河南省洛陽市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

河南省洛陽市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知?jiǎng)ta，b，c的大小關(guān)系是（

）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.c＞b＞a參考答案：D【分析】對(duì)于看成冪函數(shù)，對(duì)于與的大小和1比較即可【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，由因?yàn)?，，，所以，所以選擇D【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)之間大小的比較，常用的方法：1、通?？闯芍笖?shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)比較。2、和0、1比較。2.如果平面圖形中的兩條線段平行且相等，那么在它的直觀圖中對(duì)應(yīng)的這兩條線段…………（▲）A．平行且相等

B．平行不相等C．相等不平行

D．既不平行也不相等參考答案：A略3.（15分）已知等差數(shù)列{an}滿足

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：4.以下命題中真命題的序號(hào)是（）①若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱；②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；④當(dāng)球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓．A.①④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④參考答案：A【分析】利用棱柱，棱錐和球的有關(guān)概念對(duì)命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】①若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱，只有平行于底面的平面截棱柱分成的兩部分一定是棱柱，正確.②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，故不正確；③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體不一定是棱錐，由三棱錐的定義可知：其余各面都是共有同一個(gè)頂點(diǎn)的三角形的多面體，故不正確；④當(dāng)球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓，正確．綜上可得：只有①④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱，棱錐的定義、球的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點(diǎn)P(a,b)的位置是（

）A、在圓上

B、在圓外

C、在圓內(nèi)

D、都有可能參考答案：B6.函數(shù)具有性質(zhì)（）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，最大值為B．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，最大值為1C．圖象關(guān)于直線對(duì)稱，最大值為D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱，最大值為1參考答案：A【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用；正弦函數(shù)的定義域和值域；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．【分析】化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過x=代入函數(shù)的表達(dá)式，函數(shù)是否取得最值，說明對(duì)稱軸以及最值，判斷C，D的正誤；函數(shù)值為0則說明中心對(duì)稱，判斷A，B的正誤．【解答】解：函數(shù)=﹣sinx+﹣=﹣cos（x+），x=時(shí)，函數(shù)=0．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，最大值為故選：A．7.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過點(diǎn)A（﹣3，0），且離心率e=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得a=3，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得a=3，e==，可得c=，b===2，則橢圓方程為+=1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)及離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，則cosB=（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的邊角關(guān)系確定∠B的范圍，進(jìn)而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根據(jù)正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B為銳角，∴，故選D．【點(diǎn)評(píng)】正弦定理可把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，進(jìn)一步可以利用三角函數(shù)的變換，注意利用三角形的邊角關(guān)系確定所求角的范圍．9.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2=1，則的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由的幾何意義，即圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（2，0）連線的斜率求解．【解答】解：如圖，設(shè)過P（2，0）的直線的斜率為k，則直線方程為y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，由坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）到直線kx﹣y﹣2k=0的距離等于1，得，解得：k=．∴的取值范圍是[]．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．10.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且分別是的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（）A.(－6,0)∪(6,+∞) B.(－∞,－6)∪(0,6)C.(－6,0)∪(0,6) D.(－∞,－6)∪(6,+∞)參考答案：B【分析】構(gòu)造函數(shù)，首先證得函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)題目所給條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，故，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增.根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可知函數(shù)在時(shí)遞增，且，，，畫出函數(shù)的大致圖像如下圖所示，由圖可知，不等式的解集為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查構(gòu)造函數(shù)法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查兩個(gè)函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)且與極軸所成的角為，則直線的極坐標(biāo)方程為

．參考答案：或或或略12.

