第四章指數函數對數函數與冪函數知識點清單-高一上學期數學人教B版

新教材人教B版2019版數學必修第二冊第四章知識點清單目錄第四章指數函數、對數函數與冪函數4.1指數與指數函數4.1.1實數指數冪及其運算4.1.2指數函數的性質與圖像4.2對數與對數函數4.2.1對數運算4.2.2對數運算法則4.2.3對數函數的性質與圖像4.3指數函數與對數函數的關系4.4冪函數4.5增長速度的比較4.6函數的應用(二)4.7數學建模活動：生長規(guī)律的描述第四章指數函數、對數函數與冪函數4.1指數與指數函數4.1.1實數指數冪及其運算一、根式1.n次方根的定義：一般地，給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得xn=a，則x稱為a的n次方根.2.n次方根的表示(n>1，且n∈N*)n為奇數n為偶數a∈Ra>0a=0a<0x=nx=±nx=0不存在3.根式的定義：當na有意義的時候，na稱為根式，n稱為根指數，a4.根式的性質(n>1，且n∈N*)(1)(na)n=a(2)當n為奇數時，nan=a；當n為偶數時，n二、分數指數冪(1)正分數指數冪：一般地，如果n是正整數，那么：當na有意義時，規(guī)定a1n=na；當na沒有意義時對于一般的正分數mn,也可作類似規(guī)定，即amn=(na)m=nam{m,n∈N(2)負分數指數冪：負分數指數冪的定義與負整數指數冪類似，即若s是正分數，as有意義且a≠0時，規(guī)定a-s=1a規(guī)定：0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.三、有理數指數冪的運算法則1.asat=as+t(a>0，s，t∈Q).2.(as)t=ast(a>0，s，t∈Q).3.(ab)s=asbs(a>0，b>0，s∈Q).四、實數指數冪1.一般地，當a>0且t是無理數時，at都是一個確定的實數.因此，當a>0，t為任意實數時，可以認為實數指數冪at都有意義.有理數指數冪的運算法則同樣適用于實數指數冪.五、根式與分數指數冪的化簡、求值1.利用根式的性質進行化簡、求值的思路及注意點(1)思路：首先要分清根式為奇數次根式還是偶數次根式，然后運用根式的性質進行化簡或求值.(2)注意點：正確區(qū)分nan與(na)

nan(n>1，n∈N*)是實數an的n次方根，是一個恒有意義的式子，a∈R，不受n的奇偶限制，但這個式子的值受n的奇偶限制，不一定等于a.(na)n(n>1，n∈N*)是實數a的n次方根的n次冪，其中實數a的取值由n的奇偶決定，2.根式與分數指數冪運算的原則與技巧(1)將根式化為分數指數冪.(2)將負分數指數冪化為正分數指數冪的倒數.(3)底數是小數時，先將其化成分數；底數是帶分數時，先將其化成假分數，然后要盡可能用冪的形式表示，便于利用指數冪的運算法則進行運算.注意：運算的結果不能同時含有根式和分數指數冪，也不能既含有分母又含有負指數冪.六、指數冪的條件求值問題1.將已知條件或所求代數式進行恰當變形，從而通過“整體代換法”求出代數式的值.

2.“整體代換法”是數學中變形與計算常用的方法，分析觀察條件與結論中代數式的結構特點，靈活運用恒等式是關鍵.常用的變形公式有：①a±2a12b12+b=(a②(a12+b12)·(a③a32+b32=(a12④a32-b32=(a12-4.1.2指數函數的性質與圖象一、指數函數1.一般地，函數y=ax稱為指數函數，其中a是常數，a>0且a≠1.2.指數函數解析式的結構特征(1)底數a為大于0且不等于1的常數；(2)指數位置是自變量x，且x的系數是1；(3)ax的系數是1.二、指數函數的性質與圖象函數y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象?性質定義域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶函數定點圖象過定點(0，1)函數值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調性增函數減函數注：指數函數y=ax與y=1ax(a>0且a≠1)的圖象關于y2.指數函數y=ax(a>0且a≠1)的底數a對圖象相對位置的影響：(1)在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，即“底大圖高”；(2)在y軸左側，圖象從上到下相應的底數由小變大，即“底大圖低”.三、比較指數冪的大小1.指數冪比較大小的類型及方法(1)底數相同，指數不同：利用指數函數的單調性進行判斷；(2)底數不同，指數相同：利用底數不同的指數函數的圖象的變化規(guī)律進行判斷；(3)底數不同，指數不同：通過中間量來比較，中間量常選用0或1.注：對于3個(或3個以上)指數冪的大小比較，可先根據其與特殊值(常選用0或1)的大小比較進行分組，再比較各組數的大小.四、解指數不等式1.簡單指數不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0且a≠1)的單調性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化成以a為底數的冪的形式，再借助y=ax(a>0且a≠1)的單調性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助函數y=ax與y=bx(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的圖象求解；(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式，可利用換元法，將其轉化為不含指數的不等式.五、與指數函數有關的函數的定義域、值域1.求與指數函數有關的函數的定義域時，要觀察函數是y=af(x)型還是y=f(ax)型.