湖南省衡陽(yáng)市衡南縣龍鶴中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省衡陽(yáng)市衡南縣龍鶴中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且2a=loa,()b=lob,()c=log2c,則A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c參考答案：A依題意,a>0,b>0,c>0,故2a>1,0<()b<1,0<()c<1,所以loa>1,0<lob<1,0<log2c<1,即0<a<,<b<1,1<c<2,a<b<c,選A.

2.函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】給出的函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，由此排除B，然后利用區(qū)特值排除A和C，則答案可求．【解答】解：由于函數(shù)y=xcosx+sinx為奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除選項(xiàng)B，由當(dāng)x=時(shí)，y=1＞0，當(dāng)x=π時(shí)，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)C．故正確的選項(xiàng)為D．故選：D．3.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．參考答案：D4.函數(shù)的圖象只可能是

()參考答案：A略5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為（A）

y=cos2x，xR（B）

y=log2|x|，xR且x≠0（C）

y=，xR（D）

y=x3+1，xR參考答案：B函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以在上也為增函數(shù)，選B.6.設(shè)集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，則A∪B=（）A．{1} B．[0，1] C．（0，1] D．[0，1）參考答案：B【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【分析】求出A中方程的解得到x的值，確定出A，求出B中不等式的解集確定出B，找出兩集合的并集即可．【解答】解：由A中方程變形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即A={0，1}，由B中不等式變形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，則A∪B=[0，1]，故選：B．7.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A．（-2，-1）

B．（-1，0）

C．（0，1）

D．（1，2）參考答案：B8.已知函數(shù)f（x）=lnx+ln（2﹣x），則（）A．y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱B．f（x）在（0，2）單調(diào)遞減C．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D．f（x）在（0，2）單調(diào)遞增參考答案：C【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)f（x）解析式，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性【解答】解：f（x）的定義域?yàn)椋?，2），f（x）=ln（2x﹣x2），令y=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，則y=2x﹣x2關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，C正確；∴y=f（x）在（0，1）和（1，2）上單調(diào)性相反，故B，D錯(cuò)誤；故選C．9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

（A） （B） （C）

（D）參考答案：A【命題意圖】本小題主要考查三視圖、空間幾何體的體積，等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等．【試題簡(jiǎn)析】該幾何體可以看成：在一個(gè)半球上疊加一個(gè)圓錐，然后挖掉一個(gè)相同的圓錐，所以該幾何體的體積和半球的體積相等，因此，故選A.【錯(cuò)選原因】錯(cuò)選B：把該幾何體可以看成：在一個(gè)半球上疊加一個(gè)圓錐，且未挖掉一個(gè)相同的圓錐.錯(cuò)選C：把該幾何體可以看成：在一個(gè)半球上疊加一個(gè)圓錐，且未挖掉一個(gè)相同的圓錐.錯(cuò)選D：圓錐的公式記憶錯(cuò)誤.10.如圖，不規(guī)則圖形ABCD中：AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB于E，當(dāng)l從左至右移動(dòng)（與線段AB有公共點(diǎn)）時(shí)，把四邊形ABCD分成兩部分，設(shè)AE=x，左側(cè)部分面積為y，則y關(guān)于x的大致圖象為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【分析】根據(jù)左側(cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最初面積增加的快，后來(lái)均勻增加，最后緩慢增加，問(wèn)題得以解決．【解答】解：因?yàn)樽髠?cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最初面積增加的快，后來(lái)均勻增加，最后緩慢增加，只有D選項(xiàng)適合，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列，，記，則當(dāng)__________時(shí)，取得最大值參考答案：412.若的展開(kāi)式中含項(xiàng)，則最小自然數(shù)是

.參考答案：7略13.（5分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），且P（X≤a2﹣1）=P（X＞a﹣3），則正數(shù)a=．參考答案：﹣3或2【考點(diǎn)】：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于x=1對(duì)稱，得到關(guān)于a的方程，解方程即可．解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），且P（X≤a2﹣1）=P（X＞a﹣3），∴a2﹣1+a﹣3=2，∴a=﹣3或2，故答案為：﹣3或2．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，本題主要考查曲線關(guān)于x=1對(duì)稱，考查關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．14.在三棱錐中，已知，則的取值范圍是

