2023學年完整公開課版階段復習課

階段復習課第一課排列、組合與二項式定理核心整合·思維導圖考點突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一邏輯推理角度1數(shù)學思想方法在求解計數(shù)問題中的應用【典例1】(1)設(shè)集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={a1,a2,a3}是S的子集,且a1,a2,a3滿足a1<a2<a3,a3-a2≤6,那么滿足條件的集合A的個數(shù)為 (

)

A.78 B.76 C.83 D.84(2)車間有11名工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工,現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工,4名車工修理一臺機床,則有多少種選派方法?【解析】(1)選C.若從正面考慮,當a3=9時,a2可以取8,7,6,5,4,3,共6類;當a3=8時,a2可以取7,6,5,4,3,2,共6類;…分類較多,而其對立面a3-a2>6包含的情況較少,當a3=9時,a2取2,a1取1,只有這一種情況,利用正難則反思想解決.集合S含有三個對象的子集的個數(shù)為=84.在這些含有三個對象的子集中能滿足a1<a2<a3且a3-a2>6的集合只有{1,2,9},故滿足題意的集合A的個數(shù)為84-1=83.(2)方法一:設(shè)A,B代表2位老師傅.A,B都不在內(nèi)的選派方法有=5(種),A,B都在內(nèi)且當鉗工的選派方法有=10(種),A,B都在內(nèi)且當車工的選派方法有=30(種),A,B都在內(nèi)且一人當鉗工,一人當車工的選派方法有=80(種),A,B有一人在內(nèi)且當鉗工的選派方法有=20(種),A,B有一人在內(nèi)且當車工的選派方法有=40(種),所以共有=185(種).方法二:5名男鉗工有4名被選上的方法有=75(種),5名男鉗工有3名被選上的方法有=100(種),5名男鉗工有2名被選上的方法有=10(種),所以共有75+100+10=185(種).方法三:4名女車工都被選上的方法有=35(種),4名女車工有3名被選上的方法有=120(種),4名女車工有2名被選上的方法有=30(種),所以共有35+120+30=185(種).【類題·通】數(shù)學思想方法在求解計數(shù)問題中的問題及解法1.對于正面處理較復雜或不易求解的問題,常常從問題的對立面去思考.2.解含有約束條件的排列、組合問題,應按對象的性質(zhì)進行分類,分類時需要滿足兩個條件:①類與類之間要互斥(保證不重復);②總數(shù)要完備(保證不遺漏).【加練·固】1.現(xiàn)有6個人排成一排照相,由于甲乙性格不合,所以要求甲乙不相鄰,丙最高,要求丙站在最中間的兩個位置中的一個位置上,則不同的站法有________種. (

)

A.84

B.90

C.168

D.180【解題指南】分兩類情況討論:若甲乙在丙的兩側(cè):首先丙從中間兩個位置任意挑一個,有種站法,然后甲從丙的一側(cè),隨機挑一個位置,同時乙從甲的另一側(cè)挑一個位置,有種站法,最后剩下的三人,隨機排列即可,有種站法;若甲乙在丙的同側(cè):首先丙從中間兩個位置任意挑一個,有種站法,然后甲、乙不相鄰,只有種站法,最后剩余三人,隨機排列即可,有種站法.【解析】選C.已知丙在中間兩個位置上選一個,若甲、乙在丙的兩邊,則有站法:

=144種,若甲、乙在丙的同側(cè),且不相鄰,則有站法:=24種,則不同站法有144+24=168種.2.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一顏色,且綠色卡片至多1張,不同的取法種數(shù)為 (

)A.484

B.472

C.252

D.232【解析】選B.設(shè)(x,y,z)表示取x張紅色卡片、y張黃色卡片、z張藍色卡片.若從正面考慮,需考慮當不取綠色卡片時,有(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(0,2,1),(1,0,2),(0,1,2),(1,1,1)共7類,當取1張綠色卡片時,有(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),共6類,分類較多,而其對立面為3張卡片同一顏色或2張綠色卡片,第三張從非綠色卡片中任取,其包含的情況較少,因此用正難則反思想求解.根據(jù)題意,共有種取法,其中每一種卡片各取3張,有4種取法,取2張綠色卡片有種取法,故所求的取法共有=472(種).角度2排列與組合的綜合應用【典例2】(1)在0,1,2,3,…,9這十個自然數(shù)中,任取三個不同的數(shù)字.則組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有________個.