(1)當函數是y=af(x)(a>0且a≠1)型時，由于指數函數y=ax(a>0且a≠1)的定義域是R，所以函數y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同.(2)當函數是y=f(ax)(a>0且a≠1)型時，先令u=ax，然后確定y=f(u)的定義域，即u=ax的值域，由此構造關于x的不等式(組)，確定x的取值范圍，從而得到y(tǒng)=f(ax)的定義域.2.求與指數函數有關的函數的值域時，重點是要注意指數函數的值域為(0，+∞).(1)求函數y=af(x)(a>0且a≠1)的值域，需先確定f(x)的值域，再根據指數函數y=ax的單調性確定函數y=af(x)的值域.(2)求函數y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域，先令u=ax，然后利用函數u=ax的單調性確定u=ax的值域，進而確定函數y=f(u)的值域，即為y=f(ax)的值域.五、與指數函數有關的函數的單調性1.形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函數的單調性的判斷方法當a>1時，函數u=f(x)的單調遞增(減)區(qū)間即為函數y=af(x)的單調遞增(減)區(qū)間；當0<a<1時，函數u=f(x)的單調遞減(增)區(qū)間即為函數y=af(x)的單調遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函數的單調性的判斷方法通過內層函數u=ax的值域確定外層函數y=f(u)的定義域，在此定義域內討論外層函數的單調區(qū)間，再根據復合函數“同增異減”的規(guī)律確定復合函數的單調區(qū)間.4.2對數與對數函數4.2.1對數運算4.2.2對數運算法則一、對數的概念1.對數的概念在表達式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，當a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數b稱為以a為底N的對數，記作b=logaN，其中a稱為對數的底數，N稱為對數的真數.2.對數的性質(1)負數和零沒有對數.(2)1的對數是0，即loga1=0(a>0且a≠1)；底的對數是1，即logaa=1(a>0且a≠1).3.對數式與指數式的關系(1)當a>0且a≠1時，ab=N?b=logaN.(2)對數恒等式：alogaN=N；logaab4.常用對數與自然對數以10為底的對數稱為常用對數，并把log10N簡寫為lgN；以無理數e=2.71828…為底的對數稱為自然對數，并把logeN簡寫為lnN.二、對數的運算法則1.如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)logaMα=αlogaM(α∈R)；(3)logaMN=logaM-logaN三、換底公式1.換底公式：logab=logcblogca(a>0且a≠12.相關結論：logatbs=stlogab(a>0且a≠1，b>0，s∈R，t∈R且t≠0)，logab=1logba四、利用對數的運算法則化簡、求值1.利用對數的運算法則求值的關鍵是化異為同，先使各項底數相同，再找真數間的聯(lián)系.2.同底數的對數式化簡的常用方法(1)“收”，將同底對數的和(差)“收”成積(商)的對數，即“收”為一個對數式；(2)“拆”，將積(商)的對數“拆”成兩個對數之和(差).3.在利用換底公式進行化簡求值時，一般情況下是根據題中所給對數式的具體特點選擇恰當的底數進行換底，如果所給的對數式中的底數和真數互不相同，那么可以選擇以10為底數進行換底.五、對數與指數的綜合運用1.(1)在對數式與指數式的互化運算中，要注意靈活應用定義、運算性質，尤其要注意條件和結論之間的關系.(2)對于連等指數式，可令其等于k(k>0)，然后將指數式轉換為對數式，再由換底公式將各指數的倒數化為同底的對數，從而解決問題.2.解決對數應用問題時，首先要理解題意，弄清關鍵詞及字母的含義，然后設未知數，建立數學模型，最后轉化為常用對數問題來求解.4.2.3對數函數的性質與圖像一、對數函數1.一般地，函數y=logax稱為對數函數，其中a是常數，a>0且a≠1.2.對數函數解析式的結構特征(1)底數a為大于0且不等于1的常數；(2)真數是自變量x，且x的系數是1；(3)logax的系數是1.二、對數函數的性質與圖象函數y=logax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象?性質定義域(0，+∞)值域R奇偶性非奇非偶函數定點圖象過定點(1，0)函數值的變化x∈(0，1)時，y∈(-∞，0)；x∈[1，+∞)時，y∈[0，+∞)x∈(0，1)時，y∈(0，+∞)；x∈[1，+∞)時，y∈(-∞，0]單調性增函數減函數1.對數函數y=logax與y=log1ax(a>0且a≠2.單調性相同的對數函數，它們位于直線x=1右側部分的圖象滿足“底大圖低”的規(guī)律.利用此性質可比較不同對數函數的底數大小，具體方法如下：作直線y=1與各個對數函數的圖象，在第一象限內，從左到右，對數函數的底數逐漸增大.三、比較對數值的大小1.同底數的利用對數函數的單調性進行判斷.2.同真數的利用對數函數的圖象進行判斷，或先用換底公式進行轉化，然后判斷.3.底數和真數都不同的，找中間量.4.若底數為同一參數，則根據底數對對數函數單調性的影響，對底數進行分類討論.四、解對數不等式1.形如logaf(x)>logab(a>0且a≠1)的不等式，借助函數y=logax的單調性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.2.形如logaf(x)>b(a>0且a≠1)的不等式，先將b化成以a為底數的對數式的形式(即b=logaab)，再借助函數y=logax的單調性求解.3.