．參考答案：

15.已知在平面四邊形ABCD中，AB=，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，則四邊形ABCD面積的最大值為．參考答案：3+【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】設(shè)∠ABC=θ，θ∈（0，π），由余弦定理求出AC2，再求四邊形ABCD的面積表達(dá)式，利用三角恒等變換求出它的最大值．【解答】解：如圖所示，設(shè)∠ABC=θ，θ∈（0，π），則在△ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosθ=6﹣4cosθ；∴四邊形ABCD的面積為S=S△ABC+S△ACD=（AB?BC?sinθ+AC?CD），化簡(jiǎn)得S=（2sinθ+6﹣4cosθ）=3+（sinθ﹣2cosθ）=3+sin（θ﹣φ），其中tanφ=2，當(dāng)sin（θ﹣φ）=1時(shí)，S取得最大值為3+．故答案為：3+．16.計(jì)算=

；參考答案：e17.在△ABC中，若點(diǎn)E滿足，則λ1+λ2=．參考答案：1【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)求出λ1和λ2的值，求和即可．【解答】解：如圖示：，∵=3，∴==（﹣），∴=++=++（﹣）=+，故λ1+λ2=1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量的加法與減法法則，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在極坐標(biāo)系中，曲線C1方程為=2sin（θ+），曲線C2：方程為sin(θ+)=4.以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)閤軸正向建立直角坐標(biāo)系xOy.

（1）求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程

（2）設(shè)A.B分別是C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，求｜AB｜的最小值．

參考答案：解：（Ⅰ）曲線C1的極坐標(biāo)方程化為ρ＝sinθ＋cosθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，則曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝y(tǒng)＋x，即x2＋y2－x－y＝0．

曲線C2的極坐標(biāo)方程化為ρsinθ＋ρcosθ＝4，則曲線C2的的直角坐標(biāo)方程為y＋x＝4，即x＋y－8＝0．

（Ⅱ）將曲線C1的直角坐標(biāo)方程化為(x－)2＋(y－)2＝1，它表示以(，)為圓心，以1為半徑的圓．該圓圓心到曲線C2即直線x＋y－8＝0的距離d＝＝3，

所以|AB|的最小值為2．

19.(本小題滿分12分)已知向量,記函數(shù)(Ⅰ)求函數(shù)的最值以及取得最值時(shí)的集合;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.參考答案：(Ⅰ)…………2分.…………3分(1)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，，此時(shí)的集合是.…………5分(2)當(dāng)且僅當(dāng)，即，,此時(shí)的集合是.…………7分(Ⅱ)由，所以,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.…………9分由，所以∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.…………11分綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.…………12分20.某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD﹣EFGH材料切割成三棱錐H﹣ACF．（Ⅰ）若點(diǎn)M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點(diǎn)，點(diǎn)G是NK上的任意一點(diǎn)，求證：MG∥平面ACF；（Ⅱ）已知原長(zhǎng)方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．（i）甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH?sinθ求出三棱錐H﹣ACF的高．請(qǐng)你根據(jù)甲工程師的思路，求該三棱錐的高．（ii）乙工程師設(shè)計(jì)了一個(gè)求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序時(shí)乙工程師應(yīng)輸入的t的值是多少？（請(qǐng)直接寫出t的值，不要求寫出演算或推證的過(guò)程）．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；程序框圖；直線與平面平行的判定．參考答案：【分析】（Ⅰ）證法一：利用線面平行的判定證明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，從而可得平面MNK∥平面ACF，利用面面平行的性質(zhì)可得MG∥平面ACF；證法二：利用線面平行的判定證明MG∥平面ACF；（Ⅱ）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACF的一個(gè)法向量，求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH?sinθ求出三棱錐H﹣ACF的高（ii）t=2．【解答】（Ⅰ）證法一：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，∴MK∥AF，MN∥AC．∵M(jìn)K?平面ACF，AF?平面ACF，∴MK∥平面ACF，同理可證MN∥平面ACF，…∵M(jìn)N，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，∴平面MNK∥平面ACF，…又MG?平面MNK，故MG∥平面ACF．…證法二：連HG并延長(zhǎng)交FC于T，連接AT．∵HN=NC，HK=KF，∴KN∥FC，則HG=GT，又∵HM=MA，∴MG∥AT，…∵M(jìn)G?平面ACF，AT?平面ACF，∴MG∥平面ACF．…（Ⅱ）解：（i）如圖，分別以DA，DC，DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．則有A（3，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（3，2，1），H（0，0，1）．…，．設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量，則有，解得，令y=3，則，…∴，…∴三棱錐H﹣ACF的高為．…（ii）t=2．…21.（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知射線與曲線（為參數(shù)）,相交于兩點(diǎn).（1）寫出射線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)系方程；（2）求線段的中點(diǎn)極坐標(biāo).參考答案：22.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