微波技術(shù)基礎(chǔ)課件第五章毫米波介質(zhì)波導(dǎo)與光波導(dǎo)

第5章毫米波介質(zhì)波導(dǎo)與光波導(dǎo)5.1表面波及其特性5.2簡單介質(zhì)波導(dǎo)5.3毫米波介質(zhì)鏡像線5.4光纖5.5薄膜光波導(dǎo)5.6帶狀光波導(dǎo)本章提要習(xí)題

5.1表面波及其特性

1.表面波的存在條件我們以矩形截面波導(dǎo)為例來討論表面波的存在條件。由式(3.1-16)和式(3.1-22)可以看出，場沿橫向x和y方向是按三角函數(shù)(正弦或余弦函數(shù))變化，式中的kx=mπ/a，ky=nπ/b是互不相關(guān)的常數(shù)，且必須皆為實(shí)數(shù)，否則由式(3.1-17)可見，將為虛數(shù)，而kc=ωc/c將出現(xiàn)虛的截止頻率。這在金屬波導(dǎo)內(nèi)是不可能存在的。正弦和余弦函數(shù)隨變量變化必有兩個或兩個以上零點(diǎn)。這正符合金屬波導(dǎo)壁的邊界條件。也就是說，凡是封閉的金屬波導(dǎo)導(dǎo)行系統(tǒng)，場強(qiáng)至少有兩個零點(diǎn)。由式(3.1-32)可知，相速度vp為(5.1-1)可見金屬波導(dǎo)內(nèi)所傳播的TE或TM導(dǎo)波的相速度總是大于光速c，并稱之為“快波”。另一方面，由式(5.1-1)可見，若ωc為虛數(shù)，則vp＜c；如果這樣的導(dǎo)波存在的話，其相速度將比光速小，并稱之為“慢波”。因此，要存在慢波，ωc就須為虛數(shù)。為使ωc為虛數(shù)，則，亦即，而，故須使(5.1-2)則要求或二者均為虛數(shù)。結(jié)果就有即是說，若要存在慢波，則場沿x或y的分布應(yīng)按雙曲線函數(shù)分布。這樣，若按sh函數(shù)分布就至多只有一個零點(diǎn)，而按ch函數(shù)分布就根本沒有零點(diǎn)。因此，具有理想導(dǎo)體表面構(gòu)成的導(dǎo)行系統(tǒng)不可能傳輸慢波。為了尋求慢波的存在條件，我們來分析慢波的橫向阻抗。TM導(dǎo)波的橫向阻抗為(5.1-3)以式(3.1-22)代入可以得到同樣，TE導(dǎo)波的橫向阻抗可求得為(5.1-5)對于普通封閉金屬波導(dǎo)，kx和ky為實(shí)數(shù)，tg(kxx)和tg(kyy)可以存在兩個以上零點(diǎn)，故橫向阻抗至少有兩個零點(diǎn)，在邊界處為零。這符合上述快波場的分布。而對于慢波，

,代入式(5.1-4)和式(5.1-5)，得到(5.1-6)和(5.1-6)結(jié)果表明，慢波導(dǎo)行系統(tǒng)內(nèi)TM導(dǎo)波的橫向阻抗為一感抗，TE導(dǎo)波的橫向阻抗為一容抗。因此在慢波導(dǎo)行系統(tǒng)情況下，管壁的橫向阻抗至少有一個管壁不等于零，或?yàn)楦锌够驗(yàn)槿菘?。這就是物理上存在慢波的條件。因而為了要建立起慢波導(dǎo)行系統(tǒng)，可將管壁的橫向阻抗做成電抗，方法有：在波導(dǎo)管的一個平面上開槽，或在金屬表面上涂一層介質(zhì)，或用非理想導(dǎo)體做管壁，或利用介質(zhì)構(gòu)成純電抗性表面。用同樣方法可以分析圓形截面波導(dǎo)慢波存在條件(習(xí)題5-1)。傳輸慢波的導(dǎo)行系統(tǒng)，其導(dǎo)模場將被電抗表面束縛在波導(dǎo)內(nèi)和波導(dǎo)表面附近沿其軸向傳播，即其導(dǎo)模為表面波。故慢波導(dǎo)行系統(tǒng)通常稱為表面波波導(dǎo)或開波導(dǎo)。理論和實(shí)驗(yàn)表明，在波長λ＜1cm時，表面波波導(dǎo)的損耗比金屬波導(dǎo)小得多，而擊穿功率則要比金屬波導(dǎo)大得多，所以在毫米波波段，表面波波導(dǎo)有著廣闊的應(yīng)用前景。

2.接地介質(zhì)基片上的表面波現(xiàn)在我們研究具有普遍意義的接地介質(zhì)基片(如微帶線基片等)上的TM和TE表面波。如上所述，表面波場的特征是離開導(dǎo)行系統(tǒng)表面橫向指數(shù)衰減，大部分場束縛在波導(dǎo)內(nèi)和波導(dǎo)表面附近，其相速度小于光速。圖5.1-1接地介質(zhì)基片

a.TM模如圖5.1-1所示的接地介質(zhì)基片結(jié)構(gòu)，設(shè)其厚度為h，相對介電常數(shù)為εr，介質(zhì)基片在y和z方向?yàn)闊o限大，波沿+z方向傳播，傳播因子為e-jβz，在y方向不變化，?？v向場分量Ez(x,y,z)=E0z(x,y)e-jβz，在兩個區(qū)域滿足如下波動方程(5.1-8)式中(5.1-9)式(5.1-8)的一般解為(5.1-10)邊界條件要求(5.1-11a)(5.1-11b)(5.1-11c)(5.1-11d)由式(3.1-2)可知，對于TM模，Hx=Ey=Hz=0，則由條件式(5.1-11a)知B=0；由條件式(5.1-11b)要求C=0，于是由條件式(5.1-11c)和式(5.1-11d)導(dǎo)得方程(5.1-12)由方程組(5.1-12)的系數(shù)行列式等于零，得到方程(5.1-13)由式(5.1-9)中消去β，得到(5.1-14)式(5.1-13)兩邊乘以h，式(5.1-14)兩邊乘以h2，分別得到(5.1-15a)(5.1-15b)顯然，式(5.1-15b)的軌跡為圓。將此兩式繪成曲線，其交點(diǎn)即為式(5.1-15)的解，如圖5.1-2所示。注意到已假設(shè)為正實(shí)數(shù)，故不應(yīng)取負(fù)的的解。由圖可見，半徑越大，兩曲線的交點(diǎn)多于一個，即表明可傳播多個TM模。對于任何非零厚度的介質(zhì)基片，至少存在TM0模。由圖5.1-2可見，下一個TM模是TM1模。TMn模的截止頻率為(5.1-16)n=0的TM0模fc=0，是介質(zhì)基片的主模。圖5.1-2接地介質(zhì)基片TM表面波的圖解由式(5.1-15)解得，則TM模場分量表示式為(5.1-17)

b.TE模

TE表面波模的Hz(x,y,z)=H0z(x,y)e-jβz滿足如下波動方程:(5.1-18)式中的由式(5.1-9)定義。式(5.1-18)的一般解為(5.1-19)由輻射條件，要求C=0；由Hz求得的Ey要求在x=0處為零，則A=0；由x=h處Ey和Hz連續(xù)條件得到方程(5.1-20)求解式(5.1-20)，及由式(5.1-9)消去β，分別得到方程:(5.1-21)或者(5.1-22)超越方程(5.1-22)的圖解曲線如圖5.1-3所示，由兩曲線的交點(diǎn)即可得到TEn模的截止頻率為(5.1-23)與式(5.1-16)相比可見，接地介質(zhì)基片上表面波模的傳播次序是TM0，TE1，TM1，TE2，TM2，…。圖5.1-3接地介質(zhì)基片TE表面波模的截止頻率圖解曲線在求得后，TEn表面波模的場分量為(5.1-24)5.2簡單介質(zhì)波導(dǎo)

