω)是(?,?,P)上的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量族{X(t,ω),t

?T,ω??}是(?,?,P)上的隨機(jī)過程。

t稱為參數(shù)，T稱為參數(shù)集。把隨機(jī)過程X(t,ω)在t時(shí)刻的取值稱為該隨機(jī)過程在t時(shí)刻所處的狀態(tài)；一個(gè)隨機(jī)過程所有狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間（或值域），記為。73.1隨機(jī)過程的定義

定義2

設(shè)(?,?,P)是一個(gè)概率空間，T是一個(gè)實(shí)數(shù)集。X(t,ω)（t?T,ω??)是定義在T和?上的二元函數(shù)。若對于任意固定的ω??

，總有一個(gè)t的函數(shù)X(t,ω)（t?T）與之對應(yīng),對于所有的ω??

，就得到一族確知的t的函數(shù)，則稱這一族t的函數(shù)的集合{X(t,ω),t

?T,ω??}是(?,?,P)上的隨機(jī)過程。

其中，每一個(gè)函數(shù)稱為樣本函數(shù)，或該隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。83.1隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程X(t,ω)（t?T,ω??)在不同情況下的含義：（1）當(dāng)t和ω都是變量時(shí)，是一個(gè)時(shí)間函數(shù)族，或依賴與t的隨機(jī)變量族；（2）當(dāng)t是變量、ω固定時(shí)，是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)（樣本函數(shù)）；（3）當(dāng)t固定、ω是變量時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)變量；（4）當(dāng)t和ω固定時(shí)，是一個(gè)確定的值。為簡便起見，書寫時(shí)常省略隨機(jī)因素ω，將隨機(jī)過程X(t,ω)（t?T,ω??)簡記為X(t)（t?T）。93.1隨機(jī)過程的定義隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果→實(shí)數(shù)隨機(jī)過程：隨機(jī)變量→實(shí)數(shù)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果→時(shí)間函數(shù)

隨機(jī)性、函數(shù)性函數(shù)、隨機(jī)變量、隨機(jī)過程有何不同？函數(shù)：實(shí)數(shù)→實(shí)數(shù)103.1隨機(jī)過程的定義

例：隨機(jī)相位正弦波，其中a,為常數(shù)，是在（0,2)內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量。對于每一個(gè)固定的t=ti

,

是一個(gè)隨機(jī)變量；若在（0,2)內(nèi)隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)=i，就有，表示一個(gè)樣本函數(shù)；若t和均給定時(shí)，取t=ti,

=i，有，是一個(gè)實(shí)數(shù)。113.2隨機(jī)過程的分類1、按參數(shù)集和狀態(tài)空間是連續(xù)還是離散取值分類：（1）若參數(shù)T是可數(shù)有限集，即T={tk,k=0,1,2,…,n}，稱為有限隨機(jī)變量序列；若參數(shù)T是可數(shù)無限集，即T={tk,k=0,1,2,…}或T={tk,k=…,0,1,2,…}，稱為無限隨機(jī)變量序列；統(tǒng)稱離散參數(shù)隨機(jī)過程，簡稱隨機(jī)序列。若參數(shù)T是不可數(shù)有限集，即T={t,a≤t≤b}或T={t,t≥t0},或者若參數(shù)T是不可數(shù)無限集，即T={-∞<t<+∞},或T={0≤t<+∞}；稱為連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過程。（2）若隨機(jī)過程X(t)在任意時(shí)刻的狀態(tài)X(ti)是離散型的，稱為離散型隨機(jī)過程；若X(ti)是連續(xù)型的，稱為連續(xù)型隨機(jī)過程。123.2隨機(jī)過程的分類按參數(shù)集和狀態(tài)空間是連續(xù)還是離散可分為四類：

（3）參數(shù)連續(xù)、狀態(tài)離散的隨機(jī)過程。如計(jì)數(shù)過程；電話呼叫次數(shù)，T=[0，∞),E={0,1,2,3,…}。（4）參數(shù)連續(xù)、狀態(tài)連續(xù)的隨機(jī)過程。如，熱噪聲電壓，T=[0，∞),E=[-∞，+∞]。

（1）參數(shù)離散、狀態(tài)離散的隨機(jī)過程，或離散隨機(jī)序列。如，伯努利過程；例1，T={1,2,3,…},E={0,1}。（2）參數(shù)離散、狀態(tài)連續(xù)的隨機(jī)過程，或（連續(xù)）隨機(jī)序列。如，數(shù)字信號；每隔一定時(shí)間對隨機(jī)噪聲進(jìn)行采樣，T={…,-2△t,-1△t,0,1△t,2△t,…},E=[-∞，+∞]。133.2隨機(jī)過程的分類2、按隨機(jī)過程概率分布規(guī)律可分為：獨(dú)立過程、獨(dú)立增量過程、高斯過程、維納過程、泊松過程、瑞利過程、馬爾可夫過程、平穩(wěn)過程，等等。

