人教版八年級上冊全等三角形（28張）

第十二章全等三角形復習課全等三角形知識結構圖1.能夠完全重合的兩個圖形叫全等圖形；能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.2.把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角.考點1.全等三角形的性質BCEF

3.性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.1.如圖，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．（1）求AC的長度；（2）試說明CE∥BF．解：（1）∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，則AB=DC，∵BC=2，∴2AB+2=8，∴AB=3，∴AC=3+2=5；（2）∵△ACE≌△DBF，∴∠ECA=∠FBD，∴CE∥BF．常見題型2.如圖所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．（1）求∠B；（2）判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．解：（1）∵△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C，又∵∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°；（2）AD⊥BC．理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠BDA=∠CDA，∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AD⊥BC．考點2.三角形全等的判定方法(1)SSS(2)SAS:必須為夾角(3)ASA：必須為夾邊(4)AAS(5)HL：只能用于直角三角形1.已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA

）.BCAD常見題型2.已知△ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠D

D.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD3.如圖所示，AB與CD相交于點O,∠A=∠B，OA=OB

添加條件

，所以△AOC≌△BOD

理由是

.

AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODAAS或ASA4.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于點G,交AB于點E,EF∥BC交AC于點F,求證：∠DEC=∠FEC.ABCDFEGABCDFEG證明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，

∴GE=GC.

∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.ABCDFEG在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌

△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.5.如圖，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足為B,C,OB=OC，∠BAO=∠CAO嗎？為什么？OCBA解：∠BAO=∠CAO，理由：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，

OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO

，（HL）∴∠BAO=∠CAO.6.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點D為AB的中點，點P在線段BC上以每秒3個單位長度的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段CA上由點C向點A以每秒a個單位長度的速度運動，設運動時間為t秒.（1）求CP的長（用含有t的式子表示）；（2）若以點C、P、Q為頂點的三角形和以點B、D、P為頂點的三角形全等，且∠B和∠C是對應角，求a和t的值.CABQDP解：（1）由題意得：BP=3t.∵BC=8，

∴CP=BC-BP=8-3t.解：（2）①若△BDP≌△CPQ，∵AB=10，點D為AB的中點，∴BD=5.

根據(jù)題意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CPQ，

∴BD=CP，BP=CQ，∴5=8-3t，3t=at，解得t=1，a=3.②若△BDP≌△CQP，∵AB=10，點D為AB的中點，∴BD=5.

根據(jù)題意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CQP，

∴BP=CP，BD=CQ.∴3t=8-3t，5=at，解得t=，a=.1、作已知角的平分線？作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧線，交OA于點N，交OB于點M.（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC，射線OC即為所求.考點3.

角平分線的性質與判定角的平分線的性質2.圖形已知條件結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E

角的平分線的判定1.如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點，∠PCB+∠BAP=180°，求證:PA=PC.BACN))12PEF常見題型證明：過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵

∠PCB+∠BAP=180°,又∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，

PE=PF，∴△APE

≌△CPF(AAS)，2.如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點，

PA=PC

，求證:∠PCB+∠BAP=180°.BACN))12PEF證明：過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.

PA=PC，

PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE

≌Rt△PCF(HL).∴∠EAP=∠FCP.∵

∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.3.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，M是BC的中點，AM平分∠DAB.

（1）DM是否平分∠ADC？請證明你的結論.（2）線段DM與AM有怎樣的位置關系？請說明理由.（1）解：DM平分∠ADC.如圖，過點M作ME⊥AD，垂足為E.∵∠B=90°，

∴MB⊥AB.∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD，∴MB=ME.∵∠B=90°，AB//CD，∴∠C=90°，即MC⊥CD.∵M為BC的中點，∴MC=MB.∴ME=MC.∴DM平分∠ADC.┐E（2）解：DM⊥AM，理由如下：如圖，過點M作ME⊥AD，垂足為E.∵AB//CD，

∴∠CDA+∠BAD=180°.又∵∠EDM=∠CDM=∠CDA，∠EAM=∠BAM=∠BAD，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°.∴∠DMA=90°.∴DM⊥AM.┐E4.如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，請你添加一個條件使得AD⊥EF.（1）你添加的條件是（），并證明AD⊥EF.（2）如圖，AD為∠BAC的平分線，當有一點G從點D向點A運動時，GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分別為E、F.這時AD是否垂直于EF？（3）如圖，當點G從點D出發(fā)沿著AD方向運動時，其他條件不變，這時AD是否垂直于EF？本題源自《教材幫》（1）①解：AD平分∠BAC，證明如下：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.

在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，

DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.

∴∠EDA=∠FDA.

設AD交EF于點O，

在△DOE和△DOF中，DE=DF，

∠EDO=∠FDO，

DO=DO，∴△DOE≌△DOF.

∴∠DOE=∠DOF.

∵∠DOE+∠DOF=180°.

∴∠DOE=∠DOF=90?，則AD⊥EF.（2）AD⊥EF，證明方法同（1）；（3）AD⊥EF，證明方法同（1）.考點4.

全等三角形綜合練習1如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC＝AB＋CD.2如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE＝2AM.3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由．（1）證明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．

（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此時應有DE＝AD﹣BE．證明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．4將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF＋EF＝DE；（2）若將圖①