數(shù)據(jù)分布特征課件

第四章

數(shù)據(jù)分布特征的描述

一、均值(mean)(一)概念均值是反映數(shù)據(jù)分布集中趨勢(shì)十分重要的數(shù)據(jù)，代表總體單位某一標(biāo)志值的一般水平。(二)特征1.具有抽象性。2.具有代表性。

3.反映總體分布的集中趨勢(shì)。(三)舉例

1.某市中學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為21小時(shí)。2.某農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)2月份牛肉的平均價(jià)格為34元/千克。3.某地區(qū)“十五”期間經(jīng)濟(jì)平均增長(zhǎng)率為9.6%。第一節(jié)

數(shù)據(jù)分布集中趨勢(shì)的測(cè)定（四）均值的種類(lèi)及計(jì)算

1.算術(shù)平均數(shù)**

(1)概念

算術(shù)平均數(shù)又稱(chēng)平均值，是用一組數(shù)據(jù)中所有值之和除以該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

（我們最熟悉，用途最廣，但我們有時(shí)卻不一定能計(jì)算出均值，要學(xué)好均值的計(jì)算。）

(2)基本公式算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算**簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù):

總體平均數(shù)

樣本平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算

**加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（重點(diǎn)）

概念:是對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)都根據(jù)其在全組中的重要程度賦予一定權(quán)重后得到的算術(shù)平均數(shù)。

計(jì)算公式:

（1）未分組數(shù)據(jù)

其中，w表示各組的標(biāo)志總量，而不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，總體和樣本加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式是相同。

(雞兔同籠問(wèn)題，15只雞，20只兔子，平均每只動(dòng)物有多少條腿)

[例4-1]根據(jù)某公司四個(gè)品牌數(shù)碼相機(jī)的銷(xiāo)售資料計(jì)算平均利潤(rùn)率。(P71)表4-1四個(gè)品牌數(shù)碼相機(jī)的利潤(rùn)率和銷(xiāo)售額資料四個(gè)品牌數(shù)碼相機(jī)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)率為：⑵分組的加權(quán)平均數(shù):根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值。

樣本均值的計(jì)算公式（難點(diǎn)）

總體均值的計(jì)算公式：表示各組的變量值（組距式數(shù)列的組中值）；表示各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)（即權(quán)數(shù)）。（算術(shù)平均數(shù)的不足，P72.）其中，

[例4-2]根據(jù)某電腦公司在各市場(chǎng)上銷(xiāo)售量的分組數(shù)據(jù)，計(jì)算電腦銷(xiāo)售量的均值。

按銷(xiāo)售量分組（臺(tái)）組中值(Mi)市場(chǎng)個(gè)數(shù)(fi)Mifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計(jì)—

∑fi＝

120∑Mifi

＝222002.調(diào)和平均數(shù)（1）概念:

調(diào)和平均數(shù)又稱(chēng)倒數(shù)平均數(shù)，是各個(gè)變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。

（調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn)，P73）

（2）計(jì)算簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù):針對(duì)未分組資料。計(jì)算公式為：2.調(diào)和平均數(shù)

加權(quán)調(diào)和平均數(shù):針對(duì)分組資料。

計(jì)算公式為:

其中:

是一種特殊權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，表示各組標(biāo)志總量。即

[例4-3]根據(jù)某商場(chǎng)職工月工資資料計(jì)算月平均工資。

表4-3某商場(chǎng)職工月工資資料3.幾何平均數(shù)(1)概念:幾何平均數(shù)(geometricmean)又稱(chēng)對(duì)稱(chēng)平均數(shù)，它是各變量值乘積的n次方根。(2)計(jì)算基本公式:

對(duì)數(shù)公式:在實(shí)際工作中，由于變量個(gè)數(shù)較多，通常要應(yīng)用對(duì)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。即

(3)幾何平均數(shù)的應(yīng)用及特點(diǎn)

①應(yīng)用條件a.變量值是相對(duì)數(shù)據(jù)，如比率或發(fā)展速度。b.變量值的連乘積等于總比率或總發(fā)展速度。②特點(diǎn)a.如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零或負(fù)值，則無(wú)法計(jì)算。b.受極端值影響較小，故較穩(wěn)健。

[例4-4]

某電器銷(xiāo)售公司2000～2005年銷(xiāo)售量的環(huán)比增長(zhǎng)率分別為：7.6%、2.5%、0.6％、2.7%和2.2%。求這期間銷(xiāo)售量的平均增長(zhǎng)速度。表4-4銷(xiāo)售量平均發(fā)展速度計(jì)算表幾何平均數(shù)的計(jì)算示例幾何平均數(shù)的計(jì)算示例

1.采用基本公式計(jì)算的銷(xiāo)售量平均發(fā)展速度為:2.采用對(duì)數(shù)公式計(jì)算的銷(xiāo)售量平均發(fā)展速度為:所以，銷(xiāo)售量的平均增長(zhǎng)速度=103.1%-1=3.1%二、位置平均數(shù)（一）中位數(shù)(median)

