下學(xué)期九年級(jí)第二講圓二

第二講圓（二）虹口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院朱麗霞【知識(shí)框架】圓的有關(guān)性質(zhì)直線與圓的位置關(guān)系圓圓與圓的位置關(guān)系正多邊形與圓關(guān)系【知識(shí)框架】直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系Od相離如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離為d，①相離

d>r；【知識(shí)框架】直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系Od相切如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離為d，①相離

d>r；②相切

d=r；【知識(shí)框架】直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系Od相交如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離為d，①相離

d>r；②相切

d=r；③相交

d<r；相離相切相交【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系Od相切經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。圓的切線判定定理【知識(shí)框架】相離圓的切線判定定理直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系d外離O1RO2r相離相切相交如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，(R>r)①外離

d

>R+r；【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系d外切O1RO2r相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系d相交O1RO2r相離相切相交圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；O1O2【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系Rd

r內(nèi)切相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內(nèi)切

d

=∣R-r∣；圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，OO1

2【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系Rd

r內(nèi)含相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內(nèi)切

d

=∣R-r∣；⑤內(nèi)含

0≤d

<

∣R-r∣

；圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，OO1

2【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系Rd

r內(nèi)含相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內(nèi)切

d

=∣R-r∣；⑤內(nèi)含

0≤d

<

∣R-r∣

；d=0時(shí)，同心圓圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，OO1

2【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系Rd

r內(nèi)含相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內(nèi)切

d

=∣R-r∣；⑤內(nèi)含

0≤d

<

∣R-r∣

；d=0時(shí)，同心圓外

內(nèi)離

含外

內(nèi)切

切圓的切線判定定理【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系相離相切相交外

內(nèi)離

含外

內(nèi)切

切兩圓連心線的性質(zhì)O1O2相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。P外切O1O2P內(nèi)切圓的切線判定定理【知識(shí)框架】相離直線與圓的位置關(guān)系相切相交圓與圓的位置關(guān)系相離相切相交外

內(nèi)離

含外

內(nèi)切

切兩圓連心線的性質(zhì)相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1O2BA圓的切線判定定理例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）

A．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)【典型例題講解】

【基礎(chǔ)題】例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）A．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線的距離小于圓的半徑B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)C．圓的切線只有一條D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)正確，和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線與圓的位

置關(guān)系是相交，因此圓心到直

線的距離小于

圓的半徑。例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（的直線的距A．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)

離小于圓的半徑

B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)C．圓的切線只有一條D．圓心到線段的距離小于半錯(cuò)徑誤，

么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)圓心到直線l之間的距離等于半徑，那么直線與圓相切，ABl垂線段的）長(zhǎng)度注意：點(diǎn)到直線的距離O例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（的直線的距OA因?yàn)橹本€l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，此時(shí)l和圓有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)A．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)

離小于圓的半徑

B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)C．圓的切線只有一條D．圓心到線段的距離小于半錯(cuò)徑誤，

么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)圓心到直線l之間的距離等于半徑，那么直線與圓相切.注意：點(diǎn)到直線的距離與B垂線段的）長(zhǎng)度l直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的區(qū)別OPl經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）A．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)

C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)錯(cuò)誤，圓的切線可以有無(wú)數(shù)條。例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）A．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)

C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)錯(cuò)誤，圓心到直線的距離小于半徑，那么直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn)。例1（1）下列說(shuō)法中，正確的是

（

）OABA．圓心到和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個(gè)公共點(diǎn)

C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個(gè)交點(diǎn)錯(cuò)誤，圓心到直線的距離小于半徑，那么直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；【說(shuō)明】相離相切相交圖形OdO

dO

dd與r的關(guān)系d>rd=rd<r公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱切點(diǎn)交點(diǎn)直線的名稱切線割線（拓展2）例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)則直線是圓的切線

B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)則直線是圓的切線

B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。錯(cuò)誤，要強(qiáng)調(diào)有唯一公共點(diǎn)例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)則直線是圓的切線

B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。錯(cuò)誤，半徑的外端例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)則直線是圓的切線

B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。錯(cuò)誤，要加一個(gè)條件：經(jīng)過(guò)半徑的外端例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)則直線是圓的切線

B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。正確【說(shuō)明】●切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線是圓的切線定理：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；●切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。例1（3）下列說(shuō)法中，正確的是

(

)A．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓外離

B．相切兩圓的圓心必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

C．相交兩圓的交點(diǎn)關(guān)于連心線對(duì)稱

D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓心距為d，當(dāng)兩圓同心時(shí)R-r>d例1（3）下列說(shuō)法中，正確的是(