形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用換底公式化為同底的對數進行求解，或利用圖象求解.五、與對數函數有關的函數的定義域、值域1.對數型函數的定義域(1)求對數型函數的定義域，要注意真數必須大于0，如在y=logaf(x)(a>0且a≠1)中應首先保證f(x)>0；(2)若底數中也含有變量，則底數應大于0且不等于1.2.求對數型函數值域的常用方法(1)直接法：根據函數解析式的特征，由函數自變量的范圍直接得出函數的值域.(2)配方法：當所給的函數可化為二次函數形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(a>0且a≠1，m≠0))時，可以用配方法求函數的值域.(3)單調性法：根據所給函數在其定義域(或定義域的某個子集)上的單調性，求出函數的值域.(4)換元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的函數的值域時，先換元，令u=f(x)，利用此函數的圖象和性質求出u的范圍，再利用y=logau的單調性、圖象求出y的取值范圍.五、與對數函數有關的函數的單調性1.“定義域優(yōu)先”原則：單調區(qū)間是定義域的子集.求函數的單調區(qū)間時一定要先求其定義域.2.與對數函數有關的函數的單調性的判斷方法（1）形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的復合函數，當a>1時，y=logaf(x)的單調性與y=f(x)的單調性相同；當0<a<1時，y=logaf(x)的單調性與y=f(x)的單調性相反.（2）形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的復合函數，一般用復合函數單調性的規(guī)律判斷，先令t=logax，然后只需研究t=logax與y=f(t)的單調性即可.4.3指數函數與對數函數的關系一、反函數1.反函數的概念一般地，如果在函數y=f(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為y=f(x)的反函數.此時，稱y=f(x)存在反函數.函數y=f(x)的反函數記作y=f-1(x).2.函數y=f(x)與y=f-1(x)的定義域和值域正好互換，且它們的圖象關于直線y=x對稱.3.對反函數概念的理解(1)并不是任意一個函數y=f(x)都存在反函數，只有當函數的定義域與值域中的值是一一對應的關系時，這個函數才存在反函數.(2)反函數也是函數.(3)互為反函數的兩個函數在相應區(qū)間上的單調性一致.(4)奇函數不一定存在反函數，若存在，它的反函數也是奇函數；偶函數一定不存在反函數.(5)因為互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，所以若y=f(x)的圖象過點(a，b)，則點(b，a)必在其反函數的圖象上.4.求反函數的基本步驟(1)求函數y=f(x)的值域，它是反函數的定義域；(2)由y=f(x)解出x=f-1(y)；(3)交換x，y，得y=f-1(x)；(4)寫出反函數的定義域.4.4冪函數一、冪函數的概念1.一般地，函數y=xα稱為冪函數，其中α為常數.二、常見冪函數的性質與圖象1.常見冪函數的性質冪函數y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)值域R[0，+∞)R[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)單調性增函數在[0，+∞)上單調遞增，在(-∞，0)上單調遞減增函數增函數在(0，+∞)上單調遞減，在(-∞，0)上單調遞減奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數公共點圖象都經過點(1，1)2.在同一平面直角坐標系內作出函數y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的圖象，?三、冪函數的共同特征1.所有的冪函數在區(qū)間(0，+∞)上都有定義，因此在第一象限內都有圖象，并且圖象都通過點(1，1).2.如果α>0，則冪函數y=xα的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，+∞)上是增函數.3.如果α<0，則冪函數y=xα在區(qū)間(0，+∞)上是減函數，且在第一象限內：當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方且無限地逼近y軸；當x無限增大時，圖象在x軸上方且無限地逼近x軸.四、冪函數圖象的應用1.根據冪函數在第一象限內的圖象可以確定冪指數α與0，1的大小關系.2.依據圖象高低可以判斷冪指數的大小，相關結論如下：(1)在x∈(0，1)上，冪指數越大，冪函數的圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)；(2)在x∈(1，+∞)上，冪指數越大，冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).五、冪函數的性質的應用1.冪函數y=xα中只有一個參數α，冪函數的所有性質都與α的取值有關，故可由α確定冪函數的定義域、值域、單調性、奇偶性.反過來，也可由冪函數的性質去限制α的取值：(1)利用冪函數的單調性求出α的取值范圍；(2)由奇偶性結合所給條件確定α的值.4.5增長速度的比較一、平均變化率1.定義：函數f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2)上的平均變化率為ΔfΔx=f(2.實質：平均變化