1.概念中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)項(xiàng)按照數(shù)值大小升序或者降序排列后位于中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)，符號(hào)為。2.中位數(shù)的計(jì)算方法(1)未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

將變量值按升序或降序排列，找中間位置的變量值。

(2)單項(xiàng)數(shù)列的中位數(shù)計(jì)算各組的累計(jì)頻數(shù)(向上累計(jì)或向下累計(jì))；根據(jù)中位數(shù)位置確定中位數(shù)。[例4-5]

計(jì)算某公司銷(xiāo)售人員月銷(xiāo)售冰箱中位數(shù)

表4-5某公司銷(xiāo)售人員月銷(xiāo)售冰箱中位數(shù)計(jì)算按月銷(xiāo)售冰箱分組(臺(tái))銷(xiāo)售人員數(shù)(人)向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)25303234363931014271883132754728080776753268合計(jì)80－－中位數(shù)的位置

即中位數(shù)在累計(jì)頻數(shù)為40的那一組內(nèi)（向上累計(jì)或向下累計(jì)均可得出），則。

2.中位數(shù)的計(jì)算方法（3）組距數(shù)列的中位數(shù)：由下列公式近似計(jì)算

下限公式其中:為總體單位總數(shù)；為中位數(shù)組的下限；為中位數(shù)組以下的累計(jì)頻數(shù)；為中位數(shù)組的頻數(shù)；為中位數(shù)組的組距；[例4-6]求以下組距數(shù)列的中位數(shù)。

按家庭收入分組（元）家庭數(shù)（戶(hù)）向上累計(jì)頻率5000以下5000～1000010000～1500015000～2000020000以上214514662166808692合計(jì)92－中位數(shù)的近似值為：表4-6某地區(qū)家庭收入分組中位數(shù)的位置在第46（92/2）位，應(yīng)在第二組中位數(shù)的特點(diǎn)⑴是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開(kāi)口組的影響。

⑵對(duì)于分配不對(duì)稱(chēng)的數(shù)據(jù)，中位數(shù)比平均值更適合當(dāng)集中趨勢(shì)的代表值。⑶

對(duì)某些不具有數(shù)字特征或不能用數(shù)字測(cè)定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)表示其一般水平。例如，對(duì)眾多的消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)數(shù)碼相機(jī)時(shí)，分別對(duì)價(jià)格、外觀、品質(zhì)的注重程度排序后，可以求出消費(fèi)者在乎的中位數(shù)因素。

二、位置平均數(shù)（二）眾數(shù)

1.概念

眾數(shù)(mode)是指在一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，符號(hào)為。

2.數(shù)據(jù)數(shù)列的眾數(shù)分布情況

無(wú)眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：13791268

一個(gè)眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：659866

多個(gè)眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：2235273527363.眾數(shù)的計(jì)算方法**品質(zhì)變量的眾數(shù)——觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值就是眾數(shù)。

例如:企業(yè)的所有制結(jié)構(gòu)分布、人口的城鄉(xiāng)分布。**數(shù)值變量的眾數(shù)未分組資料——觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)。分組資料（1）單項(xiàng)式數(shù)列——直接觀察，次數(shù)最多的組的變量值即為眾數(shù)。

[例4-7]單項(xiàng)式變量數(shù)列確定眾數(shù)實(shí)例

表4-7某市居民家庭按家庭人口數(shù)分組

由上表可以看出，家庭人口數(shù)為3人的家庭數(shù)最多，因此本例中家庭人口數(shù)的眾數(shù)為3人。3.眾數(shù)的計(jì)算方法

組距數(shù)列計(jì)算眾數(shù)：由下列公式近似計(jì)算：

其中為眾數(shù)組與前一組頻數(shù)之差；為眾數(shù)組的下限；為眾數(shù)組與后一組頻數(shù)之差；為眾數(shù)組的組距。[例4-8]組距式數(shù)列計(jì)算眾數(shù)示例收入組別人均收入（元）頻數(shù)（人）1234562000元以下2000～4000元4000～6000元6000～8000元8000～10000元10000以上234368322410合計(jì)－200其眾數(shù)的近似值為：表4-8某地區(qū)的人均月收入調(diào)查數(shù)據(jù)三、均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較（一）均值、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系

1.當(dāng)數(shù)據(jù)呈對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，三者合而為一。2.當(dāng)數(shù)據(jù)呈左偏分布時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在極小值，必然拉動(dòng)均值向極小值一方靠，則從左至右依次是均值、中位數(shù)和眾數(shù)。3.當(dāng)數(shù)據(jù)呈右偏分布時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在極大值，必然拉動(dòng)均值向極大值一方靠，則從左至右依次是眾數(shù)、中位數(shù)和均值。