1.介質(zhì)板波導(dǎo)介質(zhì)板波導(dǎo)(dielectricslabwaveguide)又稱介質(zhì)薄膜波導(dǎo)，形如圖5.2-1所示。它一般由三層構(gòu)成，介電常數(shù)為εf、厚度為2a=d的介質(zhì)板處于介電常數(shù)為εc的包層和介電常數(shù)為εs的襯底之間，通常εc＜εs＜εf;若εc≠εs，為非對稱型結(jié)構(gòu)；若εc=εs(例如都是空氣)，則為對稱型結(jié)構(gòu)。5.1節(jié)中討論的接地介質(zhì)基片，若接地板用基片的鏡象代替即構(gòu)成對稱型介質(zhì)板波導(dǎo)。光集成電路中所用的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)也屬此種結(jié)構(gòu)。圖5.2-1介質(zhì)板波導(dǎo)由于介質(zhì)板的介電常數(shù)大于外面媒質(zhì)的介電常數(shù)，所以波在邊界面上將產(chǎn)生內(nèi)全反射，使電磁波束縛在介質(zhì)板內(nèi)及其表面附近沿z向傳播。其電場E和磁場H滿足如下麥克斯韋旋度方程:(5.2-1)(5.2-2)對于圖5.2-1所示介質(zhì)板波導(dǎo)，設(shè)波沿z向傳播，其傳播常數(shù)為β。顯然，其內(nèi)電磁場與y無關(guān)，，則由式(5.2-1)和式(5.2-2)可以得到兩種不同的，極化正交的模式，一種是TE模，其場分量為Ey、Hx和Hz；另一種是TM模，其場分量為Ex、Hy和Ez。這兩種模的波方程如下:(5.2-3)(5.2-4)TE模(5.2-5)(5.2-6)TM?？梢?，TE模的場分量可先求Ey，TM模的場分量則可先求Hy來獲得。然后由x=0和x=d處邊界條件，可導(dǎo)得確定TE模和TM模傳播常數(shù)β的本征值方程。

(1)本征值方程

TE導(dǎo)模的功率應(yīng)主要集中在介質(zhì)板內(nèi)傳播。這就要求在介質(zhì)板內(nèi)的場型應(yīng)當(dāng)是振蕩的，而在介質(zhì)板外的場應(yīng)是衰減的。滿足此要求的式(5.2-3)的一般解為(5.2-7)

Ec、Ef和Es分別是三個區(qū)域中Ey的振幅，φ0為廣義相位常數(shù)，用以調(diào)整不對稱介質(zhì)板波導(dǎo)中場的最大值或零值的位置。將式(5.2-7)代入式(5.2-3)，得到(5.2-8)邊界條件要求Ey和Hz(即)在x=0和x=d處應(yīng)連續(xù)，據(jù)此得到(5.2-9)

和(5.2-10)由式(5.2-9)得到(5.2-11)由式(5.2-10)得到(5.2-12)聯(lián)立式(5.2-11)和式(5.2-12)得到本征值方程(5.2-13)考慮到tg函數(shù)的nπ周期性，故得TE模的本征值方程為(5.2-14)此為超越方程，一般用數(shù)值方法求解。由方程(5.2-14)和式(5.2-8)可求得、αc、αs和β，進(jìn)而可確定其場分量。由于這種波型沿y方向不變化，記為TEn0模，簡稱為TEn模。用類似方法可導(dǎo)得TMn模的本征值方程為(5.2-15)式中的、αc、αs和αs關(guān)系仍如式(5.2-8)所示。圖5.2-2示出n=0,1,2三個最低次模的場分布情況。圖5.2-2三個最低次TE和TM模的場分布

(2)截止條件由于場在介質(zhì)板波導(dǎo)外橫向呈衰減變化，所以只要αc和αs中有一個小于零，則場在相應(yīng)介質(zhì)中就將向橫向輻射，形成輻射模。顯然，輻射模的出現(xiàn)就意味著介質(zhì)波導(dǎo)截止。因?yàn)棣舠＞εc，所以αc＞αs，故介質(zhì)板波導(dǎo)的截止條件為(5.2-16)可見介質(zhì)波導(dǎo)截止時，β≠0，這是與金屬波導(dǎo)的不同處。以αs=0代入式(5.2-8),解出并代入方程(5.2-14)，可得截止時TE模的本征值方程為(5.2-17)式中，據(jù)此可得相應(yīng)的截止頻率為(5.2-18)同樣可求得TM模的截止頻率為(5.2-19)由式(5.2-18)和式(5.2-19)可見，在非對稱介質(zhì)板波導(dǎo)中，TE0模的截止頻率最低，為其主模。又由于εc＜εs＜εf

，故有因此介質(zhì)板波導(dǎo)中表面波導(dǎo)模的相速度大于介質(zhì)板中的光速，而小于周圍媒質(zhì)(如空氣)中的光速。這也是與金屬波導(dǎo)的不同點(diǎn)。對于對稱介質(zhì)板波導(dǎo)，如介質(zhì)板周圍為空氣，

,則由式(5.2-18)和式(5.2-19)，得到TEn和TMn模的截止頻率均可表示為(5.2-20)可見在對稱介質(zhì)板波導(dǎo)中，TEn和TMn模是簡并的，主模TE0和TM0的截止頻率為零。注意到在5.1節(jié)討論的接地介質(zhì)基片中，主模只是TM0模而無TE0模，這是由于接地板的存在使TE0模不復(fù)存在之故。

(3)功率傳輸介質(zhì)板波導(dǎo)單位寬度的平均功率流為(5.2-21)以式(5.2-7)代入經(jīng)計(jì)算可得(5.2-22)式中(5.2-23)稱為有效寬度，是場的幅度在介質(zhì)板上下區(qū)域中衰減到1/e的兩點(diǎn)之間的距離?？梢宰C明，單位寬度介質(zhì)板波導(dǎo)TM模的平均功率流亦為式(5.2-22)所示。結(jié)果說明，介質(zhì)板波導(dǎo)中的傳輸功率可等效為有效寬度deff內(nèi)的功率。

2.矩形介質(zhì)波導(dǎo)矩形、圓形、橢圓形或其它截面形狀的介質(zhì)棒波導(dǎo)都可用于毫米波頻段傳輸所需特性的信號，但矩形截面結(jié)構(gòu)更適合于要求平坦表面的毫米波集成電路。矩形介質(zhì)波導(dǎo)(rectangulardielectricwaveguide)結(jié)構(gòu)的一般情況如圖5.2-3所示，介質(zhì)波導(dǎo)芯的介電常數(shù)為ε1，周圍分別與介電常數(shù)為ε2～ε5的媒質(zhì)相鄰，ε2～ε5都比ε1小，使場主要集中于芯內(nèi)傳播。與矩形金屬波導(dǎo)不同，矩形介質(zhì)波導(dǎo)中的模式為混合模，但基本上是TEM模,其縱向電場和磁場分量遠(yuǎn)小于橫向場分量。熟悉這種模的傳輸特性有助于對許多集成光路元件的分析。矩形介質(zhì)波導(dǎo)的邊界條件復(fù)雜，無嚴(yán)格的解析解，只能求近似解。常用的近似方法有馬克蒂里(Marcatili)分區(qū)近似法、戈?duì)?Goell)圓柱空間諧波法、諾克斯-圖里奧斯(Knox-Toulios)有效介電常數(shù)法等。這里只介紹分區(qū)近似法和有效介電常數(shù)法。圖5.2-3(a)矩形介質(zhì)波導(dǎo)；(b)座標(biāo)系

(1)馬克蒂里近似法馬克蒂里分區(qū)近似法是認(rèn)為能量主要集中在波導(dǎo)芯子內(nèi)，進(jìn)入周圍緊鄰四個區(qū)域的能量很少，四個角區(qū)域(圖5.2-3(b)的陰影區(qū)域)的能量就更少,可以忽略不計(jì)。分別求芯子和緊鄰四個區(qū)域內(nèi)的場分量，利用邊界上切向場連續(xù)條件得到特征方程，從而求模的傳播常數(shù)。同時，在分析時假設(shè)矩形介質(zhì)波導(dǎo)中傳輸?shù)哪？煞譃槟?。前者在橫截面上的主要場分量是Ey和Hx，其極化主要在y方向；后者的主要場分量是Ex和Hy，其極化主要在x方向，其余場分量都很小。這兩種?？山瓶闯蒚EM模。這種近似方法在遠(yuǎn)離截止頻率有較高的精度，其結(jié)果能夠滿足大多數(shù)工程應(yīng)用精度要求。

a.模根據(jù)傳輸特性要求，場在芯內(nèi)沿x和y方向應(yīng)按余弦分布，在芯外按指數(shù)規(guī)律衰減。其縱向電場可表示為(5.2-24)式中，A為振幅常數(shù)，ξ，η為廣義相位常數(shù)?？紤]到此種模的極化主要在x方向，因而選取Hx=0，則由式(3.1-2)可求得(5.2-25)(5.2-26)(5.2-27)(5.2-28)式中(5.2-29)假如稍小于，則，上式表明kx，ky<<β(5.2-30)將此不等式用于式(5.2-27)，則可以看出Ey<<Ez,用于式(5.2-26),則有Ez<<Ex，于是Ey可以忽略，故