3、按隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)特性可分為：

嚴(yán)平穩(wěn)過程、寬平穩(wěn)過程、周期平穩(wěn)過程、非平穩(wěn)過程，等。

4、按隨機(jī)過程的遍歷特性可分為：

遍歷過程、非遍歷過程。

5、按隨機(jī)過程的功率譜特性可分為：寬帶過程、窄帶過程，等。14隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述

概率分布函數(shù)（概率分布函數(shù)和密度函數(shù)）數(shù)字特征函數(shù)與隨機(jī)變量之區(qū)別?153.3隨機(jī)過程的概率分布1、一維分布函數(shù)

設(shè){X(t),t?T}是一隨機(jī)過程，對于任意一固定的t?T，X(t)是個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一維分布函數(shù)。

如果存在或稱f(x,t)為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一維概率密度函數(shù)。163.3隨機(jī)過程的概率分布注意：一維分布函數(shù)描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)間點(diǎn)處的統(tǒng)計(jì)特性,未給出過程的整體統(tǒng)計(jì)特性.173.3隨機(jī)過程的概率分布2、二維分布函數(shù)

設(shè){X(t),t?T}是一隨機(jī)過程，對于任意二個(gè)固定的t1,t2?T，[X(t1),X(t2)]是一個(gè)二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的二維分布函數(shù)。如果存在或稱f(x1,x2,t1,t2)為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的二維概率密度函數(shù)。183.3隨機(jī)過程的概率分布2、二維分布函數(shù)顯然，一維概率分布可以看成是二維概率分布的邊緣分布，有下列關(guān)系：

一維分布與二維分布的關(guān)系193.3隨機(jī)過程的概率分布3、n維分布函數(shù)

設(shè){X(t),t?T}是一隨機(jī)過程，對于任意n個(gè)時(shí)刻的t1,t2,…，tn

?T，[X(t1),X(t2),…,X(tn)]組成n維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的n維分布函數(shù)。如果存在

203.3隨機(jī)過程的概率分布3、n維分布函數(shù)

或稱f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn

)為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的n維概率密度函數(shù)。213.3隨機(jī)過程的概率分布4、有限維分布函數(shù)族隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一維分布函數(shù)、二維分布函數(shù)、…、n維分布函數(shù)等的全體稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的有限維分布函數(shù)族。同樣地，概率密度的全體稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的有限維概率密度族。

它們描繪了隨機(jī)過程的概率分布。223.3隨機(jī)過程的概率分布5、n+m

維聯(lián)合分布函數(shù)

設(shè){X(t),t?T}和{Y(t),t?T}是二個(gè)隨機(jī)過程，稱{[X(t),Y(t)]T,t?T}為二維隨機(jī)過程。對于任意的ti?T,tj'?T，i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,把n+m

維隨機(jī)變量[X(t1),X(t2),…,X(tn),Y(t1'

),Y(t2'

),…,Y(tn'

)]的聯(lián)合分布函數(shù)

稱為二維隨機(jī)過程{[X(t),Y(t)]T,t?T}的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。233.3隨機(jī)過程的概率分布5、n+m

維聯(lián)合分布函數(shù)若存在或稱fXY(x1,…,xn;y1,…,ym;t1,…,tn;t'1,…,t'm)為隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的n+m維聯(lián)合概率密度。243.3隨機(jī)過程的概率分布6、分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性。對于（1,2,…,n)的任意一種排列（j1,j2,…,jn)，有事實(shí)上，

253.3隨機(jī)過程的概率分布6、分布函數(shù)的性質(zhì)

（2）相容性。對于任意整數(shù)m<n,有

263.3隨機(jī)過程的概率分布6、分布函數(shù)的性質(zhì)

（3）存在性定理（Kolmogorov)。若分布函數(shù)族滿足對稱性和相容性，則必存在一個(gè)隨機(jī)過程{X(t),t?T}，使得恰好是{X(t),t?T}的有限維分布函數(shù)族，即

273.3隨機(jī)過程的概率分布6、分布函數(shù)的性質(zhì)

（4）獨(dú)立性（充要條件）。對于隨機(jī)過程{X(t),t?T}，若X(t1)、X(t2)、…、X(tn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有283.3隨機(jī)過程的概率分布6、分布函數(shù)的性質(zhì)

（4）獨(dú)立性（充要條件）。如果隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}相互獨(dú)立，則有293.3隨機(jī)過程的概率分布

