第1課時二次函數(shù)與實際問題

26．3實踐與探索第1課時二次函數(shù)與實際問題【知識與技能】會結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析問題、解決問題，在運(yùn)用中體會二次函數(shù)的實際意義．【過程與方法】通過對實際問題的分析，使學(xué)生掌握如何利用二次函數(shù)解決實際問題．【情感態(tài)度】在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題中的最大或最小值．【教學(xué)重點】會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．【教學(xué)難點】在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求生活中的實際問題．一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，如拱橋跨度、拱高計算等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識研究和解決這些問題，具有很現(xiàn)實的意義．本節(jié)課，請同學(xué)們共同研究，嘗試解決以下幾個問題．【教學(xué)說明】使學(xué)生明白二次函數(shù)的重要性．二、思考探究，獲取新知問題1：(P26，問題1)讓學(xué)生討論、交流，如何將文學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，得出問題(1)就是求函數(shù)y＝－x2＋2x＋eq\f(4,5)最大值，問題(2)就是求圖中B點的橫坐標(biāo)；【教學(xué)說明】學(xué)生解答，教師巡視指導(dǎo)；讓一兩位同學(xué)板書，教師講評．問題2：(P27.問題2)解：以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．這時，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為：y＝ax2，(a＜0)，(1)，因為AB與y軸相交于C點，所以CB＝eq\f(AB,2)＝m，又OC＝m，所以點B的坐標(biāo)是(，－)．因為點B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得－＝a×2，所以：a＝－eq\f(15,4)，因此，函數(shù)關(guān)系式是y＝－eq\f(15,4)x2，(2)，因為OF＝m，設(shè)FD＝x1m(x1＞0)，則點D坐標(biāo)為(x1，－)．因為點D的坐標(biāo)在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(2)，得－＝－eq\f(15,4)x12，x12＝eq\f(2,5)，x1＝±eq\f(\r(10),5)，x1＝－eq\f(\r(10),5)不符合假設(shè)，舍去，所以x1＝eq\f(\r(10),5).ED＝2FD＝2×x1＝2×eq\f(\r(10),5)＝eq\f(2,5)eq\r(10)≈eq\f(2,5)×≈(m)，所以涵洞ED是eq\f(2,5)eq\r(10)m，會超過1m.三、運(yùn)用新知，深化理解1．如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米．(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面米的長方體貨物(貨物與貨船同寬)．問：此船能否順利通過這座拱橋？解：(1)設(shè)拋物線解析式為y＝ax2設(shè)點B(10，n)，點D(5，n＋3)，由題意：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝100a,n＋3＝25a))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－4,a＝－\f(1,25)))，∴y＝－eq\f(1,25)x2.(2)方法一：當(dāng)x＝3時，y＝－eq\f(1,25)×9，∵－eq\f(9,25)－(－4)＞，∴在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋．方法二：當(dāng)y＝－4＝－eq\f(2,5)時，－eq\f(2,5)＝－eq\f(1,25)x2，∴x＝±eq\r(10)，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(±\r(10)))＞3∴在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋．2．某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為100萬件．為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費(fèi)是x(十萬元)時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x(十萬元)012…y1…(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫出年利潤S(十萬元)與廣告費(fèi)x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果投入的年廣告費(fèi)為10～30萬元，問廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨廣告費(fèi)的增大而增大？解：(1)設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2＋bx＋c.由表中數(shù)據(jù)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1,a＋b＋c＝1.5,4a＋2b＋c＝1.8)).解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,10),b＝\f(3,5),c＝1))，所以所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,10)x2＋eq\f(3,5)x＋1(2)根據(jù)題意，得S＝10y×(3－2)－x＝－x2＋5x＋10.(3)S＝－x2＋5x＋10＝－(x－eq\f(5,2))2＋eq\f(65,4).由于1≤x≤3，所以當(dāng)1≤x≤時，S隨x的增大而增大．【教學(xué)說明】通過練習(xí)的過程，前后呼應(yīng)，鞏固已學(xué)知識，并讓學(xué)生體會二次函數(shù)是解決實際問題的一類重要數(shù)學(xué)模型．四、師生互動，課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲感想，再以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)．教師作以補(bǔ)充．1．布置作業(yè)：教材P28“練習(xí)”2．完成同步練習(xí)