模的極化主要在x方向。類似的考慮也適用于區(qū)域2～5中的場分量。在這些區(qū)域內(nèi)的Ez為(5.2-31)(5.2-32)(5.2-33)(5.2-34)其它場分量可由式(3.1-2)和條件Hx=0求得。衰減常數(shù)αi滿足關(guān)系:(5.2-35)式(5.2-31)到式(5.2-34)中系數(shù)的選擇已考慮到Ez在x=±a處的連續(xù)條件。同樣，Ex在y=±b處應(yīng)當(dāng)連續(xù)。利用x=±a處Hz和Hy連續(xù)的條件，可以得到特征方程(5.2-36)又由y=±b處Hz連續(xù)的條件可以得到特征方程(5.3-37)而收式(5.2-29)、(5.2-35)，可以得到(5.2-38)這樣，由特征方程(5.2-36)和式(5.2-37)，便可求得kx和ky，傳播常數(shù)則可由式(5.2-29)求得為(5.2-39)

b.模模的特性可用與模相似的方法求解，只需將E→H，μ0→-ε，或相反，就得到模的相應(yīng)結(jié)果。在一級近似條件下，模只有Ey、Ez、Hz和Hx非零，其主要極化在y方向。其特征方程為(5.2-40)(5.2-41)式中，ai如式(5.2-38)所示，β仍由式(5.2-39)定義。圖5.2-4表示幾種模的場分布。是矩形介質(zhì)波導(dǎo)的基模，其場分布如圖5.2-5所示,如圖中Δi=1/αi(i=2,3,4,5)表示場在芯外相鄰區(qū)域內(nèi)衰減到1/e的長度。圖中大致畫出了Ey或Hx(對模為Ex或Hy)的分布，實(shí)線代表區(qū)域里的余弦分布，它是不對稱的；如果，則分布將是對稱的。是模的最低型模。當(dāng)a=b時，和成為簡并模。由場分布可以看出，足標(biāo)m、n分別表示在x和y方向場為零的個數(shù)(或最大值個數(shù))。圖5.2-4幾種模的場分布圖5.2-5基模的場分布

(2)有效介電常數(shù)法上述分區(qū)近似法假設(shè)功率主要集中在芯子里，忽略了四個角區(qū)域中的場，這在功率不集中在芯子里的情況下，誤差就比較大。為了提高精度，可以采用有效介電常數(shù)法(effectivedielectricconstantapproach)。這種方法是將矩形介質(zhì)波導(dǎo)看成x方向和y方向的兩個相互耦合的介質(zhì)板波導(dǎo)來處理。這種方法不僅適用于分析矩形介質(zhì)波導(dǎo)，而且適用于毫米波介質(zhì)集成電路和光集成電路以及耦合介質(zhì)波導(dǎo)的分析。如上所述，矩形介質(zhì)波導(dǎo)中的模式可分為和兩套模式，它們都可近似看成TEM模。其場的求解歸結(jié)于求解標(biāo)量φe和φm的亥姆霍茲方程:(5.2-42)矩形介質(zhì)波導(dǎo)可以分成三個半無限長條形區(qū)，九個矩形區(qū)，如圖5.2-3(b)所示。嚴(yán)格求解應(yīng)是在九個區(qū)域中用分離變量法求解，然后用邊界條件連續(xù)起來；但這樣做太復(fù)雜。

有效介電常數(shù)法則是將場的問題分兩步求:令。第一步，將介質(zhì)波導(dǎo)橫向分區(qū)，求各區(qū)的φ(y)，利用邊界條件求出縱向各區(qū)的有效介電常數(shù)；第二步，求不同有效介電常數(shù)的縱向各區(qū)的φ(x)，利用邊界條件導(dǎo)出本征值方程，進(jìn)而求介質(zhì)波導(dǎo)的軸向傳播常數(shù)β。在求有效介電常數(shù)時，需作如下假設(shè):①大部分能量集中在高ε的介質(zhì)棒或介質(zhì)板內(nèi)傳播，場在其截面上呈駐波分布,并沿軸向傳輸；②與高ε介質(zhì)能量集中在高ε的介質(zhì)棒或介質(zhì)板內(nèi)傳播,場在其截面上場為衰減場,并沿軸向傳輸；③不與高ε介質(zhì)棒或介質(zhì)板矩形區(qū)交界區(qū)內(nèi)的能量更微小，場在其截面上也是衰減場，有時忽略其中的場。下面以矩形介質(zhì)波導(dǎo)的

模為例來說明這種方法。為簡單起見，討論處于空氣中的矩形介質(zhì)波導(dǎo)，如圖5.2-6(a)所示。將其橫向和縱向分區(qū)，分別得到三種條帶結(jié)構(gòu)(實(shí)際只有兩種結(jié)構(gòu))，如圖5.2-6(b)、(c)所示。圖5.2-6有效介電常數(shù)法說明圖在半無限長條帶Ⅱ各層內(nèi)模的波函數(shù)為(5.2-43)

式中，ky為y方向傳播常數(shù)，αy為介質(zhì)波導(dǎo)外的衰減常數(shù)。利用在y=b處，可得(5.2-44)由此得到本征值方程(5.2-45)由此式可求得ky，其中函數(shù)應(yīng)在第一象限內(nèi)取值。波沿z向的傳播常數(shù)為(5.2-46)于是得到半無限長條帶區(qū)Ⅱ的有效介電常數(shù)為(5.2-47)顯然，條帶區(qū)Ⅰ和Ⅲ的有效介電常數(shù)為1，即(5.2-48)另一方面，縱向分區(qū)的各區(qū)波函數(shù)為(5.2-49)式中kx為x方向的傳播常數(shù)。利用在x=±a處Ey和Hz連續(xù)條件，可以得到本征值方程(5.2-50)由此式可解得kx，其中函數(shù)arctg(kx/αx)應(yīng)在第一象限內(nèi)取值。求出kx和ky后，arctg(kx/αx)模的傳播常數(shù)則為(5.2-51)而模的場分量便可表示為(5.2-52)

3.圓形介質(zhì)波導(dǎo)圓形介質(zhì)波導(dǎo)(circulardielectricwaveguide)主要用作介質(zhì)天線，其結(jié)構(gòu)如圖5.2-7所示。設(shè)其半徑為a，介質(zhì)參數(shù)為εμ0，周圍媒質(zhì)的介質(zhì)參數(shù)為ε0、μ0，采用圓柱坐標(biāo)系，并使其z軸與介質(zhì)棒的軸重合。分析表明，這種圓形介質(zhì)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)不支持純TEmn模和TMmn模，但可以支持圓對稱的TE0n和TM0n模，一般則為混合的HEmn模和EHmn模，主模是HE11，無截止頻率。下面我們只討論HEmn模。圖5.2-7圓形介質(zhì)波導(dǎo)及其坐標(biāo)系應(yīng)用縱向場方法可以求得HEmn模在介質(zhì)波導(dǎo)內(nèi)外的場分量為:在波導(dǎo)內(nèi)(r≤a)(取cos

mφ模):(5.2-53)(5.2-54)在波導(dǎo)外(r＞a):式中(5.2-55)

Jm是第一類貝塞爾函數(shù)，是第二類漢克爾函數(shù))。利用Ez、Hz和Eφ、Hφ在r=a處連續(xù)的條件，可以得到如下本征值方程:(5.2-56a)(5.2-56b)式中(5.2-56c)而

。由式(5.2-56)用數(shù)值法求得p或q，然后由式(5.2-55)便可求得相應(yīng)模式的傳播常數(shù)β。圖5.2-8是HE11模的一組典型色散曲線。由圖可見，介電常數(shù)越大，色散越嚴(yán)重。圖5.2-8圓形介質(zhì)波導(dǎo)HE11模的色散曲線由于沒有金屬導(dǎo)體封閉，所以在介質(zhì)波導(dǎo)表面的電場不為零，即有部分導(dǎo)波能量在波導(dǎo)截面之外。假如外面的媒質(zhì)(譬如空氣)的損耗可以忽略不計(jì)，則介質(zhì)波導(dǎo)的衰減常數(shù)可以寫成(5.2-57)式中，J=σE=ωε

tg

δE,tgδ是介質(zhì)棒材料的損耗正切。于是可得(5.2-58)式中R稱為衰減比例因子，是計(jì)及波導(dǎo)外部傳播能量的結(jié)果。對于圓形介質(zhì)波導(dǎo)(5.2-59)圖5.2-9表示圓形介質(zhì)波導(dǎo)的衰減比例因子與2a/λ0的關(guān)系曲線。在100GHz時，直徑為1.46mm的聚四氟乙烯棒(tg

δ=0.0002)的衰減為1.23dB/m，而直徑為0.9mm的聚四氟乙烯棒的衰減則為0.19dB/m。圖5.2-9圓形介質(zhì)波導(dǎo)的衰減比例因子曲線5.3毫米波介質(zhì)鏡像線近年來，毫米波有源和無源電路廣泛采用集成介質(zhì)波導(dǎo)工藝。集成介質(zhì)波導(dǎo)具有低損耗和弱加工公差的優(yōu)點(diǎn)，特別適用于40～140GHz頻段。在此頻段內(nèi),金屬波導(dǎo)的趨膚損耗大(

