數(shù)學人教八年級上冊（2013年新編）11-1-2 三角形的高、中線與角平分線（當堂達標）

11.1.2三角形的高、中線與角平分線夯實基礎篇一、單選題：（每題3分，共18分）1．在△ABC中，畫邊BC上的高，正確的是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】解：A．此圖形中AD是BC邊上的高，符合題意；B．此圖形中CE不是BC邊上的高，不符合題意；C．此圖形中BE是AC邊上的高，不符合題意；D．此圖形中BG是△BCG中BC邊上的高，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查三角形高的畫法，解題關鍵在理解底與高的對應關系，作鈍角三角形的高是易錯點．2．如圖，在中，邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形高的定義是從一個頂點到它對邊的垂線段即可判斷．【詳解】根據(jù)三角形的高的定義，在△ABC中，BC邊上的高應是過點A垂直于BC的線段，從圖中可以看出，過點A垂直于BC的線段是AE，所以AE是BC邊上的高．故選：C．【點睛】本題考查了三角形高的定義，熟練掌握三角形的高概念，仔細觀察圖形中符合定義的線段即可．3．下列敘述中錯誤的一項是（

）．A．三角形的中線、角平分線、高都是線段．B．三角形的三條高線中至少存在一條在三角形內部．C．只有一條高在三角形內部的三角形一定是鈍角三角形．D．三角形的三條角平分線都在三角形內部．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線、高的概念和性質進行一一判斷．【詳解】A：三角形的中線、角平分線、高都是線段，正確；B：銳角三角形三條高在三角形內部，直角三角形一條高在三角形內部，鈍角三角形一條高在三角形內部，正確；C：只有一條高在三角形內部的三角形是鈍角三角形或直角三角形，錯誤；D：銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形的三條角平分線都在三角形內部，正確故選：C【點睛】本題考查三角形的三線，掌握高、中線、角平分線的定義是解題關鍵．4．已知，AE、BD是的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，則AC的長度是（

）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等面積法即可求解．【詳解】解：∵AE、BD是的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴，即cm．故選D．【點睛】本題考查了三角形高線的相關計算，理解三角形的高線的意義是解題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊上的中線，則△ABD與△ACD的周長之差為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，AD是△ABC的邊BC上的中線，可得BD=CD，進而得出△ABD的周長=AB+BD+AD，△ACD的周長=AC+CD+AD，相減即可得到周長差．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∴△ABD與△ACD的周長之差為：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的中線、高和三角形周長的求法，熟練掌握三角形周長公式是解題的關鍵．6．如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的高線，角平分線和中線解答即可；【詳解】解：A．∵是的中線∴，故選項正確，不符合題意；B．∵是的角平分線∴故選項正確，不符合題意；C．∵分別是的高，∴故選項正確，不符合題意；D．不一定成立，故選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查三角形的高線，角平分線和中線，關鍵是根據(jù)三角形的高線，角平分線和中線的定義進行判斷即可．二、填空題：（每題3分，共15分）7．如圖，，則線段______是中邊上的高．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形高線的定義判斷即可；【詳解】∵，∴中BC邊上的高是AE．故答案是AE．【點睛】本題主要考查了三角形的角平分線、中線和高線，準確分析判斷是解題的關鍵．8．如圖，△ABC中，AD是BC上的中線，BE是△ABD中AD邊的中線，若△ABC的面積是24，AE＝3，則點B到直線AD的距離為________．【答案】4【解析】【分析】由三角形的中線平分三角形面積的性質可得△ABE的面積，再由三角形面積公式即可求得結果．【詳解】∵AD是△ABC的BC邊上的中線，，∴．∵BE是△ABD中AD邊上的中線，∴．設點B到直線AD的距離為h，則，即，∴h=4．即點B到直線AD的距離為4．故答案為：4．【點睛】本題考查了三角形一邊上的中線平分三角形面積的性質、三角形面積等知識，掌握三角形一邊上的中線平分三角形面積的性質是本題解答的關鍵．9．如圖，在△ABC中，AD、AE分別是BC邊上的中線和高，AE＝6，S△ABD＝15，則CD＝_____．【答案】5【解析】【分析】由利用三角形的面積公式可求得BD的長，再由中線的定義可得CD=BD，從而得解．【詳解】解：∵S△ABD=15，AE是BC邊上的高，∴BD?AE=15，則×6BD=15，解得：BD=5，∵AD是BC邊上的中線，∴CD=BD=5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查三角形的中線，三角形的高，解答的關鍵是由三角形的面積公式求得BD的長．10．如圖，在三角形中，，，垂足為，，，，則______．【答案】2.4【解析】【分析】根據(jù)面積相等可列式，代入相關數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，，∴∵，，，∴故答案諀：2.4【點睛】此題主要考查了運用等積關系求線段的長，準確識圖是解答本題的關鍵．11．已知中，，中線把分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差是，則的長是__________．