若執(zhí)行如下圖所示的框圖，輸入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，則輸出的數(shù)等于________．參考答案：13.觀察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推測當(dāng)n≥3，n∈N*時(shí)，=()．參考答案：（﹣）×略14.已知（x,y）在映射f下的象是(x-y,x+y)，則(3,5)在f下的象是_________，原象是_____________參考答案：（-2，8），（4，1）略15.若不等式ax2+bx+2>0的解集為}，則a+b=________.參考答案：解：若不等式ax2+bx+2>0的解集為}，則與是方程ax2+bx+2>0的解，由韋達(dá)定理得，所以a=－12，b=－2，故a+b=－14.16.如圖，已知圓錐S0的母線SA的長度為2，一只螞蟻從點(diǎn)B繞著圓錐側(cè)面爬回點(diǎn)B的最短距離為2，則圓錐SO的底面半徑為．參考答案：【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題．【分析】把圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，則對(duì)應(yīng)的弧長是底面的周長，對(duì)應(yīng)的弦是最短距離，求出∠S=，可得=，即可得出結(jié)論．【解答】解：把圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，則對(duì)應(yīng)的弧長是底面的周長，對(duì)應(yīng)的弦是最短距離，即BB′的長是螞蟻爬行的最短路程，∵圓錐S0的母線SA的長度為2，一只螞蟻從點(diǎn)B繞著圓錐側(cè)面爬回點(diǎn)B的最短距離為2，∴∠S=，∴=，設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，則2πr=，∴r=．故答案為：．17.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，若，則實(shí)數(shù)k的值為__________.參考答案：.【分析】直接利用向量數(shù)量積公式化簡即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?-7.故答案為：-7【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求Sn．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（Ⅰ）由題意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，從而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，從而．【解答】解：（Ⅰ）依題意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，從而（Ⅱ）由已知可得故a1=4從而19.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（，），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=a，且點(diǎn)A在直線l上，（1）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QJ：直線的參數(shù)方程．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A在直線l上，將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入直線的極坐標(biāo)方程即可得出a值，再利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式求出直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）欲判斷直線l和圓C的位置關(guān)系，只需求圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較即可，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求出圓心到直線的距離然后與半徑比較．【解答】解：（1）點(diǎn)A（，）在直線l上，得cos（θ﹣）=a，∴a=，故直線l的方程可化為：ρsinθ+ρcosθ=2，得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣2=0；（2）消去參數(shù)α，得圓C的普通方程為（x﹣1）2+y2=1圓心C到直線l的距離d=＜1，所以直線l和⊙C相交．20.規(guī)定其中x∈R，m為正整數(shù)，且=1，這是排列數(shù)A(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣．

（1）求A的值；

（2）排列數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①A=nA，②A+mA=A(其中m，n是正整數(shù))．是否都能推廣到A(x∈R，m是正整數(shù))的情形?若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；

（3）確定函數(shù)A的單調(diào)區(qū)間．參考答案：21.(本小題滿分12分)某學(xué)校舉辦“有獎(jiǎng)答題”活動(dòng)，每位選手最多答10道題，每道題對(duì)應(yīng)1份獎(jiǎng)品，每份獎(jiǎng)品價(jià)值相同。若選手答對(duì)一道題，則得到該題對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品。答對(duì)一道題之后可選擇放棄答題或繼續(xù)答題，若選擇放棄答題，則得到前面答對(duì)題目所累積的獎(jiǎng)品；若選擇繼續(xù)答題，一旦答錯(cuò)，則前面答對(duì)題目所累積的獎(jiǎng)品將全部送給現(xiàn)場觀眾，結(jié)束答題。

假設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為，且各題之間答對(duì)與否互不影響。已知該選手已經(jīng)答對(duì)前6道題。（Ⅰ）如果該選手選擇繼續(xù)答題，并在最后4道題中，在每道題答對(duì)后都選擇繼續(xù)答題。

（ⅰ）求該選手第8題答錯(cuò)的概率；

（ⅱ）記該選手所獲得的獎(jiǎng)品份數(shù)為，寫出隨機(jī)變量的所有可能取值并求的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）如果你是該選手，你是選擇繼續(xù)答題還是放棄答題？若繼續(xù)答題你將答到第幾題？請(qǐng)用概率或統(tǒng)計(jì)的知識(shí)給出一個(gè)