)；而高于100GHz，鰭線和微帶線等則存在由于機(jī)械加工公差引起的一些問題。利用介質(zhì)波導(dǎo)的對稱性，在對稱面上置以金屬板即構(gòu)成介質(zhì)鏡像線(dielectricimageline)，廣泛用于毫米波集成電路中。常用的毫米波介質(zhì)鏡像線結(jié)構(gòu)如圖5.3-1所示，其中圖(a)是最常用的結(jié)構(gòu)形式。本節(jié)只分析這種鏡像線的特性。圖5.3-1(a)鏡像線；(b)陷波鏡像線(c)絕緣鏡像線()；(d)倒置鏡像線()分析毫米波介質(zhì)鏡像線的方法很多，最簡單又有效的方法是有效介電常數(shù)法。

(1)色散特性與矩形介質(zhì)波導(dǎo)相似，鏡像線上可支持模，但由于有接地金屬板，將使在介質(zhì)波導(dǎo)中心處激勵最強(qiáng)電場分量的模短路掉，故鏡像線中只存在模，其基模為模。因此介質(zhì)波導(dǎo)具有較大的單模工作帶寬。用有效介電常數(shù)法分析鏡像線，是將圖5.3-2(a)所示鏡像線空間分成三個條帶區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，結(jié)果使鏡像線問題變成如圖5.3-2(b)、(c)所示具有有效介電常數(shù)的無限長介質(zhì)板波導(dǎo)問題。圖5.3-2用有效介電常數(shù)法分析鏡像線對于圖5.3-2(b)所示介質(zhì)板，由式(5.2-50)，得到x方向傳播常數(shù)kx滿足的本征值方程(5.3-1)式中(5.3-2a)(5.3-2b)(5.3-2c)對于圖5.3-2(c)所示介質(zhì)板，由式(5.2-45)可得到ky滿足的本征值方程(5.3-3)式中(5.3-4a)(5.3-4b)(5.3-4c)可見，上述兩組關(guān)系式通過αx=αy彼此耦合。這樣，三個未知量(kx,ky和β)可由三個方程(5.3-1)、(5.3-3)和(5.3-2a)或(5.3-4a)求得，而kx和ky需由本征值方程(5.3-1)和方程(5.3-3)用數(shù)值方法求得。需要注意的是，在求解本征值方程(5.3-1)和方程(5.3-3)時，函數(shù)arctg應(yīng)當(dāng)在第一象限內(nèi)取值。

(2)鏡像線的設(shè)計(jì)考慮容易理解，矩形介質(zhì)鏡像線很適于作無源和有源毫米波集成電路，其金屬接地板可提供介質(zhì)板的支撐，并提供散熱與有源器件的直流偏置。若用高電阻率的半導(dǎo)體作鏡像線的介質(zhì)材料，則可在傳輸線上直接制作有源電路，如振蕩器、混頻器、相移器、調(diào)制器和檢波器等。接地板的存在可抑制模,在a=b時可保證僅模單模工作。缺點(diǎn)是引入導(dǎo)體板使損耗增大。鏡像線介質(zhì)板材料的選擇要求是損耗低、結(jié)實(shí)、成本低、容易加工。介電常數(shù)低(εr=2～3)的材料色散小，因而可獲得寬頻帶性能。聚四氟乙烯是優(yōu)選材料之一。其形狀比取1(a/b=1)可得到最大的帶寬。鏡像線的尺寸a/λ0決定著場的集中程度與是否單模工作。對于a/b=1的情況,通常選取(5.3-5)而λ0/λg值則應(yīng)滿足條件(5.3-6)當(dāng)彎曲時，鏡像線會出現(xiàn)輻射。為確保輻射損耗在允許限度內(nèi)，設(shè)計(jì)鏡像線電路時，應(yīng)選擇合適的曲率半徑。輻射損耗可以忽略的彎曲最小曲率半徑為(5.3-7)式中，r0是場衰減到直線段的1/e時的長度；對于E面彎曲，r0=1/αy;對于H面彎曲，r0=1/αx，而αx和αy則如式(5.3-2b)和式(5.3-4b)所示。5.4光纖光纖即光導(dǎo)纖維(opticalfiber)，實(shí)質(zhì)上是一種以光頻(λ0=0.75～1.55μm)工作的介質(zhì)波導(dǎo)。

1960年梅曼(T.H.Maiman)發(fā)明了紅寶石激光器，獲得了性質(zhì)與電磁波相同，且頻率和相位都穩(wěn)定的相干光，使光應(yīng)用于通信中成為可能；1970年美國康寧玻璃公司的卡普隆(Kapron)、梅尼耳(Maurer)和克格(Keck)成功地研制出傳輸損耗僅為20dB/km的光纖，使光在通信中的應(yīng)用產(chǎn)生了新的飛躍。目前，以波長λ=1.55μm工作的單模光纖最小損耗達(dá)到0.154dB/km①。此值已接近石英光纖的理論損耗極限值。光纖具有頻帶寬、損耗低、重量輕、直徑細(xì)、傳輸容量大、保密性好、不受電磁干擾、材料來源豐富等許多優(yōu)點(diǎn)，適用于大容量信息傳輸。目前,用激光器和光纖組成的新型傳輸系統(tǒng)正在發(fā)展成為劃時代的信息傳輸手段，應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。光通信即光纖通信的實(shí)現(xiàn)是20世紀(jì)科技領(lǐng)域中最卓越的成就之一。圖5.4-1為光纖通信系統(tǒng)示意圖。系統(tǒng)中最重要的元件之一就是光纖本身，因?yàn)槠鋫鬏斝阅茉跊Q定整個系統(tǒng)性能方面起著主要的作用。圖5.4-1光纖通信系統(tǒng)示意圖

1.光纖的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)單根光纖的結(jié)構(gòu)如圖5.4-2所示。它由纖芯(core)、包層(cladding)和保護(hù)層所構(gòu)成。纖芯材料的折射率n1比包層的折射率n2略高(n1的典型值為1.48，n2=n1(1-Δ)，Δ標(biāo)稱值為0.01)。光纖的種類按用途可分為照明用光纖、圖像傳輸用光纖和通信光纖三類；按組成成份(材料)可分為石英光纖、多組份光纖、液芯光纖和塑料光纖；按橫截面上折射率分布情況可分為突變折射率光纖(step-indexfiber)(簡稱階躍光纖)、漸變折射率光纖(graded-indexfiber)和W型光纖(Wtypefiber);按光纖傳輸?shù)哪Ｊ娇煞譃閱文９饫w和多模光纖。階躍光纖和漸變光纖都可進(jìn)一步分為單模和多模光纖?，F(xiàn)有光纖大多滿足Δ<<1。此條件稱為弱導(dǎo)條件；滿足此條件的光纖稱為弱導(dǎo)光纖。由于n1略大于n2，所以光頻能量可在芯-包層界面上通過內(nèi)全反射而沿光纖軸線傳播。光線在光纖中是以通過軸線的子午射線(meridionalrays)和不通過軸線的斜射線(skewrays)形式在分界面上內(nèi)全反射沿軸線傳播的。圖5.4-2單根光纖的結(jié)構(gòu)

(1)折射率分布光纖的第一個結(jié)構(gòu)參數(shù)是折射率。其沿光纖橫截面上的分布n(r)常可用冪函數(shù)表示為(5.4-1)式中，a為纖芯的半徑，Δ表示纖芯-包層折射率差:(5.4-2)α決定纖芯折射率分布的形狀：如α=∞，則為常用的階躍光纖(均勻光纖)；α=2則為常用的拋物線漸變折射率光纖。漸變光纖可減少信號失真，比階躍光纖可提供更寬的帶寬。本節(jié)只分析階躍光纖的特性；漸變光纖的分析需用到量子力學(xué)中常用的WKB法，限于篇幅，從略。

(2)數(shù)值孔徑NA數(shù)值孔徑NA(numericalaperture)是光纖可能接受外來入射光的最大接受角的正弦，表征光纖的光聚集本領(lǐng)，是光纖聚集功率能力的量度。使光從光纖的一端傳至另一端的最大投射角稱為孔徑角。它與芯和包層的折射率有關(guān)，也與投射于光纖端面的光的位置有關(guān)。以子午光線考慮，如圖5.4-3所示，為使光線在芯-包層界面上產(chǎn)生內(nèi)全反射，則光投射角θ0須滿足如下不等式:因此數(shù)值孔徑NA為(5.4-3)