(2)在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節(jié)目,4個舞蹈節(jié)目.①當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時,有多少種不同的節(jié)目安排順序?②當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時,有多少種不同的節(jié)目安排順序?③若已定好節(jié)目單,后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目,但不能改變原來節(jié)目的相對順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序?【解析】(1)若組成的三位數(shù)能被3整除,則先把0,1,2,3,…,9,這十個自然數(shù)中分為三組:(0369);(147);(258).若每組中各取一個數(shù),含0,共有=36種;若每組中各取一個數(shù)不含0,共有=162種;若從每組中各取三個數(shù),共有3=30種.綜上組成的三位數(shù)能被3整除,共有36+162+30=228種.答案:228(2)①第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來,看成1個節(jié)目,與6個演唱節(jié)目一起排,有=5040(種)方法;第二步再松綁,給4個節(jié)目排序,有=24(種)方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有5040×24=120960(種)安排順序.②第一步將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”),一共有=720(種)方法.×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即□中“×”的位置)這樣相當于7個“×”選4個來排,一共有=840(種)方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有720×840=604800(種)安排順序.③若所有節(jié)目沒有順序要求,全部排列,則有種排法,但原來的節(jié)目已定好順序,需要消除,所以節(jié)目演出的方式有=132(種)排列.【類題·通】在解決一個實際問題的過程中,常常遇到排列、組合的綜合性問題,而解決問題的第一步是審題,只有認真審題,才能把握問題的實質(zhì),分清是排列問題、組合問題,還是綜合問題,分清分類與分步的標準和方式,并且要遵循兩個原則:一是按對象的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過程進行分步.解決排列組合應用題的常用問題及方法:(1)相鄰問題捆綁法;(2)不相鄰問題插空法;(3)等可能問題對等法;(4)定序問題倍縮法;(5)定位問題優(yōu)先法;(6)選排問題先選后排法;(7)有序分配問題分步法;(8)多元問題分類法;(9)交叉問題集合法;(10)正難則反剩余法;(11)復雜問題轉(zhuǎn)化法;(12)知多知少問題排除法.【加練·固】已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品,現(xiàn)對它們進行一一測試,直至找出4件次品為止.(1)若恰在第5次測試,才測試到第一件次品,第十次才找到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?(2)若恰在第5次測試后,就找出了所有4件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?【解析】(1)先排前4次測試,只能取正品,有種不同測試方法,再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試,有種測法,再排余下4件的測試位置有種測法.所以共有不同測法=103680種.(2)第5次測試恰為最后一件次品,另3件在前4次中出現(xiàn),從而前4次有一件正品出現(xiàn).所以共有不同測試方法=576種.素養(yǎng)二數(shù)學運算角度1兩個二項式積的問題【典例3】(1)的展開式中x2的系數(shù)是 (

)A.-5 B.10 C.-15 D.25(2)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=________.

【解析】(1)選A.,的通項公式為其中r=0,1,2,3,(1-x)5的通項公式為,其中r=0,1,2,3,4,5,所以展開式中x2的系數(shù)是=10-15=-5.(2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5.所以x2的系數(shù)為則10+5a=5,解得a=-1.答案:-1【延伸探究】在本題(1)中,求的展開式中所有項系數(shù)和.【解析】令x=1,可知的展開式中所有項系數(shù)和為1.【類題·通】兩個二項式乘積的展開式中特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點.(2)找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分.(3)分別求解再相乘,求和即得.【加練·固】已知(1+x+x2)的展開式中沒有常數(shù)項,n∈N*,且2≤n≤8,則n= (