)A．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓外離

B．相切兩圓的圓心必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

C．相交兩圓的交點(diǎn)關(guān)于連心線對(duì)稱1

2當(dāng)兩圓同心時(shí)R-r>dD．若圓O

、圓O

的半徑為R、r，圓錯(cuò)心誤距，為可d能，外離，也可能內(nèi)含沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓相離（外離或內(nèi)含）例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是(

)A．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓外離

B．相切兩圓的圓心距必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)當(dāng)兩圓同心時(shí)R-r>dC．相交兩圓的交點(diǎn)關(guān)于連心線對(duì)稱錯(cuò)誤，應(yīng)將圓心

D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓距心改距為為連d心，線沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓相離（外離或內(nèi)含）圓心距是兩圓圓心之間的距離，是線段的長(zhǎng)度。連心線是聯(lián)結(jié)兩圓圓心的直線。線段直線例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是(

)A．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓外離B．相切兩圓的圓心必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)C．相交兩圓的交點(diǎn)關(guān)于連心線對(duì)稱

D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓心距為d，當(dāng)兩圓同心時(shí)R-r>dO1O2BA相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓相離（外離或內(nèi)含）圓心距是兩圓圓心之間的距離，是線段的長(zhǎng)度。連心線是聯(lián)結(jié)兩圓圓心的直線。正確例1（2）下列說(shuō)法中，正確的是A．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓外離B．相切兩圓的圓心必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)錯(cuò)誤，C．相交兩圓的交點(diǎn)關(guān)于連心線對(duì)稱兩圓同心時(shí)d=0D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓心距為d，當(dāng)兩圓同心時(shí)R-r>d(

C

)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。沒(méi)有公共點(diǎn)的兩圓叫做兩圓相離（外離或內(nèi)含）圓心距是兩圓圓心之間的距離，是線段的長(zhǎng)度。連心線是聯(lián)結(jié)兩圓圓心的直線?！菊f(shuō)明】位置關(guān)系圖形d與R、r關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)性質(zhì)相離外離rdRd＞R+r0當(dāng)d=0時(shí)，兩圓為同心圓內(nèi)含rdR0≤d＜∣R-r∣0相切外切rdRd=R+r1相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。內(nèi)切rdR0＜d=∣R-r∣1相交rR∣R-r∣＜d＜R+r2相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。【說(shuō)明】?jī)蓚€(gè)不等圓之間的位置關(guān)系用數(shù)軸表示為：外離相交內(nèi)切外切0（同心圓）R+r∣R-r∣內(nèi)含①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相切

d<r；CADB3452

2S

=

1

AB CD

=

1

AC

BC

ACB當(dāng)r=2時(shí)，CD>r，圓C與直線AB相離2.4∴CD=2.4分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5當(dāng)r=3.5時(shí)，CD<r，圓C與直線AB相交例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．（1）以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長(zhǎng)為

2.4

圓C與直線AB相切，r=2.4范圍.分析：CADB452.4相離相交2.4r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個(gè)交點(diǎn)0<r<2.4時(shí)，圓C與直線AB相離，無(wú)交點(diǎn)3例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是相離

；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是

相交

；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長(zhǎng)為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，求半徑r的取值例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．ADB452.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長(zhǎng)為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，求半徑r的取值范圍.分析：r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個(gè)交點(diǎn)0<r<2.4時(shí)，圓C與直線AB相離，無(wú)交點(diǎn)3r>2.4時(shí)，圓C與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，C例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．ADB452.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長(zhǎng)為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，求半徑r的取值范圍.分析：r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個(gè)交點(diǎn)0<r<2.4時(shí)，圓C與直線AB相離，無(wú)交點(diǎn)3r>2.4直線2.4<r≤3其中r=3時(shí)，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A

C3<r≤4時(shí)，圓C與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，其中r=4時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)B時(shí)，圓C與斜邊AB有兩個(gè)交點(diǎn)，例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．范圍.分析：ADB452.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長(zhǎng)為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，求半徑r的取值r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個(gè)交點(diǎn)0<r<2.4時(shí)，圓C與直線AB相離，無(wú)交點(diǎn)3r>2.4時(shí)，圓C與斜邊AB有兩個(gè)交點(diǎn)，2.4<r≤3其中r=3時(shí)，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A

C3<r≤4時(shí)，圓C與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，其中r=4時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)Br>4時(shí)，圓C與斜邊AB有沒(méi)有交點(diǎn)3<r≤4或r=2.4例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．范圍.AB4D

