師說數(shù)學(xué)必修第一冊教版課件

2．2

從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)理解函數(shù)零點(diǎn)的概念．能根據(jù)“兩個(gè)二次”之間的關(guān)系研究函數(shù)的零點(diǎn)．學(xué)科核心素養(yǎng)通過二次函數(shù)圖象會(huì)求二次函數(shù)的零點(diǎn)及一元二次方程根的相關(guān)問題．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一 二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

(a≠0)當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)

實(shí)數(shù)x

的值，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)

，也稱為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

(a≠0)的零點(diǎn)．狀元隨筆函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)，是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；也是函數(shù)值為零時(shí)實(shí)數(shù)x的值，也是函數(shù)相應(yīng)的方程相異的實(shí)數(shù)根．要點(diǎn)二

當(dāng)a>0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)之間的關(guān)系如下表所示：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x

＝x

＝－

?1

2

??沒有實(shí)數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象無零點(diǎn)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)x ＝???

??????1，2

??有一個(gè)零點(diǎn)x＝－

?

??

(2)如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸沒有交點(diǎn)，則此二次函數(shù)沒有零點(diǎn)．(

)基礎(chǔ)自測

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)a>0時(shí)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有兩個(gè)零點(diǎn)．(

×

)√2．函數(shù)y＝x2＋4x＋4在區(qū)間[－4，－1]上()B．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)

D．有一個(gè)零點(diǎn)A．沒有零點(diǎn)

C．有兩個(gè)零點(diǎn)答案：D解析：當(dāng)x2＋4x＋4＝0時(shí)，即(x＋2)2＝0，x＝－2.∵－2∈[－4，－1]，∴－2是函數(shù)y＝x2＋4x＋4在區(qū)間[－4，－1]上的一個(gè)零點(diǎn)．3．函數(shù)y＝x2＋6x＋8的零點(diǎn)是(

)A．2，4C．1，2B．－2，－4D．不存在答案：B解析：令y＝x2＋6x＋8＝0?(x＋2)(x＋4)＝0，解得x＝－2或－4，所以函數(shù)y＝x2＋6x＋8的零點(diǎn)是－2，－4.4．函數(shù)y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

2

．解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.題型探究課堂解透題型1

求函數(shù)的零點(diǎn)例1

求下列函數(shù)的零點(diǎn)．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1.2解析：(1)由2x

－3x－2＝0解得1

2??x

＝2，x

＝－，所以函數(shù)2y＝3x

－2x－1的零點(diǎn)為2和－?.?(2)(ⅰ)當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函數(shù)的零點(diǎn)為－1.(ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí)，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，?當(dāng)Δ<0，即a<－?時(shí)，相應(yīng)方程無實(shí)數(shù)根，函數(shù)無零點(diǎn)；?1

2當(dāng)Δ＝0，即a＝－?時(shí)，x

＝x

＝－2，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)－2.?②當(dāng)Δ>0，即a>－?時(shí)，由ax2－x－1＝0得x1，2??＝?±

????，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)??

????和??

????.??

??綜上：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為－1；?當(dāng)a＝－?時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為－2；當(dāng)a>－?時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)??

????和??

????；

?

??

???當(dāng)a<－?時(shí)，相應(yīng)方程無實(shí)數(shù)根，函數(shù)無零點(diǎn)．方法歸納求函數(shù)的零點(diǎn)就是解相應(yīng)的方程，相應(yīng)方程互異的實(shí)根就是函數(shù)的零點(diǎn)．函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點(diǎn)．求含有參數(shù)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)分類討論的步驟：①若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，則討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零；②若二次項(xiàng)系數(shù)不是零，討論對(duì)應(yīng)方程的根的判別式的符號(hào)，判定方程是否有實(shí)數(shù)根．若可以因式分解，則一定存在零點(diǎn)．③若二次項(xiàng)系數(shù)不是零，且相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，討論相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根是否相等．跟蹤訓(xùn)練1

求下列函數(shù)的零點(diǎn)．(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝－2x2＋4.解析：(1)由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＝0，解得二次方程x2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1＝1，x2＝2，所以二次函數(shù)y＝x2－3x＋2的零點(diǎn)分別為1，2.(2)解得二次方程－2x2＋4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1＝－

2，x2＝

2，所以二次函數(shù)y＝－2x2＋4的零點(diǎn)分別為－

2，

2.題型2

求二次函數(shù)的表達(dá)式例2

已知關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足條件：①對(duì)稱軸為x＝1；②y的最大值為15；③ax2＋bx＋c＝0的兩根立方和為17.求函數(shù)表達(dá)式．解析：根據(jù)條件①②設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋a＋15(a<0)．21

2

1

2 1

2???設(shè)方程ax

－2ax＋a＋15＝0的兩個(gè)根為x

，x

，則x

＋x

＝2，x

x

＝1＋

.?1

2

1

2 1

2由????