例：貝努里隨機(jī)序列{X(n)

,n=1,2,…}.在t=n時(shí)刻，事件發(fā)生，X(n)=1；在t=n時(shí)刻，事件不發(fā)生，X(n)=0.已知P{X(n)=1}=p,P{X(n)=0}=1-p=q,計(jì)算該隨機(jī)序列的一維、二維概率分布和密度函數(shù)。解：X(n)

分布率X(n)

01Pqpp+q=130隨機(jī)過程的概率分布一維概率分布函數(shù),按照定義，有其中，U(x)是單位階躍函數(shù)，一維概率密度函數(shù)為其中，(x)為單位沖激函數(shù)。313.3隨機(jī)過程的概率分布二維概率分布函數(shù),按照定義，有二維概率密度函數(shù)為其中，U(x,y)=U(x)U(y),是二維單位階躍函數(shù)，(x

,y)=(x)(y)為二維單位沖激函數(shù)。X(n1)與X(n2)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立323.3隨機(jī)過程的概率分布例：一個(gè)通信系統(tǒng)，以T秒為周期輸出一個(gè)幅度為A的信號，A為常數(shù)，信號輸出時(shí)間，i=1,2,…，且持續(xù)到周期結(jié)束。設(shè)每個(gè)信號的輸出時(shí)間相互獨(dú)立，Y(t)為t時(shí)刻接收到的信號幅度，求{Y(t)}的一維概率分布。解：由周期性，僅需討論內(nèi)Y(t)的概率分布，易知Y(t)有兩個(gè)可能取值，0或A333.3隨機(jī)過程的概率分布例：（習(xí)題18）一個(gè)通信系統(tǒng)，每隔T秒信號源輸出一個(gè)寬為X幅度為A的矩形脈沖，其中，并假定不同時(shí)間間隔脈沖寬度的取值是相互獨(dú)立的。Y(t)為t時(shí)刻接收到的信號幅度，{Y(t),t≥0}是一個(gè)隨機(jī)過程，求{Y(t)}的一維概率分布解：由周期性，僅需討論內(nèi)Y(t)的概率分布，易知Y(t)有兩個(gè)可能取值，0或A343.3隨機(jī)過程的概率分布

例：脈沖位置調(diào)制信號（教材59頁例3）。通信系統(tǒng)每隔T秒輸出一個(gè)脈沖寬度為T/6，幅度為A的脈沖。脈沖開始時(shí)間為X，在[0,5T/6]上均勻分布。第i個(gè)脈沖開始時(shí)間為Xi，i=1,2,…，且相互獨(dú)立。求該脈沖位置調(diào)制信號Y(t)的

一維概率密度函數(shù)。解：一個(gè)樣本函數(shù)X1T/6X22TTtY(t)A353.3隨機(jī)過程的概率分布

例：考慮第一個(gè)周期t∈[0,T]，X在[0,5T/6]上均勻分布:

易知信號只取A或0，且

0≤t<T/6,T/6≤t<5T/6,5T/6≤t<T0≤x<t,t-T/6≤x<t,t-T/6≤x<5T/6TY(t)T/6ttA2T/63T/64T/65T/60ttxxx363.3隨機(jī)過程的概率分布

例：

373.3隨機(jī)過程的概率分布例：一個(gè)通信系統(tǒng)，以T秒為周期輸出一個(gè)幅度為A的信號，A為常數(shù)，每個(gè)周期內(nèi)信號輸出時(shí)間，持續(xù)時(shí)間，，相互獨(dú)立，且輸出時(shí)間之間相互獨(dú)立，持續(xù)時(shí)間之間也相互獨(dú)立。設(shè)Y(t)為t時(shí)刻接收到的信號幅度，求Y(t)的一維概率分布383.3隨機(jī)過程的概率分布解：由周期性，只需求內(nèi)Y(t)的概率分布即可，由已知易得1）2）3）393.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征在實(shí)際應(yīng)用中,很難確定出隨機(jī)過程的有限維分布函數(shù)族,過程的數(shù)字特征能反映其局部統(tǒng)計(jì)性質(zhì).需確定各類數(shù)字特征隨時(shí)間的變化規(guī)律.403.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征

（用隨機(jī)變量和隨機(jī)向量的數(shù)字特征定義）

1、數(shù)學(xué)期望（均值函數(shù)）

隨機(jī)過程{X(t),t?T}的數(shù)學(xué)期望定義為若{X(t),t?T}的狀態(tài)空間是連續(xù)的，一維概率密度為f(x,t),則若{X(t),t?T}的狀態(tài)空間是離散的，則