)A.2

B.3

C.4

D.5【解題指南】先將問題轉(zhuǎn)化成二項式的展開式中沒有常數(shù)項,利用二項展開式的通項公式求出第r+1項,令x的指數(shù)為0得常數(shù)項.轉(zhuǎn)化成方程無解.【解析】選D.依題(1+x+x2)(x+)n對n∈N*,2≤n≤8中,展開式中沒有常數(shù)項,所以不含常數(shù)項,不含x-1項,不含x-2項,展開式的通項為Tr+1=xn-rx-3r=xn-4r,據(jù)題意知n-4r=0,n-4r=-1,n-4r=-2,當n∈N*,2≤n≤8時無解,通過檢驗得n=5.角度2三項展開式問題【典例4】(1)在的展開式中常數(shù)項為 (

)A.28 B.-28 C.-56 D.56(2)求(x2+3x-4)4的展開式中x的一次項的系數(shù).【解析】(1)選A.因為x3-2x+故又(x2-1)8的展開式中x4的系數(shù)為=28.(2).方法一：(x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=(x2+3x)4-(x2+3x)3·4+(x2+3x)2·42-(x2+3x)·43+·44，顯然，上式中只有第四項中含x的一次項，所以展開式中含x的一次項的系數(shù)是-·3·43=-768.方法二：(x2+3x-4)4=[(x-1)(x+4)]4=(x-1)4·(x+4)4=(x4-x3+x2-x+)(x4+x3·4+x2·42+x·43+·44)，所以展開式中含x的一次項的系數(shù)是-44+43=-768.【類題·通】三項展開式的指定項的系數(shù),可以利用二項式定理的推導方法求出指定項的系數(shù),也可以把三項代數(shù)式變形為二項代數(shù)式,再利用二項式定理求出指定項的系數(shù).【加練·固】的展開式中x的一次項系數(shù)為________.

【解析】的展開式為:展開式中通項為·xr,即·35-rx3r-10,不存在x的一次項,

·2展開式中通項為10·34-rx3r-8,令3r-8=1,解得r=3,此時x的一次項系數(shù)為120,同理

·22中不含x的一次項,在·23中不含x的一次項,在·24中,x的一次項系數(shù)為80.綜上,的展開式中x的一次項系數(shù)為120+80=200.答案:200角度3整除和余數(shù)問題【典例5】(1)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512015+a能被13整除,則a=________.

(2)的展開式中的常數(shù)項等于的展開式中的二項式系數(shù)和.①求的展開式的各項系數(shù)和;②求55n除以8的余數(shù).【解析】(1)因為512015+a=(52-1)2015+a=522015-522014+522013-…+521-1+a,能被13整除,0≤a<13.故-1+a能被13整除,故a=1.答案:1(2)的展開式中的通項公式為Tr+1=所以當r=2時取得常數(shù)項,常數(shù)項T3=43=27,因為的展開式中的二項式系數(shù)和為2n,所以2n=27,即n=7.①令a=1,可得展開式的各項系數(shù)和為27=128.②557=(56-1)7=所以其除以8的余數(shù)為7.答案:①128

②余數(shù)為7【類題·通】

(1)利用二項式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再利用二項式定理展開,只考慮后面(或前面)一、二項就可以了.(2)解決求余數(shù)問題,必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式.【加練·固】

230+3除以7的余數(shù)是________.

【解析】230+3=,對于,其展開式的通項為·7r,當r=0時,不能被7整除,此時項為·70=1,故余數(shù)為1+3=4.答案:4角度4綜合應用【典例6】1.(2020·昆明高二檢測)若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,則a= (

)A.0 B.1 C.2 D.32.487被7除的余數(shù)為a(0≤a<7),則的展開式中x-3的系數(shù)為(

)A.4320 B.-4320 C.20 D.-20【解析】1.選B.1717+a=(18-1)17+a=1817-·1816+·1815-·1814+…+·18-+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,則-+a=0,則a=1.2.選B.因為487=(49-1)7=·497-·496+