高考數(shù)學一輪復習1相似三角形課件人教版選修4 12t

選修4-1

幾何證明選講第一講相似三角形的判定及有關性質(zhì)回歸課本相似三角形的判定及有關性質(zhì)1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線平分另一腰.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的 對應線段成比例.推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應高的比?對應中線 的比?對應角平分線的比都等于相似比;相似三角形周長的比?外接圓的直徑比?外接圓的周長比都等于相似比;相似三角形面積的比?外接圓的面積比都等于相似比的平方;4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是兩直角邊

在斜邊上的射影的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項.考點陪練1.如圖,D?E分別是△ABC的邊AB?AC上的點,DE∥BC,且AD

=

2,那△ADE與四邊形DBCE的面積比是

.DB95DB

AB

3SDABCSDADE\ =

4

.S四邊形DBCE解析:

AD

=

2,\

AD

=

2

,故

SDADE

=

4

,答案:

452.如圖,AA1與BB1相交于點O,AB∥A1B1且AB=A1B1.若△AOB的外接圓的直徑為1,則△A1OB1的外接圓的直徑為.解析:∵AB∥A1B1且AB=A1B1,∴△AOB∽△A1OB1,∴兩三角形外接圓的直徑之比等于相似比.∴△A1OB1的外接圓直徑為2.答案:23.(2010·湛江質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,CD=2,BD=3,則AC=

.313

.33=

4

·

4

+

3

=

3

AD

AB解析:由射影定理:CD2

=ADDB,\AD

=4

,又AC2

=AD·AB\AC

=答案:

2

1334.如圖所示,△ABC中,D為BC中點,E在CA上且AE=2CE,AD?BE交于F,則.AF

=

,

BF

=FD

FEDG\

BF

=

6GF

=

3

.解析:如圖所示,取BE中點G,連接DG,又D為BC中點.則DG

CE,且CE

=2DG.AE

=2CE\

AE

=

4DG,即

AE

=

4.從而

AF

=

AE

=

4,同理

EF

=

AF

=

4,DF

DG

GF

DF\EF

=4GF.又BG

=GE

=GF

+EF

=5GF,則BF

=6GF.2EF

4GF

2答案:

4

3:

3,則它們在斜邊5.一直角三角形的兩條直角邊之比是1上的射影的比是

.解析:如圖,在直角三角形ABC中,BC

AC=1

3,作CD⊥AB于D,由射影定理得BC2=BD·AB,AC2=AD·AB,則BC

2

BD

1AC

2

=

AD

=

9

,故它們在斜邊上的射影的比是1

:

9.答案:1

:

9類型一

平行線(等)分線段成比例定理解題準備:解決此題的關鍵是找出平行線等分線段定理的基本圖形,看清楚被平行線組截得的線段.【典例1】

如圖,F為

ABCD邊AB上一點,連接DF交AC于G,并延長DF交CB的延長線于E.求證:DG·DE=DF·EG.[分析]由于條件中有平行線,考慮平行線(等)分線段定理及推論,利用相等線段(平行四邊形對邊相等),經(jīng)中間比代換,證明線段成比例,得出等積式.[證明]四邊形ABCD是平行四邊形,\

AD

BC,

AB

DC,

AD

=

BC.

AD

BC,\

DG

=

AD

.又

AB

DC,\

DF =

BC

=

AD

,EG

EC

DE

EC

EC\DG

=DF

,即DGDE

=DFEG.EG

DE[反思感悟]在有關比例問題的證明中,要結(jié)合平行線分線段成比例定理,構(gòu)造平行線解決.平行線分線段成比例定理是幾何選講的基礎內(nèi)容,要熟練掌握.類型二相似三角形的判定及性質(zhì)解題準備:相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,是幾何證明的基礎,要注意比例線段在研究相似圖形中的作用.應用三角形相似既可推理證明,還可以計算線段的長度,我們常常利用相似三角形的性質(zhì)找出幾何圖形中的等量關系,列方程計算出未知量的值.【典例2】如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E?F分別是AB?BC的中點,EF與BD相交于點M.(1)求證:△EDM∽△FBM;(2)若DB=9,求BM.3[分析]

(1

可由已知條件證DE

CB;(2)由(1)可得

DM

=

DE

,

又因為BM

BFDE：BF

=2,故BM

=1

DB.[解]1)證明:∵E是AB的中點,∴AB=2EB.∵AB=2CD,∴CD=EB又AB∥CD,∴四邊形CBED是平行四邊形.∴CB∥DE,∴△EDM∽△FBM.3\

BM

=

1

DB

=

3.(2)EDM∽FBM,\

DM

=

DE

.BM

BFF是BC的中點,\DE

=2BF.\DM

=2BM,[反思感悟]判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理,若題目條件涉及平行線可選擇判定定理1或判定定理2.類型三

射影定理及應用解題準備:直角三角形的射影定理是相似三角形性質(zhì)在直角三角形中的應用,在直角三角形中,靈活利用射影定理,可簡化某些命題的證明和線段的計算.特別提醒:應用射影定理有兩個前提條件:①是直角三角形;②是斜邊上的高線.【典例3】如圖,在△ABC中,D?F分別在AC?BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.[分析]

本題中有多處垂直關系,要注意直角三角形射影定理的合理應用.[解]

在△ABC中,設AC為x,∵AB⊥AC,AF⊥BC,FC=1,根據(jù)射影定理得:AC2=FC·BC,即BC=x2.再由射影定理得:AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,2422224ACxx2xx2x2

-1\

AF

=

x2

-1.22

2x

-1

x+

=1,

2

\

DE

=

=

DC

AF在ABC中,過點D作DE

^

BC于E,

BD

=DC

=1,\BE

=EC,又AF

^

BC,\DE

AF,\

DE

=

DC

,AF

AC.在RtDEC中,

DE

+

EC

=

DC

,即

-1

+

x

=1,即\x

=3

2,即AC

=3

2.[反思感悟]

本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應用.還應該注意,作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法.錯源

分類不當?考慮不全致誤【典例】已知AD是△ABC的BC邊上的高,若AD2=BD·CD,則△ABC的形狀是

.[剖析]我們知道:在直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項.反之,因三角形的一邊上的高可能在三角形外,因此,原定理的逆命題是不成立的,即題中△ABC不一定是直角三角形.[正解]

若點D在線段BC上,如圖(1)所示,由AD2=BD·CD,可證△ABD∽△CAD,從而可得△ABC是直角三角形.若點D在BC的延長線上,如圖(2)所示,則仍可證△ABD∽△CAD,但△ABC是鈍角三角形.綜上所述,△ABC是直角三角形或鈍角三角形.[評析]在幾何圖形中,分類討論的數(shù)學思想是一種重要的思想方法,例如本題的三角形之高可能在三角形內(nèi)或三角形外.又如直角三角形的直角頂點是哪一點,等腰三角形的腰是哪兩邊,相似三角形的對應頂點是什么,諸如此類,必須分類討論.技法

判定兩個三角形相似的幾種方法判定兩個三角形相似的幾種方法:①兩角對應相等,兩三角形相似;②兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;③三邊對應成比例,兩三角形相似;④相似三角形的定義.【典例】

如圖,已知

ABCD中,G是DC延長線上一點,AG分別交BD和BC于E?F兩點,證明:AF·AD=AG·BF.[證明]四邊形ABCD為平行四邊形,\

AB

DC,

AD

BC.\

ABF∽GCF,GCF∽GD