均值函數(shù)表示X(t)的所有樣本函數(shù)在時(shí)刻t的平均值。413.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、方差函數(shù)

隨機(jī)過程{X(t),t?T}的方差函數(shù)定義為若{X(t),t?T}的狀態(tài)空間是連續(xù)的，一維概率密度為f(x,t),則若{X(t),t?T}的狀態(tài)空間是離散的，則隨機(jī)過程{X(t),t?T}的均方差函數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)）定義為423.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、方差函數(shù)

方差函數(shù)描述了隨機(jī)過程{X(t),t?T}的諸樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻對其均值的偏離程度。m(t)m(t)m(t)方差小方差大方差越來越小均值相同方差不同433.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)僅描述了各個(gè)孤立時(shí)刻狀態(tài)的數(shù)字特征，不能反映兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系。隨時(shí)間變化緩慢，相關(guān)性強(qiáng)均值、方差相同，各時(shí)刻相關(guān)程度不同隨時(shí)間變化劇烈，相關(guān)性弱443.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)

定義隨機(jī)過程{X(t),t?T}的自相關(guān)函數(shù)為

定義隨機(jī)過程{X(t),t?T}的自協(xié)方差函數(shù)為（二階混合原點(diǎn)矩）（二階混合中心矩）453.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)

相關(guān)函數(shù)反映了任意兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)之間的相關(guān)程度；協(xié)方差函數(shù)反映了任意兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)相對于均值的起伏之間的相關(guān)程度。兩者之間的關(guān)系：當(dāng)當(dāng)t1=t2=t時(shí)，協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)一致相關(guān)函數(shù)與均方值一致協(xié)方差函數(shù)與方差一致463.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征4、相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差函數(shù)反映了同一隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)相對于均值的起伏值之間的相關(guān)程度，與此兩個(gè)起伏值的強(qiáng)度有關(guān)，不能確切表示相關(guān)程度的大小。為此，應(yīng)消除起伏值的強(qiáng)度的影響，對協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理。定義為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的相關(guān)系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)）。

473.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征5、二階矩過程和相關(guān)理論

隨機(jī)過程最重要的數(shù)字特征是均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)，其它的數(shù)字特征都可由這二者算出。

均值函數(shù)稱為過程的一階矩，方差函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)稱為過程的二階矩。

如果隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一、二階矩存在，則稱該隨機(jī)過程為二階矩過程。

從二階矩過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)出發(fā)討論隨機(jī)過程的性質(zhì)，而允許不涉及它的有限維分布，這種理論稱為隨機(jī)過程的相關(guān)理論。483.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征6、互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)

定義隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的互相關(guān)函數(shù)為

定義隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的互協(xié)方差函數(shù)為（二階混合原點(diǎn)矩）（二階混合中心矩）493.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征6、互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)

兩者之間的關(guān)系：則稱隨機(jī)過程X(t)和Y(t)互為正交過程。

相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過程必是互不相關(guān)的；而互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過程不一定是相互獨(dú)立的。若若則稱隨機(jī)過程X(t)和Y(t)互為不相關(guān)。503.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征例：給定隨機(jī)過程{X(t),t≥0}X(t)=X0+Vt,t≥0。其中X0與V是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從N(0,1)。求其數(shù)字特征及一、二維概率密度

解：均值函數(shù)m(t)=E[X(t)]=E(X0)+E(V)·t=0

方差函數(shù)

因X0與V是相互獨(dú)立且都服從N(0,1)故X(t)=X0+Vt也服從正態(tài)分布：X(t)~N(0,1+t2),t≥0,{X(t),t≥0}的一維概率密度為513.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征協(xié)方差函數(shù)：因X0與V是相互獨(dú)立且都服從N(0,1)，從而523.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)相位正弦波

其中為常數(shù)，是在[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)變量，求{X(t),-∞<t<+∞}的均值函數(shù)、方差函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)θ概率密度為均值函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為533.5隨機(jī)過程的特征函數(shù)隨機(jī)過程的概率密度與特征函數(shù)是一傅氏變換對。

1、一維特征函數(shù)

隨機(jī)過程{X(t),t?T}的在一特定時(shí)刻t1的取值X(t1)是一維隨機(jī)變量，若其一維概率密度為fX(x1,t1),則定義為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一維特征函數(shù)。

n階原點(diǎn)矩函數(shù)543.5隨機(jī)過程的特征函數(shù)2、二維特征函數(shù)

隨機(jī)過程{X(t),t?T}的在任意二個(gè)時(shí)刻t1、t2的取值構(gòu)成二維隨機(jī)變量[X(t1),X(t2)]

，若其二維概率密度為fX(x1,x2;t1,

t2),則定義為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的二維特