圖5.4-3光纖中的子午光線NA是個小于1的無量綱量，通常值范圍為0.14～0.50。下表示出光纖的一些優(yōu)選尺寸及其數(shù)值孔徑值。

(3)歸一化頻率ν歸一化頻率(normalizedfrequency)ν是光纖的又一個重要結(jié)構(gòu)參數(shù)，定義為(5.4-4a)或者(5.4-4b)

ν是個決定光纖中可傳輸多少模的無量綱參數(shù)。事實(shí)上，由數(shù)值孔徑關(guān)系知而實(shí)際的數(shù)值孔徑很小，近似有sinθ0θ0，因此光纖的可接受立體角為單位立體角波長為λ的電磁波輻射從激光器或波導(dǎo)發(fā)射的模數(shù)為2A/λ2，這里A是進(jìn)入或離開的模的面積，在此種情況下面積A是纖芯截面積πa2；系數(shù)2是考慮到平面波有兩種極化取向。因此，進(jìn)入光纖總的模數(shù)為(5.4-5)

2.階躍光纖的模式與特性階躍光纖分單模光纖和多模光纖，其結(jié)構(gòu)與坐標(biāo)系如圖5.4-4所示。多模光纖的優(yōu)點(diǎn)是：①纖芯直徑較大，容易使光功率射入，容易與類似光纖連接在一起；②可用LED(發(fā)光二極管)作光源來發(fā)射光功率，而單模光纖一般則必須用LD(激光二極管)來激勵。雖然LED比LD的光輸出功率小，但LED容易制造,價(jià)廉，要求不太復(fù)雜的電路，且比LD的壽命長。因此多模光纖有許多應(yīng)用。多模光纖的缺點(diǎn)是存在多模色散，使信號失真，使得帶寬小。單模光纖則有更寬的帶寬。圖5.4-4階躍光纖的結(jié)構(gòu)與坐標(biāo)系現(xiàn)在我們應(yīng)用麥克斯韋方程來分析階躍光纖中的導(dǎo)模及其傳輸特性。如圖5.4-4所示，纖芯半徑為a，折射率為n1；包層的半徑為b，折射率為n2。分析時假設(shè)介質(zhì)材料為線性、無耗、各向同性；無自由電荷和傳導(dǎo)電流；電磁場為時諧場，沿z向(光纖軸線方向)傳播。

(1)按常規(guī)命名的模式階躍光纖可看成包層半徑b→∞的圓形介質(zhì)波導(dǎo)，采用圓柱坐標(biāo)系(r,φ,z)。其縱向場分量Ez和Hz滿足方程(3.2-3)，橫-縱向場關(guān)系式如式(3.2-1)所示。纖芯內(nèi)的導(dǎo)模場當(dāng)r→0時應(yīng)是有限的，而在纖芯外面，當(dāng)r→∞時，場必須是衰減的。因此在r＜a纖芯內(nèi)的場解應(yīng)為第一類m階貝塞爾函數(shù)Jm(

);在纖芯外包層內(nèi)的場解應(yīng)為第二類m階修正貝塞爾函數(shù)Km(

)。即得到(5.4-6)(5.4-7)式中(5.4-8)應(yīng)用關(guān)系式(3.2-1)可求得其它場分量，結(jié)果，在纖芯內(nèi)(r≤a):(5.4-9)式中(5.4-10)稱為纖芯的歸一化橫向傳播常數(shù)。在包層內(nèi)(r≥a):(5.4-11)式中(5.4-12)稱為包層內(nèi)歸一化橫向衰減常數(shù)。根據(jù)修正貝塞爾函數(shù)的定義可知，當(dāng)wr→∞時，；而當(dāng)r→∞時，必須為零，這就要求w＞0，即要求β≥k2。此即為截止條件。截止條件表明導(dǎo)模場不再限制在纖芯內(nèi)。另一方面，由的特性要求u必須為實(shí)數(shù)，這意味著k1≥β。這樣就得到導(dǎo)模的β值允許范圍為(5.4-13)利用在r=a處Ez、Hz、Eφ和Hφ連續(xù)條件，可以得到如下A、B、C、D之間的關(guān)系式為(5.4-14)寫成矩陣形式為［M］［ABCD］-1=0A、B、C、D存在非零解的條件是det［M］=0由此條件，并應(yīng)用式(5.4-10)和式(5.4-12)，可以得到特征方程:(5.4-15)式中(5.4-16)求解式(5.4-15)可得到在式(5.4-13)允許范圍內(nèi)的離散β值或u值，即可獲得β-ω色散關(guān)系。根據(jù)特征方程(5.4-15)，可分析得知光纖中可以存在TE0n、TM0n和混合模HEmn、EHmn模。①m=0情況。此時特征方程右邊等于零，并有兩種情況：第一種情況是(5.4-17)這種情況相當(dāng)于A=C=0，故對應(yīng)為TE0n模；第二種情況是(5.4-18)這種情況相當(dāng)于B=D=0，故對應(yīng)為TM0n模。纖芯內(nèi)TE0n和TM0n模的場結(jié)構(gòu)與圓形金屬波導(dǎo)相應(yīng)模的場結(jié)構(gòu)相似。②m≥1情況。此種情況更復(fù)雜，特征方程(5.4-15)需用數(shù)值方法求解。但對于Δ<<1的弱導(dǎo)光纖，特征方程可以簡化，并得到混合模HEmn(縱磁波)和EHmn(縱電波)?？紤]到Δ<<1，n1n2，由式(5.4-15)可以得到近似特征方程:(5.4-19)此時TM模和TE模的解近似一致。定義(5.4-20)對于EHmn模，其TE模傳輸功率大于TM模；對于HEmn模，其TM模的傳輸功率大于TE模。圖5.4-5示出幾種混合模在纖芯內(nèi)的場結(jié)構(gòu)。圖5.4-5幾種混合模在纖芯內(nèi)的場分布

(2)LP模實(shí)用的大多數(shù)光纖是弱導(dǎo)光纖。其纖芯和包層的折射率差很小，Δ<<1，且折射率在徑向波長長度上的變化率［λ(dn/dr)］<<1。對這樣的弱導(dǎo)光纖，分析時可作適當(dāng)近似，使分析得以簡化，導(dǎo)得簡化特征方程。據(jù)此可得到近截止區(qū)和遠(yuǎn)離截止區(qū)本征值的近似解。這些近似解十分簡單。同時，這種近似簡化分析的結(jié)果，得到弱導(dǎo)光纖所特有的一類模式：LP模。事實(shí)上，對于弱導(dǎo)光纖，Δ<<1，

，則特征方程(5.4-15)簡化成式(5.4-19)。這樣，當(dāng)m=0時，因?yàn)?/p>

，于是TE0n和TM0n的簡化特征方程相同:(5.4-21)又利用

的遞推關(guān)系，對于m≥1的情況，由式(5.4-19)可以得到兩組方程：對于正號，得到(5.4-22)對于式(5.4-19)的負(fù)號，得到(5.4-23a)此式兩邊取倒數(shù)，經(jīng)運(yùn)算后變成(5.4-23b)式(5.4-21)、(5.4-22)和式(5.4-23b)具有類似性。若以l代替m作為新的模指數(shù)，即定義(5.4-24)則上述三個方程可以統(tǒng)一表示成(5.4-25)這樣，在“弱導(dǎo)近似”范圍內(nèi)，相同的(l,n)模式可用同一形式簡化特征方程來表示，即它們具有近似的同一傳播常數(shù)和群速度?；蛘哒f滿足簡化特征方程的一組模群的相位常數(shù)發(fā)生簡并，特征方程對應(yīng)的是一組(m,n)解，卻對應(yīng)于同一(l,n)解。它們的縱向場分量僅為橫向場分量的約Δ倍，可以忽略，疊加結(jié)果得到橫向線極化場。此模群根據(jù)D.Gloge的建議統(tǒng)稱為線極化模，即LP模(LinearlyPolarizedmode)，而拋棄TE、TM、HE和EH模式之間的差別。這種LPln模命名法與常規(guī)命名法的關(guān)系如表5.4-1所示。圖5.4-6說明如何由常規(guī)的HE21+TE01和HE21+TM01模組合成LP11模。圖5.4-6LP11模的組成在光纖通信中采用LP模表示法的優(yōu)點(diǎn)有三：①使模式得以形象化。計(jì)算結(jié)果表明，屬于同一LPln模的一組(m,n)模群在一個方向(橫向)的電場分量(Ex或Ey)的強(qiáng)度分布可用同一圖形來表示，新的模指數(shù)l表示沿圓周方向強(qiáng)度變化的周期數(shù)。圖5.4-7說明LP11模的四種可能的電場和磁場方向及相應(yīng)的強(qiáng)度分布；②可以簡化模的分類和命名；③便于研究由線偏振光源的激勵問題。圖5.4-7LP11模的四種強(qiáng)度分布