52.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長(zhǎng)為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個(gè)交點(diǎn)，求半徑r的取值3<r≤4或r=2.4●判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是將3圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較?！衽袛嗑€段與圓的位置關(guān)系要注意線段C是有限的，不是無(wú)限延伸的，因此需要考慮線段的端點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?！菊f(shuō)明】例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是已知兩圓內(nèi)含，一個(gè)圓的半徑是8，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是已知兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是

外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣位置關(guān)系是已知兩圓內(nèi)含，一個(gè)圓的半徑是8，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是

已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是

已知兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是

（2）已知兩圓的半徑是6與8，R圓+r心=1距4,是d=71，5

那么這兩個(gè)圓的∴d

>R+r外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是

外離

例3（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個(gè)圓的半徑的取值范圍是

∣R-r∣=2已知兩圓相切，一圓的半∴徑∣是R-6r，∣圓＜心d＜距R是+r7，那么另一圓的半徑是

已知兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是

外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣圓的位置關(guān)系是

外離

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是相交已知兩圓內(nèi)含，一個(gè)圓的R+半r

徑=1是4,d8，=7圓心距是7，另一個(gè)7＜∣8-r∣∴r-8＞7或r-8＜-7且r＞0∴r＞15或0＜r＜1外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是

外離

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是

相交

已知兩圓內(nèi)含，一個(gè)圓的半徑是8，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是r＞15或0＜r＜1已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是

已知兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個(gè)圓的半d＜徑∣的R取-r值∣范圍是

圓的半徑是圓的半徑的外切

d=R+r∴

7=6+r

r=1內(nèi)切

d=∣R-r∣∴7=∣6-r∣

r=13或-1∴r=1或13外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是

外離

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是

相交

已知兩圓內(nèi)含，一個(gè)圓的半徑是8，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是r＞15或0＜r＜1已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一1或13（5）已知兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個(gè)外切或內(nèi)切

取值范圍是

例3（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個(gè)外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣圓的位外置離關(guān)系d是>R+r外∣離

∴已7<知6+兩r

圓的r半<1徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)內(nèi)系含是

0相≤交d

<∣R-r∣∴已7知<∣兩6圓-r∣內(nèi)含r>，13一或個(gè)r<圓0

的半徑是8，圓心距是7，另一個(gè)圓的半∵徑r>的0取值范圍是r＞15或0＜r＜1∴已0知<r兩<1圓或相r>切13，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是

1或13

已知兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個(gè)圓的半徑的取值范圍是

0<r<1或r>13

外離或內(nèi)含【說(shuō)明】外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內(nèi)切

0＜d=∣R-r∣內(nèi)含

0≤d＜∣R-r∣●相離包括外離與內(nèi)含，兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)；相切包括外切與內(nèi)切，兩圓有一個(gè)公共點(diǎn).●在解絕對(duì)值方程時(shí)注意：x

>a(a

>0)的解集是x

>a

或x

<-ax

<a(a

>0)的解集是-a

<x

<a例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這兩圓的圓心距是

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這兩圓的圓心距是

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAC

653

4O2例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAC54在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

43

47

O2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

77兩圓的圓心距是4

+例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAO2C在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

4在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

77兩圓的圓心距是4

+O2

O1例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。A在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

42

2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

32=

7∴O1O2=4

+

74

-

73CB兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAC534在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

447

O2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

7O

O2

1A3CB兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

4在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

-

7①O1、O2在AB兩側(cè)時(shí)，②O1、O2在AB同側(cè)時(shí)，例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這O1BAC543

47

O2O

O2

1A3CB兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7【說(shuō)明】在解決兩圓相交問(wèn)題時(shí)，常添連心線、公共弦等輔助線，這樣，兩圓半徑、圓心距和公共弦的一半就集中到直角三角形中，利用直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決即可。在給出已知不相等的兩圓的半徑和公共弦，求兩圓的圓心距，一般由兩種情況：①兩圓心在公共弦的兩側(cè)②兩圓心在公共弦的同側(cè)（2）已知⊙A與⊙B內(nèi)切，⊙A與⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C半徑分別為6、2、1，且∠BAC=60°，那么BC的長(zhǎng)為

