河北省承德市藍(lán)旗中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河北省承德市藍(lán)旗中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=log3|x|的圖象大致形狀是（） A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解． 【解答】解：y=log3|x|=， 當(dāng)x＞0時(shí)，y=log3x的圖象為 當(dāng)x＜0時(shí)，y=log3（﹣x）的圖象為： ∴函數(shù)y=log3|x|的圖象大致形狀是 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 2.設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)取函數(shù)f(x)＝2－|x|.當(dāng)k＝時(shí)，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(1，＋∞)參考答案：C3.在等差數(shù)列{an}中，已知，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)之和等于（

）A.9 B.18 C.36 D.52參考答案：B【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，可得出，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出的值.【詳解】在等差數(shù)列中，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)、以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4.已知數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)在直線上，則=（

）A. B. C. D.參考答案：C試題分析：點(diǎn)在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，．故選D．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和．5.如果sinα+cosα>tanα+cotα，那么角α的終邊所在的象限是（

）（A）一或二

（B）二或三

（C）二或四

（D）一或四參考答案：C6.設(shè)，，，則A． B． C． D．參考答案：C7.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+，則f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由奇函數(shù)定義得，f（﹣1）=﹣f（1），根據(jù)x＞0的解析式，求出f（1），從而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，主要是奇函數(shù)的定義及運(yùn)用，解題時(shí)要注意自變量的范圍，正確應(yīng)用解析式求函數(shù)值，本題屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)偶函數(shù)，則解集為（

） A． B． C．

D．

參考答案：D略9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（

）A.6 B.7 C.10 D.12參考答案：C【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)前項(xiàng)和有最大值，得到，再由，得到，，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，所以，又，所以，，且，所以，，所以滿足的最大正整數(shù)的值為10【點(diǎn)睛】本題主要考查使等差數(shù)列前項(xiàng)和最大的整數(shù)，熟記等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.10.（5分）直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（） A． 相切 B． 相交但直線不過圓心 C． 直線過圓心 D． 相離參考答案：B考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系．專題： 計(jì)算題．分析： 求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案．解答： 由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心．所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心．故選B點(diǎn)評(píng)： 此題考查學(xué)生掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的方法是比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，面ABC,高為5，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為_______

參考答案：1312.設(shè)x為實(shí)數(shù)，[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如，.記，則{x}的取值范圍為[0,1)，現(xiàn)定義無窮數(shù)列{an}如下：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，若，則________.參考答案：【分析】根據(jù)已知條件，計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察得出無窮數(shù)列{an}呈周期性變化，即可求出的值。【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，……，無窮數(shù)列{an}周期性變化，周期為2，所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過取整函數(shù)得到數(shù)列，觀察數(shù)列的特征，求數(shù)列中的某項(xiàng)值。13.已知，則的大小關(guān)系（按從小到大排列）為______________．參考答案：略14.已知A，B分別是函數(shù)f（x）=2sinωx（ω＞0）在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，且∠AOB=，則該函數(shù)的最小正周期是．參考答案：【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由題意利用勾股定理可得[+22]++22]=+42，由此求得T的值，可得結(jié)論．【解答】解：A，B分別是函數(shù)f（x）=2sinωx（ω＞0）在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，且∠AOB=，由題意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，求得T=，故答案為：．15.已知三棱錐V-ABC四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，若球心到平面ABC距離為1，則該球體積為______________.參考答案：16.已知冪函數(shù)f（x）=（a2﹣a+1）?是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為__________．參考答案：1考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)．專題：轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：冪函數(shù)f（x）=（a2﹣a+1）?是偶函數(shù)，可得a2﹣a+1=1，是偶數(shù)．解出即可得出．解答：解：∵冪函數(shù)f（x）=（a2﹣a+1）?是偶函數(shù)，∴a2﹣a+1=1，是偶數(shù)．解得a=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題17.四位同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，分別給出下面四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；

②函數(shù)的值域?yàn)?－1,1)；③若則一定有；④若規(guī)定,，則對(duì)任意恒成立．

你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的有

參考答案：②③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分16分)已知函數(shù)(1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖像(2)若存在互不相等的實(shí)數(shù)a，b，使f(a)=f(b),求ab的值。參考答案：(1)圖像如圖所示

......6分(2)依題意，不妨設(shè)a<b,因?yàn)?，由圖像可知0<a<1,b>1,

所以-lga=lgb，可得lga+lgb=0，即lgab=0，故ab=0

......10分19.某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)S中（）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：（1）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（2）求該地上班族S的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．參考答案：(1)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間;(2)見解析.【分析】（1）由題意知求出f（x）＞40時(shí)x的取值范圍即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，再說明其實(shí)際意義．【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，∴時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；說明該地上班族中有小于的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞減的；有大于的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)為時(shí)，人均通勤時(shí)間最少．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與分析問題、解決問題的能力．20.(本小題滿分10分）已知全集，若，，求實(shí)數(shù)、的值。參考答案：21.如圖所示，某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=3

km，∠AOB=90°．當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON=30°．（1）若M在距離A點(diǎn)2km處，求點(diǎn)M，N之間的距離；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能?。嚧_定M的位置，使△OMN的面積最小，并求出最小面積．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）在△OAB，根據(jù)OA=3km，OB=3

km，∠AOB=90°，可以求出,在△OAM中,運(yùn)用余弦定理,求出,在△OAN中,可以求出,在△OMN中，運(yùn)用正弦定理求出;（2）解法1：在△OAM中，由余弦定理可以求出的表達(dá)式,的表達(dá)式,在△OAN中,可以求出的表達(dá)式,運(yùn)用正弦定理求出,運(yùn)用面積求出的表達(dá)式，運(yùn)用換元法、運(yùn)用基本不等式，求出的最小值；解法2：設(shè)∠AOM=θ，0＜θ＜,在△OAM中，由正弦定理得OM的表達(dá)式．在△OAN中，由正弦定理得ON的表達(dá)式．利用面積公式可得出，化簡(jiǎn)整理求最值即可＝【詳解】（1）在△OAB中，因?yàn)镺A=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cosA=7，所以O(shè)M=，所以cos∠AOM==，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．在△OMN中，由=，得MN=×=．（2）解法1：設(shè)AM=x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cosA=x2-3x+9，所以O(shè)M=，所以=，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．由=，得．所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=???=，（0＜x＜3）．令6-x=t，則x=6-t，3＜t＜6，則S△OMN==（t-9+）≥?（2-9）=．當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=3，x=6-3時(shí)等號(hào)成立，S△OMN的最小值為．所以M的位置為距離A點(diǎn)6-3

km處，可使△OMN的面積最小，最小面積是

km2．解法2：設(shè)∠AOM=θ，0＜θ＜在△OAM中，由=，得OM=．在△OAN中，由=，得ON==．所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=???=====，（0＜θ＜）．當(dāng)2θ+=，即θ=時(shí)，S△OMN的最小值為．所以應(yīng)設(shè)計(jì)∠AOM=，可使△OMN的面積最小，最小面積是

km2．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．22.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．參考答案：(1)(2)或試題分析：（1）由題可知，根據(jù)圓心在直線上，可將圓心設(shè)為，圓心與點(diǎn)A的距離為半徑，并且圓心到切線的