北京北大青鳥昌平校區(qū)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

北京北大青鳥昌平校區(qū)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.如圖，偶函數(shù)f（x）的圖象如字母M，奇函數(shù)g（x）的圖象如字母N，若方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的實根個數(shù)分別為m、n，則m+n=（）A．12 B．18 C．16 D．14參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】若方程f（g（x））=0，則g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，進(jìn)而可得m值；不妨僅g（x）的三個零點分別為﹣a，0，a（0＜a＜1），若g（f（x））=0，則f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，進(jìn)而得到n值【解答】解：若方程f（g（x））=0，則g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，此時方程有9個解；不妨僅g（x）的三個零點分別為﹣a，0，a（0＜a＜1）若g（f（x））=0，則f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，此時方程有9個解；即m=n=9，∴m+n=18，故選：B．【點評】本題考查的知識點是數(shù)形結(jié)合思想，方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，難度中檔．3.設(shè)全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，則（?UA）∩B=（）A．{6} B．{5，8} C．{6，8} D．{3，5，6，8}參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．

【分析】根據(jù)補集和交集的意義直接求解即可．【解答】解：由于U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，∴CUA={3，5，8}，∵B={5，6，8}，∴（CUA）∩B={5，8}，故選B．【點評】本題考查集合的交集及補集運算，較簡單．4.已知雙曲線的右焦點F，直線與其漸近線交于A，B兩點，與軸交于D點，且△為鈍角三角形，則離心率取值范圍是（

）

A.（）

B.（1，）

C.（）

D.（1，）參考答案：D略5.已知P（x，y）（其中x≠0）為雙曲線﹣x2=1上任一點，過P點向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為A、B，則△PAB的面積為（）A． B．C． D．與點P的位置有關(guān)參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意，O，P，A，B四點共圓，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，求出|PA||PB|，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，O，P，A，B四點共圓，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，設(shè)P（x，y），雙曲線的漸近線方程為y=±2x，則|PA||PB|==，∴△PAB的面積為?=．故選C．6.已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于一點A，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2

B．

C.

D．參考答案：A7.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值等于(

)

A．91

B．55

C．54 D．30參考答案：B8.與直線l1：垂直于點P（2，1）的直線l2的方程為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D9.（多選題）已知的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（

）A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B.展開式中第6項的系數(shù)最大C.展開式中存在常數(shù)項D.展開式中含項的系數(shù)為45參考答案：BCD【分析】由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知,由展開式的各項系數(shù)之和為1024可得,則二項式為,易得該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同,利用二項式系數(shù)的對稱性判斷A,B；根據(jù)通項判斷C,D即可.【詳解】由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知,又展開式的各項系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時,,所以,所以二項式為,則二項式系數(shù)和為,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為,故A錯誤；由可知展開式共有11項,中間項的二項式系數(shù)最大,即第6項的二項式系數(shù)最大,因為與的系數(shù)均為1,則該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項的系數(shù)最大,故B正確；若展開式中存在常數(shù)項,由通項可得,解得,故C正確；由通項可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,故選:BCD【點睛】本題考查二項式的定理的應(yīng)用,考查系數(shù)最大值的項,考查求指定項系數(shù),考查運算能力.10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，且.若，則n的最大值為（

）A．51

B．52

C．53

D．54參考答案：A若n為偶數(shù)，則，，，所以這樣的偶數(shù)不存在若n為奇數(shù)，則Sn若，則當(dāng)時成立若，則當(dāng)不成立故選A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度為50秒，升旗手應(yīng)以________(米/秒)的速度勻速升旗．

參考答案：略12.設(shè)橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的短軸長為

．參考答案：略13.已知點A是拋物線C1：y2＝2px（p＞0）與雙曲線C2：的一條漸近線的交點，若點A到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為p，則雙曲線的離心率等于＿＿＿＿參考答案：14.定義一種運算，令，且，

則函數(shù)的最大值是______.參考答案：令，則

∴由運算定義可知，∴當(dāng)，即時，該函數(shù)取得最大值.由圖象變換可知，

所求函數(shù)的最大值與函數(shù)在區(qū)間上的最大值相同.15.已知不等式恒成立，則k的取值范圍是______.參考答案：【分析】設(shè)，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像不在直線的下方，求出的單調(diào)區(qū)間以及極值、最值，作出函數(shù)的圖像，用數(shù)形結(jié)合方法，即可求出的取值范圍；或分離出參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與新函數(shù)的最值的大小關(guān)系.【詳解】直線l:是斜率為且過點的直線，時單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.，當(dāng)所以時，不符合條件所以時，符合條件時，若，則所以只需再考慮的情況：法一：如圖示設(shè)時直線l與相切，則當(dāng)且僅當(dāng)時符合條件.設(shè)直線l與相切于點，則,,所以注遞增，且.法二：時：在上單調(diào)遞增，又時，【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值最值，考查等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題.16.已知點是△的外心，是三個單位向量，且2，，如圖所示，△的頂點分別在軸和軸的非負(fù)半軸上移動，是坐標(biāo)原點，則的最大值為

。參考答案：2略17.已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），則m﹣n的值為．參考答案：﹣3【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算，求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案為：﹣3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，首項為a1，且成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求證：．參考答案：考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由題意可得，令n=1可求a1，n≥2時，，，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，從而可得an；（Ⅱ）表示出bn，進(jìn)而可得，并拆項，利用裂項相消法可求和，由和可得結(jié)論；解答：解：（Ⅰ）∵成等差數(shù)列，∴，當(dāng)n=1時，，解得；當(dāng)n≥2時，，，兩式相減得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴，所以數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列，．（Ⅱ）bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）=×=（2n﹣1）（2n+1），，則==．點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查裂項相消法對數(shù)列求和，考查等比數(shù)列的通項公式，屬中檔題．19.（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且，的面積為，求與的值．參考答案：解:由三角形面積公式，得，故因為，所以①當(dāng)時，由余弦定理得，所以.②當(dāng)時，由余弦定理得，所以.20.已知函數(shù)f（x）=log（）滿足f（﹣2）=1，其中a為實常數(shù)．（1）求a的值，并判定函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）根據(jù)f（﹣2）=1，構(gòu)造方程，可得a的值，結(jié)合奇偶性的寶義，可判定函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，則t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=log（）滿足f（﹣2）=1，∴l(xiāng)og（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定義域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）關(guān)于原點對稱；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，則t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，設(shè)g（x）=log（）﹣（）x，則g（x）在[2，3]上是增函數(shù)．∴g（x）＞t對x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．21.（本題12分）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．(Ⅰ)求及；