(3)截止條件和截止頻率由關(guān)系可知β＞k2，于是波的相速度vp小于周圍介質(zhì)中的光速c2，β值隨值的減小而逐漸趨于k2；截止時，vp=c2，包層內(nèi)的場不再作指數(shù)衰減,場的能量將逸出纖芯外，正規(guī)模變成了輻射模。故或w=0代表光纖導(dǎo)模截止條件，稱β=k0n2時由w=0狀態(tài)所決定的頻率為截止頻率。由特征方程和w=0可求得各種模的截止條件，如表5.4-2所示。特別是，由J1(u)=0的第一個根u11=0，可求得HE11模的截止波長λc=∞，截止頻率fc=0，故HE11模是光纖的主模(或稱基模)。這與圓形介質(zhì)波導(dǎo)的結(jié)果相同。如上所述，光纖中可能存在的模數(shù)M與歸一化頻率ν有關(guān)。這也可用歸一化傳播常數(shù)(normalizedpropagationconstant)b來說明。b的定義為(5.4-26)圖5.4-8表示一些低次模的b-ν曲線，即(β/k0)-ν曲線及其相應(yīng)的截止值。由圖可見，每個模僅對超過某有限的ν值存在。當(dāng)β/k0=n2時，模被截止；HE11模不被截止，除非纖芯直徑為零。因此，適當(dāng)選擇a、n1和n2，使歸一化頻率(5.4-27)則光纖中只有單一的HE11模。圖5.4-8一些低次模的b-ν曲線容易理解，為使導(dǎo)模能在光纖中傳播，應(yīng)使w0。此即遠(yuǎn)離截止條件。將此條件用于特征方程，可求得各種模的遠(yuǎn)離截止條件，如表5.4-3所示?；E11的遠(yuǎn)離截止條件為J0(u01)=0。由此得到u01=2.40483。這正好是TE01和TM01模的截止條件。因此，為了保證光纖中單模傳輸，歸一化頻率ν必須小于2.40483。這與式(5.4-27)一致。HE11模的u值應(yīng)在0至2.40483之間。

TE01、TM01和HE21模的遠(yuǎn)離截止條件均為J1(u)=0。其第一個根為3.83171，所以這三個模u值的范圍都為2.40483～3.83171。如圖5.4-8所示，這三個模遠(yuǎn)離截止時彼此靠攏，波的相位常數(shù)幾乎相等；截止時，TE01和TM01模的截止值相等，而HE21模的截止值也幾乎與它們相等。這三個模即組成LP11模。

(4)功率流如上所述，光纖中一個模式的場在纖芯-包層分界面上并不等于零，導(dǎo)模的電磁能量部分在纖芯內(nèi)，部分在包層內(nèi)。自然我們希望光纖中的功率絕大部分集中在纖芯內(nèi)傳輸。我們定義纖芯和包層內(nèi)的功率集中度η為(5.4-28)

式中，P芯表示纖芯內(nèi)的功率；P總表示導(dǎo)模的全部功率；P包層表示包層內(nèi)的功(5.4-29)(5.4-30)(5.4-31)計(jì)算結(jié)果得到LP模式的功率集中度為(5.4-32)(5.4-33)圖5.4-9表示纖芯內(nèi)的功率集中度P芯/P總與歸一化頻率ν的關(guān)系曲線。由圖可見，①多模光纖情況下，P芯/P總1；②對于單模光纖情況,即使ν=2.4仍有約10%的光能在包層中；③LP0n模(對應(yīng)于TE0n、TM0n和HE2n模)在截止頻率時，芯內(nèi)功率為零，都變成了包層中的功率，而其它模即使在截止頻率，其在芯內(nèi)仍有功率傳輸。圖5.4-9階躍光纖纖芯功率集中度曲線

Gloge證明①,多模光纖中總的平均包層功率近似為(5.4-34)式中M為模數(shù)。它正比于ν2，所以包層中的功率流隨ν增大而減小。作為例子，我們考慮纖芯半徑a=25μm，折射率n1=1.48，Δ=0.01的階躍光纖，工作波長λ0=0.84μm，則ν=39，模數(shù)M=760。由式(5.4-34)求得包層中的功率近似為5%；若Δ減小，如為Δ=0.003，則模數(shù)M=242,算得包層中的功率近似為9%。對于單模情況，考慮LP01模(即HE11模)，則ν=1，算得包層內(nèi)大約有70%的功率流；而以LP11模開始的ν=2.405，則約84%的功率在纖芯內(nèi)。

3.單模光纖單模光纖(single-modeopticalfiber)的纖芯直徑為數(shù)個波長(通常為8～12個波長)，纖芯-包層折射率差很小。實(shí)際設(shè)計(jì)的單模光纖，纖芯-包層折射率差Δ只能在0.2%～1.0%之間變化。纖芯直徑應(yīng)當(dāng)選擇使得正好低于TE01和TM01模的截止值，即歸一化頻率ν應(yīng)稍小于2.4，如式(5.4-27)所示。例如典型的單模光纖纖芯半徑可選取為3μm；工作波長λ0=0.8μm的數(shù)值孔徑為0.1，則由式(5.4-3)和式(5.4-4)求得ν=2.356，符合單模條件式(5.4-27)。然而，正如上面所述，即使在結(jié)構(gòu)參數(shù)方面保證單模條件，但包層中卻有可觀的功率流，這是不希望出現(xiàn)的。為此有必要探索減小功率損耗的方法，包括模場直徑(modefielddiameter，MFD)、傳播模式、色散特性、損耗機(jī)理等問題。下面就模場直徑和傳播模式作一簡單討論。

(1)模場直徑對于單模光纖來說，預(yù)測其性能特性的重要參數(shù)是光在傳播模式中的幾何分布,而不是纖芯直徑和數(shù)值孔徑。因此單模光纖的基本參數(shù)是模場直徑(MFD)。此參數(shù)可由基模LP01(即HE11)模的模場分布來決定。MFD類似于多模光纖的纖芯直徑，只是在單模光纖中并非全部通過光纖的光功率都在纖芯內(nèi)。研究過許多表征和量度MFD的模型，其中的主要考慮是如何近似表示電場分布。若假設(shè)為高斯(Gaussian)分布E(r)=E0exp(-r2/W0)

(5.4-35)式中，r是半徑，E0是纖芯中心處的場，W0是電場分布寬度，如圖5.4-10所示。我們可以取MFD的寬度2W0為式(5.4-35)所示電場相應(yīng)光功率的1/e2寬度，亦即中心電場的e-1半徑的兩倍。因此單模LP01的MFD寬度2W0定義為(5.4-36)此定義式并非唯一的，還可以用別的定義。同時注意到，通常，模式要隨折射率分布而變化，因而會偏離高斯分布。圖5.4-10(a)單模光纖中光的分布；(b)MFD寬度

(2)單模光纖中的傳播模式由對LP模的討論可知，在任何單模光纖中，實(shí)際上存在兩個獨(dú)立的簡并模式。這兩個模式很相似，但其極化面彼此正交，若一個模為水平極化，另一個模則為垂直極化，它們的折射率分別為nx和ny，如圖5.4-11所示。這兩種極化之一都可構(gòu)成基模HE11模。一般沿光纖傳播的光電場是這兩種極化模的線性疊加，這取決于進(jìn)入光纖的光發(fā)射點(diǎn)處的極化情況。圖5.4-11單模光纖中基模的兩種極化在理想光纖中，兩種極化模是簡并的，有著相等的傳播常數(shù)(kx=ky)。任意極化狀態(tài)注入光纖在傳播時都不會改變。然而，在實(shí)際光纖中，存在著諸如不對稱橫向應(yīng)力、非圓纖芯和折射率分布變化等非理想性。這些非理想性都將破壞理想光纖的圓對稱性，使這兩種模的簡并分離，以不同的相速度傳播。定義這兩種簡并模的有效折射率差為單模光纖的雙折射:(5.4-37)相應(yīng)的雙折射傳播常數(shù)為(5.4-38)式中k0=2π/λ0是自由空間傳播常數(shù)。假如注入光纖中的光使兩個模都激勵，則在傳播中其中之一將相對于另一個產(chǎn)生相位滯后。當(dāng)此相位差為2π整數(shù)倍時，這兩個模將在該處產(chǎn)生差拍(beat)，輸入的極化狀態(tài)將重復(fù)。出現(xiàn)這種差拍的長度稱為光纖差拍長度(fiberbeatlength):(5.4-39)或者(5.4-40)為獲得低雙折射光纖，就要設(shè)法避免和減少光纖的非理想性，以減小雙折射Bf。5.5薄膜光波導(dǎo)

薄膜光波導(dǎo)(thin-filmopticalwaveguide)是光集成電路的基礎(chǔ)。其結(jié)構(gòu)如圖5.5-1所示。本節(jié)先分析其傳光原理，然后討論薄膜光波導(dǎo)導(dǎo)模的色散特性。圖5.5-1薄膜光波導(dǎo)