【答案】42cm或18cm【解析】【分析】先根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，再求出AD把△ABC周長分為的兩部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC兩種情況分別列式計算即可得解．【詳解】∵AD是△ABC中線，∴BD=CD．∵AD是兩個三角形的公共邊，兩個三角形的周長差是12cm，∴如果AB＞AC，那么AB-AC=12cm，即AB-30=12cm∴AB=42cm；如果AB＜AC，那么AC-AB=12cm，即30-AB=12cmAB=18cm．綜上所述：AB的長為42cm或18cm．故答案為：42cm或18cm．【點睛】考查了三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．三、解答題：（每題8分，共40分）12．如圖，BD和CE是△ABC的中線，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周長為15cm，求BC邊的長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)中線定義可得AB，AC，根據(jù)△ABC周長公式即可求解．【詳解】∵BD和CE是△ABC的中線，∴，，∵△ABC周長為15cm，即，∴．【點睛】本題考查三角形中線定義、三角形周長公式，解題的關鍵是根據(jù)三角形中線求出AB和AC的長．13．如圖，△ABC的周長是21cm，AB＝AC，中線BD分△ABC為兩個三角形，且△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，求AB，BC．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】【分析】由BD是中線，可得AD=CD，又由△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，△ABC的周長是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，繼而求得答案．【詳解】解：∵BD是中線，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周長是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，聯(lián)立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【點睛】本題考查了三角形周長與三角形的中線．注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．14．如圖，△ABC的頂點都在邊長為1的正方形方格紙的格點上，將△ABC向上平移4格．(1)請在圖中畫出平移后的三角形A′B′C′；(2)在圖中畫出三角形△ABC的高CD、中線BE；(3)△ABC的面積是．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形平移的性質畫出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出線段AC的中點E，然后連接BE，再過點C向AB所在的直線作垂線，垂足為D即可；（3）直接根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論．(1)如圖所示，三角形A′B′C′就是所要求做的圖形；(2)如圖所示，三角形△ABC的高CD、中線BE；(3)S△ABC＝．故△ABC的面積是8．【點睛】本題考查作圖－平移變換，熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵．15．如圖，已知，分別是的高和中線，，，，．(1)求的長度；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用等面積法，根據(jù)，代值求解即可；（2）根據(jù)已知條件和（1）中求出的長，利用三角形面積公式得出，代值求解即可．(1)解：在中，，是邊上的高，，，，根據(jù)可得；(2)解：在中，是邊上的中線，且，，在中，是邊上的高，且由（1）知，．【點睛】本題考查三角形面積公式，熟練掌握三角形的中線與高線是解決問題的關鍵．16．請補全證明過程及推理依據(jù)．已知：如圖，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求證：BD∥EF．證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴∠AED=∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根據(jù)平行線的性質定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根據(jù)平行線的判定定理推出即可．【詳解】證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分線的定義）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）∴∠AED=∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質定理和判定定理等知識點，能熟記平行線的性質定理和判定定理是解此題的關鍵．能力提升篇一、單選題：（每題3分，共9分）1．在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（