三、均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較(二)均值、眾數(shù)和中位數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合

**均值是對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)的計(jì)算，利用了全部數(shù)據(jù)信息，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢(shì)測(cè)度值。

**中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，其特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)極端值的影響，主要適合于作為順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。

**眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，它也是一種位置代表值，不受極端值的影響，主要適合于作為分類(lèi)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。（P79）

一、極差（一）概念：又稱(chēng)全距，是數(shù)據(jù)中最大值和最小值之差。記為。（二）計(jì)算

1.未分組數(shù)據(jù)的極差為：表示數(shù)據(jù)的最大值；表示數(shù)據(jù)的最小值。2.分組數(shù)據(jù)的極差

極差＝最大組的上限－最小組的下限

若存在開(kāi)口組,則:

最大組的上限＝前一組的上限＋組距最小組的下限＝下一組的下限－組距其中:第二節(jié)

數(shù)據(jù)分布離散程度的測(cè)定(三)修正極差

1.概念:修正極差(modifiedrange)是去掉極端值后的極差，又稱(chēng)四分位全距(IQR，interquartilerange)，是中間50％的數(shù)據(jù)的間距，即數(shù)據(jù)分布中第25個(gè)和第75個(gè)百分位數(shù)的間距，也即第1個(gè)和第3個(gè)四分位數(shù)的間距。

2.公式：

其中，Q3表示第3個(gè)四分位數(shù)，即第75個(gè)百分位數(shù)；

Q1表示第1個(gè)四分位數(shù)，即第25百分位數(shù)。

二、平均差（一）概念

平均差(meanabsolutedeviation，MAD)是各數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的平均數(shù)。

（假設(shè)有兩個(gè)球員，五場(chǎng)比賽得分如下，A：8、10、12、13、7；B:2、30、0、11、7。如果你是教練，你選哪個(gè)？試計(jì)算平均差和方差。）（二）樣本平均差的計(jì)算公式

1.未分組數(shù)據(jù)：

2.分組數(shù)據(jù)：

三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差(一)概念方差(variance)是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)是方差的平方根，又稱(chēng)“均方差”。(二)比較與評(píng)價(jià)

1.其內(nèi)涵與平均差相似，均為各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)其平均數(shù)的平均離差。但平均差采用求絕對(duì)值消除正負(fù)離差,標(biāo)準(zhǔn)差采用平方法消除正負(fù)離差，在數(shù)學(xué)處理上標(biāo)準(zhǔn)差比平均差更為科學(xué)合理。2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最主要的指標(biāo)。

（例：P84）[例4-9]某電腦公司銷(xiāo)售量分組數(shù)據(jù)如表4-7，計(jì)算銷(xiāo)售量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差(如何計(jì)算均值？）

表4-7某電腦公司銷(xiāo)售量分組數(shù)據(jù)（三）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算示例總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算示例

根據(jù)公式計(jì)算可知總體均值為:

總體方差為：

總體標(biāo)準(zhǔn)差為：

[例4-10]

根據(jù)以下資料，計(jì)算企業(yè)職工平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差。（已知平均工資為760元）

表4-9某企業(yè)職工工資分組數(shù)據(jù)表總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算示例

總體方差為：

總體標(biāo)準(zhǔn)差為：

(四)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1.說(shuō)明

在大多數(shù)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中，都針對(duì)樣本數(shù)據(jù)來(lái)分析總體數(shù)量特征。因此通常用樣本方差來(lái)估計(jì)總體方差，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。2.符號(hào)樣本容量用n表示；樣本方差用S2表示；

樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S表示。3.計(jì)算公式（P86）

與總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式類(lèi)似,區(qū)別在于分母除以n-1。四、離散系數(shù)(一)概念：離散系數(shù)（coefficientofvariation）也稱(chēng)變異系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的離散指標(biāo)的絕對(duì)數(shù)與其相應(yīng)的均值之比，是離散指標(biāo)的相對(duì)數(shù)形式。（二）表現(xiàn)形式有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。（三）計(jì)算公式總體標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

樣本標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)四、離散系數(shù)

(四)應(yīng)用：用于比較不同總體數(shù)據(jù)分布的離散程度。[例題4-11]

甲乙企業(yè)職工的年均收入分別為20000元和50000元，收入的標(biāo)準(zhǔn)差分別為3000和5000元，哪家企業(yè)職工的收入差距小一些？

[分析]不同企業(yè)的年均收入不同，不能直接比較標(biāo)準(zhǔn)差，只能比較標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。[結(jié)論]乙企業(yè)職工收入差距小于甲企業(yè)。甲企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

乙企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)一、偏態(tài)及其測(cè)定（一）偏態(tài)(skewness)是指數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱(chēng)性，其度量值稱(chēng)為偏態(tài)系數(shù)SK。（二）計(jì)算

未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：