ABC例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這兩圓的圓心距是4

+7

或4

-773⊙A與⊙B內(nèi)切，AB=6-2=4⊙A與⊙C外切，AC=6+1=7460°AB=6-2=4AC=6+1=7相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。外切

d=R+r內(nèi)切

d=∣R-r∣>060°例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長(zhǎng)為6，則這兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7（2）已知⊙A與⊙B內(nèi)切，⊙A與⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C43ABC半徑分別為6、2、1，且∠BAC=60°，那么BC的長(zhǎng)為作BD⊥AC于點(diǎn)D2

32

D

57⊙A與⊙B內(nèi)切，AB=6-2=4⊙A與⊙C外切，AC=6+1=7在Rt△ABD中，∠BAC=60°∴

AD

=

1

AB

=

2,BD

=

2

32在Rt△BCD中，BC

=

(2 3

)2

+

52

=

3737相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。外切

d=R+r內(nèi)切

d=∣R-r∣>0涉及到兩圓位置關(guān)系時(shí)，常用的添輔助線的方法是：①兩圓相交，常添連心線或公共弦②兩圓相切，常添連心線或過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公共切線③涉及到多個(gè)圓的相切問(wèn)題，通過(guò)連心線構(gòu)造三角形，再作高，利用勾股定理去求解。【說(shuō)明】分析：∠A=∠CPC=PAP是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC=PA，PC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)PO，設(shè)PA=x，BC=y求證：△POA∽△CPA求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；當(dāng)x為何值時(shí)，PC與半圓O相切？CAM

POA=OP∠A=∠APO∠C=∠APO

∠A=∠A△POA∽△CPAO8xB

y例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點(diǎn)，分析：CAM

PO8xB

y△POA∽△CPAAxP

=

A4O

A8+Cx

AxP4y

=

1

x2

-

8(0

<

x

<

8)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC=PA，PC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)PO，設(shè)PA=x，BC=y求證：△POA∽△CPA求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；當(dāng)x為何值時(shí)，PC與半圓O相切？例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點(diǎn)，分析：CAM

PO8B

y△POA∽△CPAAxP

A4OA8+Cx

=

AxP4y

=

1

x2

-

84

2xP是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC=PA，PC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)PO，設(shè)PA=x，BC=y求證：△POA∽△CPA求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；當(dāng)x為何值時(shí)，PC與半圓O相切？例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點(diǎn)，①M(fèi)是半圓O的中點(diǎn)((40

<2

x<

<x

8<)8)

②

y>

0點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)PO，設(shè)PA=x，BC=y（1）求證：△POA∽△CPA（3）當(dāng)x為何值時(shí)，PC與半圓O相切？分析：例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點(diǎn)，CAM

PPC與半圓O相切O8B

yx∠OPC=90°O4P

2+PCx

2=O(C4+2y)24y

=

1

x2

-

8（2）求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；4y

=

1

x2

-

8y=4或

4

3y=

4

3P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC=PA，PC與AB的延長(zhǎng)線相交于(4 2

<

x

<

8)(4 2

<

x

<

8)AEC

xyD例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．3BQP4AC

xyD例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．3BQP4yE分析：4DE=DQ=yAD∥BC

AD

=

DE

CP

EC分析：AC

xyDAD∥BC3BQP4yE12y

=x

+

4(x＞0

)DE=DQ=yA4D

=

DyE

CxP

3E-Cy4例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．S△AQES△PQEy

=12x

+

4（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)求出△APQ的面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．AC

xyD3BQP4yE4S△APQ2=

12

y x

=

xy2=

12

y

4

=

4

yS△APQ=(x+4)y12y

=x

+

4S△APQ=12例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．S△AQES△PQEy

=12x

+

4AC

xyD3BQP4yE4S△APQ2=

12

y x

=

xy2=

12

y

4

=

4

yS△APQ=(x+4)y12y

=x

+

4S△APQ=12（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積不否會(huì)會(huì)發(fā)發(fā)生生變變化化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)求出△APQ的面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．外切

d=R+r內(nèi)切

d=∣R-r∣>0y

=12x

+

4ADC

xy3BQP4yE4（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積不會(huì)發(fā)生變化S△APQ=12（3）當(dāng)以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時(shí)，求⊙A的半徑．F相切

d=r；QF=4⊙A與⊙Q相切外切d=AQ=r4Q

+rA內(nèi)切d=AQ=|r4Q

-rA|AQ例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．y

=12x

+

4DC

xy3BQP4y4（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積不會(huì)發(fā)生變化S△APQ=12QF=4（3）當(dāng)以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時(shí)，求⊙A的半徑．S△APQ=12AP

=6F6

E∠BPA=30°∠DAE=30°

AAB=3∠QAP=60°QF=4383AQ

=60°例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)