）A．7 B．10 C．7或11 D．7或10【答案】C【解析】【分析】題中給出了周長關系，要求底邊長，首先應先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關系，列方程求解，然后結合三角形三邊關系驗證答案．【詳解】設等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據(jù)題意，得①或②解方程組①得，根據(jù)三角形三邊關系定理，此時能組成三角形；解方程組②得，根據(jù)三角形三邊關系定理此時能組成三角形，即等腰三角形的底邊長是11或7；故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質及相關計算．學生在解決本題時，有的同學會審題錯誤，以為15，12中包含著中線BD的長，從而無法解決問題，有的同學會忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況；注意：求出的結果要看看是否符合三角形的三邊關系定理．2．如圖，△ABC的面積為3，BD：DC＝2：1，E是AC的中點，AD與BE相交于點P，那么四邊形PDCE的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接CP．設△CPE的面積是x，△CDP的面積是y．根據(jù)BD：DC=2：1，E為AC的中點，得△BDP的面積是2y，△APE的面積是x，進而得到△ABP的面積是4x．再根據(jù)△ABE的面積是△BCE的面積相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=x，再根據(jù)△ABC的面積是3即可求得x、y的值，從而求解．【詳解】連接CP，設△CPE的面積是x，△CDP的面積是y．∵BD：DC=2：1，E為AC的中點，∴△BDP的面積是2y，△APE的面積是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面積是4x+2y∴△ABP的面積是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=x．又∵△ABC的面積為3∴4x+x=，x=．則四邊形PDCE的面積為x+y=．故選B．【點睛】此題能夠根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積之間的關系．等高的兩個三角形的面積比等于它們的底的比；等底的兩個三角形的面積比等于它們的高的比．3．如圖，△ABC的面積是24，點D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，則△AFG的面積是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)點E是AD的中點，可知，，再根據(jù)點D是BC的中點，可得，即可得，然后根據(jù)點F，G是BE，CE的中點，得，，可知FG是△CBE的中位線，可得，即可得出答案．【詳解】∵點E是AD的中點，∴，．∵點D是BC的中點，∴，∴．∵點F，G是BE，CE的中點，∴，，∴FG是△CBE的中位線，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的面積和中線的關系，三角形中位線的定義和性質等，將一個三角形的面積轉化為求三個小三角形的面積是解題的關鍵．二、填空題：（每題3分，共9分）4．如圖，在中，，P是邊上的任意一點，于點E，于點F.若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結合已知條件，即可求得的值．【詳解】解：如圖，連接于點E，于點F，故答案為：【點睛】本題考查了三角形的高，掌握三角形的高的定義是解題的關鍵．5．如圖，在ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點，且ABC的面積等于24cm2，則陰影部分圖形面積等于_____cm2【答案】6【解析】【分析】因為點F是CE的中點，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分別是BC、AD的中點，可得△EBC的面積是△ABC面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．【詳解】解：如圖，點F是CE的中點，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，∴S△BEF=S△BEC，∵E是AD的中點，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，∴S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即陰影部分的面積為6cm2．故答案為6．【點睛】本題考查了三角形面積的等積變換：若兩個三角形的高（或底）相等，面積之比等于底邊（高）之比．6．在中，，cm，cm，點是的中點，點從點出發(fā)，沿線段以每秒2cm的速度運動到．當點的運動時間____________秒時，的面積為．【答案】1或3【解析】【分析】分為兩種情況討論：當點P在AD上時，當點P在DB上時，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可．【詳解】∵，點是的中點，∴AD=BD=4cm，當點P在AD上時，AP=2t，∴PD=4-2t∵的面積為，∴PD×BC=6，即解得t=1s，當點P在BD上時，AP=2t，∴DP=2t-4，∵的面積為，∴DP×BC=6，即，解得t=3s，綜上，當點運動時間1或3秒時，的面積為．故答案為：1或3．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積公式的運用，解答時靈活運用三角形的面積公式求解是關鍵．三、解答題：（9分）7．如圖，在中，、分別是的高和角平分線，．(1)若，求的度數(shù)；(2)試用、的代數(shù)式表示的度數(shù)_________．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ACB的值，再由角平分線的性質以及直角三角形的性質求出∠DCE．（2）由（1）的解題思路即可得正確結果．(1)解：，，是的平分線，．是高線，，，．(2)解：，，是的平分線，．是高線，，，．【點睛】本題主要考查角平分線，高線以及角的轉換，掌握角平分線，高線的性質是解題的關鍵．思維拓展篇1.閱讀下列材料：陽陽同學遇到這樣一個問題：如圖1，在中，是的高，是邊上一點，、分別與直線，垂直，垂足分別為點、．求證：．陽陽發(fā)現(xiàn)，連接，有，即．由，可得．他又畫出了當點在的延長線上，且上面問題中其他條件不變時的圖形，如圖2所示，他猜想此時、、之間的數(shù)量關系是：．請回答：（1）請補全陽陽同學證明猜想的過程；證明：連接．________，____________