1.光波導(dǎo)的傳光原理

(1)光波導(dǎo)中的模式我們現(xiàn)在先用光線圖像來描述光波導(dǎo)中的模式。如圖5.5-2所示，考慮一般情況，如圖5.5-2(a),相干光以角度θ入射在階躍折射率光波導(dǎo)的介質(zhì)分界面上，光能內(nèi)全反射的條件要求nf＞ns＞nc。上、下分界面處的臨界角分別為θc=sin-1(nc/nf)

(5.5-1)θs=sin-1(ns/nf)

(5.5-2)式中，nc為包層介質(zhì)的折射率，nf是薄膜光波導(dǎo)介質(zhì)的折射率，ns是襯底材料的折射率。由于ns＞nc，所以通常θs＞θc。由這兩種臨界角關(guān)系，就存在三種可能的入射角：①θs＜θ＜90°，②θc＜θ＜θs，③θ＜θc。如圖5.5-2(a)所示，當(dāng)θs＜θ＜90°時，光線將在上下兩個分界面上以內(nèi)全反射方式在波導(dǎo)層內(nèi)沿鋸齒路徑傳播。如果波導(dǎo)材料無耗，則光線可以無衰減地傳播下去。這種情況對應(yīng)為導(dǎo)行模(guidedmode)。它在光波導(dǎo)中起重要的作用。當(dāng)θc＜θ＜θs時,光線在上分界面產(chǎn)生內(nèi)全反射,但在下分界面將按照斯內(nèi)爾定律(Snell′slaw)通過界面從波導(dǎo)層漏出,形成一種襯底輻射模(substrateradiationmode)。其振幅沿傳播方向顯著減小，如圖5.5-2(b)所示。當(dāng)θ＜θc時，將導(dǎo)致襯底-包層輻射模(substrate-cladradiationmode)，向襯底和包層都輻射。圖5.5-2光線沿光波導(dǎo)的傳播圖上面的討論是限定nc＜ns＜nf而得出二類模式(導(dǎo)行模和輻射模)；若nc＞nf，則會出現(xiàn)泄漏模(leakymode)，其能量將漏向復(fù)蓋層。用光線概念，考慮到分界面上的全反射及伴隨的相移，還可以分析上述各種模式的傳播特性，其結(jié)果與基于波動光學(xué)導(dǎo)出的結(jié)果一致。在波動光學(xué)中，雖然模式是用光線的入射角θ來分類，但一般是用傳播常數(shù)來表征。如圖5.5-3所示，平面法線方向上的傳播常數(shù)為k0nf(k0=2π/λ0，λ0為自由空間波長)，則入射角θ與x和z方向的傳播常數(shù)之間的關(guān)系為kx=k0nfcosθ

kz=β=k0nfsinθ

(5.5-3)圖5.5-3波矢量圖對于無耗波導(dǎo)，kz=β，β等效為折射率為nfsinθ的無限大媒質(zhì)中平面波傳播常數(shù)。因此可以定義模式的有效折射率(effectiveindices)N為β=k0N

或者N=nfsinθ

(5.5-4)于是有N＜nf。同樣可以得到輻射模存在的范圍為N＜ns。因此得到關(guān)系ns＜N＜nf

(5.5-5)

2)古斯-亨切位移在金屬波導(dǎo)里，波在金屬表面上產(chǎn)生全反射，且入射點(diǎn)和反射點(diǎn)在同一點(diǎn)上;而在介質(zhì)波導(dǎo)中，波在介質(zhì)分界面上產(chǎn)生內(nèi)全反射時，入射點(diǎn)和反射點(diǎn)不在同一點(diǎn)上，而是有一定的位移，稱之為古斯-亨切(Goos-Haenchen)位移，即是說反射點(diǎn)離開入射點(diǎn)有一定距離，如圖5.5-4所示。其位移zs和xs可根據(jù)反射系數(shù)的相角來確定。由電磁場理論知，TE波和TM波的反射系數(shù)分別為(5.5-6)(5.5-7)全反射時，θi＞θc則從數(shù)學(xué)上講，根號前的±號都可以?。坏珡奈锢硪饬x上講，只能取“-”號。這樣，反射系數(shù)的相角是超前的。代入ΓTE中可得(5.5-8)圖5.5-4古斯-亨切位移由此可求得古斯-亨切位移為(5.5-9)對于TM波，ΓTM的相角為(5.5-10)由此求得古斯-亨切位移為(5.5-11)對于折射波，如圖5.5-5所示，其電場可表示成(5.5-12)而根據(jù)斯內(nèi)爾定律，sinθt=nfsinθi/ns=λssinθi/λf，所以(5.5-13)圖5.5-5平面波的反射和折射代入式(5.5-12)中，得到(5.5-14)式中右邊指數(shù)函數(shù)中的第三項(xiàng)：代表沿正z方向的相移或傳播。對于指數(shù)函數(shù)中的第二項(xiàng)，分下面三種情況分析:①如果nf＞ns而θi＞θc，則產(chǎn)生全反射，此時為實(shí)數(shù)，其前面有正負(fù)號:

(i)若取“-”號，則表示Et的幅度將隨x增大作指數(shù)衰減，其傳播方向?yàn)檎齴方向，如圖5.5-6所示。這種波稱為表面波，其場集中在介質(zhì)nf內(nèi)及其表面附近。各種介質(zhì)波導(dǎo)的傳輸模都屬于這類波。這種波在無限遠(yuǎn)處為零，滿足無限遠(yuǎn)處的邊界條件，故屬正常波。由圖5.5-6可以看出，在介質(zhì)ns中，等相位面和等振幅面不一致，但彼此正交。這表明表面波是一種非均勻平面波。又因?yàn)椴ㄊ噶康膠分量kfz=β=kfsinθi≥kfns/nf=ks，所以傳播速度vp小于介質(zhì)εs中的光速，故表面波是一種慢波。圖5.5-6表面波的特性

(ii)若取“+”號，則Et將隨x增大而增大，在無限遠(yuǎn)處變?yōu)闊o限大，不滿足無限遠(yuǎn)處邊界條件，為非正常波。②如果nf＞ns，而θi＜θc，則為部分反射，此時為虛數(shù)。它代表向內(nèi)或向外傳播，結(jié)果在x方向呈駐波分布。這種波稱為輻射波。因?yàn)閟inθi＞ns/nf,則kfz=β＜k，于是傳播速度比ns中的光速快，故輻射波是一種快波。③如果nf＜ns，則2π/λf·［sin2

θi-(ns/nf)2］1/2永遠(yuǎn)為虛數(shù)，介質(zhì)ns中總有折射波。除了上述表面波和輻射波以外，當(dāng)入射波為非均勻平面波時，還會出現(xiàn)所謂泄漏波。此時ksx為復(fù)數(shù)，波沿x方向不但振幅增長，而且有相移，因此沿x方向有能量泄漏。薄膜光波導(dǎo)有三層介質(zhì)，如圖5.5-7所示，則當(dāng)滿足條件nc＜ns＜nf時，光將在薄膜光波導(dǎo)中以表面波形式傳播，場在nf內(nèi)呈正弦分布，在ns和nc內(nèi)，呈指數(shù)型分布。波在上下介質(zhì)分界面上反射時都要產(chǎn)生古斯-亨切位移，即要穿過分界面在距介質(zhì)分界面為xss和xsc的面上產(chǎn)生全反射。這相當(dāng)于增加了介質(zhì)波導(dǎo)的橫向尺寸，因此可以認(rèn)為，波在下式所示有效寬度deff的介質(zhì)波導(dǎo)內(nèi)傳播:deff=d+xss+xsc

