均值不等式的說課

均值不等式樂陵一中耿欣說教材01說學(xué)生02說教法學(xué)法03說教學(xué)過程04過程說教材011、教材的地位與作用2、教學(xué)目標(biāo)3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教材的地位與作用：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中教科書人教B版必修一第二章第二節(jié)第四課內(nèi)容，教參設(shè)計(jì)兩課時(shí)，本節(jié)為第一課，主要講均值不等式的推導(dǎo)及簡單的應(yīng)用。均值不等式是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位，對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實(shí)際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對后面不等式的證明及函數(shù)的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡單的問題。2、過程與方法：（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會(huì)均值不等式的證明方法；（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；(3)認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：理解并掌握均值不等式的推導(dǎo)以及應(yīng)用。難點(diǎn)：掌握均值不等式成立的條件。說學(xué)生02

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，對于比較大小的方法已經(jīng)有了一定的了解。盡管學(xué)生尚不知道均值不等式的內(nèi)容，但學(xué)生已對不等式的證明與應(yīng)用有一定的認(rèn)識。在研究不等式的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生懂得了由形象到具體，然后再由具體到一般的科學(xué)處理方法，具備一定數(shù)學(xué)研究方法的感性認(rèn)識。高一學(xué)生具備一定的觀察能力，但觀察的深刻性及穩(wěn)定性也都還有待于提高。高一學(xué)生的學(xué)習(xí)心理具備一定的穩(wěn)定性，有明確的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，能自覺配合教師完成教學(xué)內(nèi)容。2、說學(xué)生說教法與學(xué)法03教學(xué)方法：

為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。突出重點(diǎn)的方法：我將通過引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來突出均值不等式的推導(dǎo)；通過多媒體展示、精講點(diǎn)撥來突出均值不等式及其成立的條件。突破難點(diǎn)的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件）、辨析法（借助多媒體判斷對錯(cuò)）、有效訓(xùn)練來突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。學(xué)習(xí)方法：在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀三個(gè)方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)；2、分組討論----合作探究、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭相回答；4、自主探究----學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高；說教學(xué)過程04情境導(dǎo)入、引入新課此圖是公元前1000多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經(jīng)》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》，它比歐洲畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。設(shè)計(jì)意圖：由圖引入，勾起學(xué)生強(qiáng)烈的民族自豪感和強(qiáng)烈的求知欲。你能從這幅圖中找出一些相等或不等關(guān)系嗎？情景與問題：問題給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值，實(shí)質(zhì)上是這兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值之間有什么相對大小關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：開門見山地給出算術(shù)平均值和幾何平均值的概念，為學(xué)生自己得出均值不等式及其幾何意義做好準(zhǔn)備?！緡L試與發(fā)現(xiàn)】（10分鐘）（1）假設(shè)一個(gè)矩形的長和寬分別為a和b，求與這個(gè)矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個(gè)矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個(gè)邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．a(chǎn)12b14131設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從熟悉的矩形和正方形入手發(fā)現(xiàn)算術(shù)平均值和幾何平均值的幾何意義，再通過自己的比較，猜想兩個(gè)數(shù)值的大小關(guān)系。新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．設(shè)計(jì)意圖：由表格可以得出大小關(guān)系，但此關(guān)系是否具有普遍性？課本采用的證明方法是做差法，證明過程不難，讓學(xué)生自己證明，這樣既能較好地復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)和證明方法，又能幫助他們準(zhǔn)確地理解定理中等號成立的條件。深入探究問題：均值不等式的實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得≥ab．如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個(gè)幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點(diǎn)，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個(gè)幾何意義？探索與研究ABDOC在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用三角形相似可得CD＝

，又CO＝，由圖可知CO≥CD，所以

，變形為a＋b≥2

．結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個(gè)圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．典例分析、合作探究（10分鐘）例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并說明x為何值時(shí)y取得最小值．（2）已知并推導(dǎo)出等號成立的條件（3）求的最小值，以及取到最小值時(shí)x的值。設(shè)計(jì)意圖：（1）整體替換a,b,再應(yīng)用均值不等式。（2）在利用均值不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”：（3）兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值．（4）利用均值不等式求最值時(shí)，等號必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．例2（1）已知矩形的面積為100，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？方法總結(jié)：求實(shí)際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；（2）把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解．（4）正確地寫出答案，回歸實(shí)際問題．歸納小結(jié)回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）什么叫均值不等式？如何證明？（2）均值不等式的幾何意義是什么？（3）如何利用均值不等式求最值？拓展遷移，能力提高1、已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋

的最小值，并求y取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；2、已知x＜0，求y＝x＋

的最大值，并求y取得最大值時(shí)相應(yīng)x的值；3、已知設(shè)計(jì)意圖：通過課堂檢測，深入理解均值不等式的內(nèi)容，重點(diǎn)注意“一正二定三相等”的條件。課后作業(yè)：必做題：課本76頁練習(xí)A---1、2、

選做題：77頁習(xí)題A---8必做題比較基礎(chǔ)，就是例1的變式，學(xué)生必須完成。選做題需要先進(jìn)行一步化簡，構(gòu)造均值不等式的形式才可以用，這一步對一些同學(xué)來說較難，可以選做，將在習(xí)題課中帶領(lǐng)學(xué)生共同完成。教學(xué)反思：均值不等式的幾何意義和推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn)，從學(xué)生熟悉的矩形和同周長的正方形入手，得出不等式，再由學(xué)生自己動(dòng)手證明，加深印象，隨后又用圓的直徑和弦長