?

???＝(x

＋x

)[(x

＋x

)2－3x

x

]＝17，?可得2

4

?

3 1?

??

＝17，解得a＝－6.∴所求表達(dá)式為y＝－6x2＋12x＋9.方法歸納二次函數(shù)解析式的求法，注意兩根式的設(shè)法，常見還有一般式，頂點(diǎn)式，要熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練2?已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)x＝?時(shí)，y的最小值為－??，且方程ax2

＋bx＋c＝0的兩根之差為7，求此二次函數(shù)的解析?式．解析：依題意，設(shè)y＝a x

?

?

?－??(a>0)，即y＝ax2－ax＋?a－??，設(shè)其兩個(gè)零?

?

?

?1

2

1

2

1

2?

??1

2點(diǎn)為x

，x

，則x

＋x

＝1，x

·x

＝?

?

??，依題意|x

－x

|＝7，兩邊平方并化簡得1

2 1

2(x

＋x

)2－4x

x

＝49，所以12－4?

?

???

???＝??＝49，解得a＝1.所以二次函數(shù)解析式為y＝ x

?

?

?－??.?

?題型3

二次函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的轉(zhuǎn)化例3

已知二次函數(shù)y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．求m的取值范圍；若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．解析：(1)∵二次函數(shù)y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴方程x2－2(m－1)x＋(m2－7)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴Δ＝4(m－1)2－4(m2－7)＝－8m＋32>0，∴m<4.(2)∵二次函數(shù)y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)經(jīng)過點(diǎn)B(3，0)，∴9－6(m－1)＋m2－7＝0，m2－6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4.由(1)知m<4，∴m＝2.∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2－2x－3.令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)，對(duì)稱軸為直線x＝1.方法歸納二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、二次不等式解集的端點(diǎn)值、一元二次方程的解是同一個(gè)量的不同表現(xiàn)形式．二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體．有關(guān)二次函數(shù)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法，密切聯(lián)系其圖象是探求解題思路的有效方法．跟蹤訓(xùn)練3

已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋2k.(1)若二次函數(shù)y＝x2－4x＋2k有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)如果k是滿足(1)的最大整數(shù)，且二次函數(shù)y＝x2－4x＋2k的零點(diǎn)是二次函數(shù)y＝x2－2mx＋3m－1的一個(gè)零點(diǎn)，求m的值及二次函數(shù)y＝x2－2mx＋3m－1的另一個(gè)零點(diǎn)．解析：(1)由題意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2.(2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2，二次函數(shù)y＝x2－4x＋2k的零點(diǎn)是2，∴二次函數(shù)y＝x2－2mx＋3m－1的一個(gè)零點(diǎn)是2，∴方程x2－2mx＋3m－1＝0的一個(gè)根為2，∴4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3，∴x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，所以二次函數(shù)y＝x2－2mx＋3m－1的另一個(gè)零點(diǎn)為4.課堂十分鐘1．函數(shù)y＝3x2＋x－2的零點(diǎn)為(

)A．1，－??B．－1,

??C．2，－??D．－2,

??答案：B2解析：解方程3x

＋x－2＝0，得1x

＝－1，x2????2＝，所以－1，是函數(shù)y＝3x

＋x－2的零點(diǎn)．2．已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(1，0)，(2，5)兩點(diǎn)，則二)次函數(shù)的解析式為(A．y＝x2＋2x－3C．y＝x2＋2x＋3B．y＝x2－2x－3D．y＝x2－2x＋6答案：A解析：(1)把點(diǎn)(1，0)，(2，5)代入y＝x2＋bx＋c，得?

1?

b

?

c

?

0

，解得?

b

?

2

，4?

2b

?

c

?

5 c

?

?3所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y＝x2＋2x－3.3．關(guān)于x的一元二次方程x2－3x－2＝0的