(5.5-14)圖5.5-7波在薄膜光波導(dǎo)中的傳播與場的橫向分布

2.導(dǎo)模的色散特性與介質(zhì)板相似，薄膜光波導(dǎo)中存在著TE模和TM模，波方程如式(5.2-3)～(5.2-6)所示。對于TE模，可得其場解為(見圖5.5-8):(5.5-15)式中各層的傳播常數(shù)，可用有效折射率N=nfsinθ表示如下:(5.5-16)圖5.5-8TE導(dǎo)模的光電場要布由在x=0和-2a處的切向場分量Ey和Hz連續(xù)條件可得(5.5-17)與(5.5-18)由式(5.5-17)和式(5.5-18)，消去任意系數(shù)可得本征值方程為(5.5-19)式中m=0,1,2,…表示模數(shù)。當(dāng)給定波導(dǎo)的折射率和厚度2a時，就可由式(5.5-19)確定傳播常數(shù)kx，然后代入式(5.5-16)就可確定波導(dǎo)的有效折射率N。因?yàn)槟?shù)為正整數(shù)，所以N必須是ns＜N＜nf范圍內(nèi)的離散值。另一方面，如圖5.5-2所示，具有一定入射角的鋸齒光線才能沿波導(dǎo)層傳播。顯然，模數(shù)為零的基模具有最大的有效折射率。它對應(yīng)于最接近90°的入射角的光線。對于高次模，N接近于ns(或入射角θ接近于θs)。當(dāng)波導(dǎo)參數(shù)給定時，超越方程(5.5-19)可用數(shù)值方法求解，得到導(dǎo)模的色散特性。為此引入歸一化頻率ν和歸一化波導(dǎo)折射率(normalizedguideindex)b:(5.5-20)(5.5-21)并引入波導(dǎo)的非對稱量度(asymmetrymeasure)aE為(5.5-22)當(dāng)ns=nc時，aE=0，這表示對稱波導(dǎo)。薄膜光波導(dǎo)一般是不對稱波導(dǎo)(ns≠nc)。利用上述式(5.5-20)～(5.5-22)定義式，本征值方程(5.5-19)則可寫成如下歸一化形式:(5.5-23)由式(5.5-23)用數(shù)值法求得的歸一化色散曲線如圖5.5-9所示。若波導(dǎo)參量(材料折射率和波導(dǎo)厚度)給定，則導(dǎo)模的有效折射率可由此圖曲線求得。圖5.5-9階躍薄膜光波導(dǎo)的色散曲線波導(dǎo)的參數(shù)通常是根據(jù)導(dǎo)模的截止條件來決定。顯然，當(dāng)入射角變成臨界角θs，則光不再限定在導(dǎo)光層內(nèi)，并開始漏入襯底內(nèi)。此種情況稱為導(dǎo)模的截止，其有效折射率變成N=ns(bE=0)。由式(5.5-23)，截止時的νm值為(5.5-24)式中ν0是基模的截止值。若波導(dǎo)的歸一化頻率ν的范圍為νm＜ν＜νm+1，則可存在TE0、TE1、…、TEm模，導(dǎo)模的數(shù)目為m+1。對于對稱波導(dǎo)(ns=nc)，ν0=0。這意味著在對稱波導(dǎo)中,基模不截止。對于TM模，分析方法與上述相似；但由于Hy和Ez在分界面處連續(xù)，因此在本征值方程中要附加地引入折射率比的平方，即變成(5.5-25)引入歸一化頻率ν、歸一化折射率bM和不對稱量度aM為(5.5-26)則可得歸一化本征值方程如下:(5.5-27)式中(5.5-28)式(5.5-27)只有給定折射率比(ns/nf)和(nc/nf)才能用數(shù)值法求解。不過，對于實(shí)用的薄膜光波導(dǎo)，其導(dǎo)光層和襯底之間的折射率差很小,滿足條件(nf-ns)<<1。在此條件下，由于

，所以

，因此圖5.5-9的色散曲線也適用于TM模,只是用aM代替aE。

3.有效波導(dǎo)厚度現(xiàn)在我們通過討論導(dǎo)模的功率來說明薄膜光波導(dǎo)的導(dǎo)光特性，并導(dǎo)出其有效波導(dǎo)厚度(effectivewaveguidethickness)。單位波導(dǎo)寬度TE模的功率為(5.5-29)式中電場振幅是歸一化的，因此導(dǎo)模攜帶的是單位功率(P=1)。利用式(5.2-4)、(5.5-15)、(5.5-17)和式(5.5-18)，式(5.5-29)可以寫成(5.5-30)式中(5.5-31)其中Hf=(β/ωμ0)Ef。由式(5.5-30)表明，導(dǎo)?；旧舷拗圃诤穸萪eff內(nèi)。因?yàn)閷?dǎo)模要擴(kuò)散到襯底和包層內(nèi)一定厚度，故deff稱為有效波導(dǎo)厚度。與圖5.5-7相似，導(dǎo)模在襯底和包層內(nèi)分別透入深度1/γs和1/γc，此深度分別是光線限制在厚度deff波導(dǎo)內(nèi)沿鋸齒路徑傳播時在兩個分界面上的古斯-亨切橫向位移。其縱向位移則為2zss和2zsc，而(5.5-32)例如當(dāng)(N-ns)=2×10-3，(nf-ns)=10-2，則2zss=40λ。這表明僅一次全反射就將引起相當(dāng)大的位移。對于TM模，可得到類似的有效波導(dǎo)厚度:(5.5-33)式中由于deff與模式有關(guān)，所以高次模具有較大的有效波導(dǎo)厚度。最后應(yīng)指出注意的是，與介質(zhì)波導(dǎo)一樣，薄膜光波導(dǎo)的正規(guī)模包括導(dǎo)模(表面波)和輻射模。前者具有離散譜的傳播常數(shù)；后者具有連續(xù)譜的傳播常數(shù)。薄膜光波導(dǎo)模式的正交性和完備性必須考慮這兩種模。5.6帶狀光波導(dǎo)上述薄膜光波導(dǎo)中的光是沿z向傳播，在x方向受到限制，在y方向不受限制。這在有的光集成器件中是不希望的，而是希望在y方向也受到限制。帶狀光波導(dǎo)(stripopticalwaveguide)符合此條件，故帶狀光波導(dǎo)在光集成電路中特別有用。其主要結(jié)構(gòu)形式如圖5.6-1所示。圖5.6-1(a)凸起帶波導(dǎo)；(b)嵌入帶波導(dǎo);(c)脊形帶波導(dǎo)；(d)加載帶波導(dǎo)分析帶狀光波導(dǎo)的簡單而有效的方法是有效折射率法(effectiveindexmothod)。此種近似法是基于導(dǎo)模的有效折射率概念，其定義如式(5.5-4)所示。下面以嵌入式帶狀光波導(dǎo)為例來說明此法的應(yīng)用。如圖5.6-2所示，其中折射率差滿足條件(nf-ns)<<1。在有效折射率方法中，三維的嵌入式帶狀光波導(dǎo)分解成在x方向光受限制的二維波導(dǎo)Ⅰ和在y方向光受限制的二維波導(dǎo)Ⅱ。在二維波導(dǎo)Ⅰ中，

模的主要場分量是Ex和Hy，由本征值方程(5.5-27)可求得場分量為Ex、Hy和Ez的TM模的有效折射率NⅠ；另一方面，相應(yīng)的歸一化波導(dǎo)折射率bⅠ值可用圖5.5-9所示色散曲線用圖解法求得。因此(5.6-1)圖5.6-2有效折射率法的分析模型(a)三維波導(dǎo)；(b)二維波導(dǎo)Ⅰ;(c)二維波導(dǎo)Ⅱ二維波導(dǎo)Ⅱ是用襯底材料ns作包層的對稱結(jié)構(gòu)，其中導(dǎo)模的有效折射率NⅠ作為導(dǎo)光層的折射率，相應(yīng)的導(dǎo)模可看成在波導(dǎo)Ⅱ中場分量為Ex、Hy和Hz的TE模，因?yàn)槠錁O化沿x方向。其歸一化本征值方程可用對稱介質(zhì)波導(dǎo)的TE模得到如下:(5.6-2)式中歸一化頻率νⅡ和歸一化波導(dǎo)折射率bⅡ分別為(5.6-3)式中W是嵌入導(dǎo)光帶的寬度。應(yīng)用圖5.5-9中aE=0的色散曲線代替式(5.6-2),便可用圖解法求得所要求的傳播常數(shù)β(=k0N)。波導(dǎo)Ⅱ當(dāng)bⅡ=0時導(dǎo)模截止，故得νⅡ=nπ

(5.6-4)有效折射率法對梯度折射率光波導(dǎo)也適用。它與馬克蒂里分區(qū)近似法相比,其優(yōu)點(diǎn)之一是，經(jīng)簡短計(jì)算便可求得傳播常數(shù)；但當(dāng)既要求傳播常數(shù)，又要求場分布時，則應(yīng)選擇馬克蒂里方法或其它方法。本章提要本章研究的是各種毫米波介質(zhì)波導(dǎo)和光波導(dǎo)的特性。從本質(zhì)上講，毫米波介質(zhì)波導(dǎo)和光波導(dǎo)，都是以內(nèi)全反射原理工作的介質(zhì)波導(dǎo)，其導(dǎo)模都屬表面波，場在波導(dǎo)內(nèi)呈駐波分布，波導(dǎo)表面外按指數(shù)衰減，以保證導(dǎo)模無衰減地沿軸向傳輸。毫米波介質(zhì)波導(dǎo)和光波導(dǎo)所用的材料不同，毫米波介質(zhì)波導(dǎo)與集成電路所用介質(zhì)材料的介電常數(shù)范圍很廣