浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2022學(xué)年第二學(xué)期溫州十校聯(lián)合體期末聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，求得，，結(jié)合集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，集合，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，且滿足，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，結(jié)合已知可得a，然后可解.【詳解】，因為復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，所以，即，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第二象限.故選：B3.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱關(guān)系，結(jié)合的符號，進(jìn)行排除即可．【詳解】解：，則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，C，，排除B，故選D．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性以及函數(shù)值的符號是否對應(yīng)，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵．4.的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中常數(shù)項為（）A. B. C.20 D.40【答案】A【解析】【分析】由題意，賦值法求出a的值，再由二項式通項公式求解.【詳解】由題意，的展開式中各項系數(shù)的和為，令x=1，得a=1，故原式，的通項，由，得，對應(yīng)的常數(shù)項為，由，得，對應(yīng)的常數(shù)項為，故所求的常數(shù)項為，選項A正確.故選：A5.馮老師教高二4班和5班兩個班的數(shù)學(xué)，這兩個班的人數(shù)相等.某次聯(lián)考中，這兩個班的數(shù)學(xué)成績均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)的圖像如圖所示，其中是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且，，.關(guān)于這次數(shù)學(xué)考試成績，下列結(jié)論正確的是（）A.4班的平均分比5班的平均分高B.相對于5班，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散C.4班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55%D.5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等【答案】D【解析】【分析】分別求得4班的平均分和5班的平均分判斷選項A；觀察兩個班圖象的胖瘦進(jìn)而判斷選項B；求得4班108分以上的人數(shù)占比判斷選項C；求得5班112分以上的人數(shù)并與4班108分以上的人數(shù)進(jìn)行比較判斷選項D.【詳解】選項A：4班的平均分98分，5班的平均100分，則4班的平均分比5班的平均分低.判斷錯誤；選項B：5班的圖象比4班的圖象更“矮胖”，則相對于4班，5班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散.判斷錯誤；選項C：4班的最大值為，則則.判斷錯誤；選項D：5班的最大值為，則則，又4班和5班兩個班的人數(shù)相等，則5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等故選：D6.冬季兩項是冬奧會的項目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點的競賽項目結(jié)合在一起進(jìn)行的運(yùn)動，其中冬季兩項男子個人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射擊一輪，共射擊4輪，每輪射擊5次，若每有1發(fā)子彈沒命中，則被罰時1分鐘，總用時最少者獲勝.已知某男選手在一次比賽中共被罰時3分鐘，假設(shè)其射擊時每發(fā)子彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨立，記事件為其在前兩輪射擊中沒有被罰時，事件為其在第4輪射擊中被罰時2分鐘，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】事件B為前3輪中有一輪中有1發(fā)未中，第4輪射擊中有2發(fā)未中，事件AB是第3輪有1發(fā)未中，第4輪有2發(fā)未中，然后利用利用條件概率求解.【詳解】由題意得，，所以C正確.故選：C7.我們知道：的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：的圖象關(guān)于成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù).若的對稱中心為，則（）A.8088 B.4044 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意先求出的值，再利用中心對稱的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因為的對稱中心為，所以為奇函數(shù)，，所以，所以，解得，所以的對稱中心為，所以，所以，，，，……，，所以，故選：C8.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由單調(diào)性比較大小可得.【詳解】記函數(shù)，因為，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即.記函數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.故選：D二.選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知數(shù)列前項和為，且，，則下列命題正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用可直接求出判斷A；再得出與的關(guān)系式，判斷出數(shù)列的特征，即可判斷B；再求出前項和即可判斷C；根據(jù)即可判斷D.【詳解】因為，，所以，，A正確；兩式相減可得，，則，時，不符合，所以從第項起，是公比為的等比數(shù)列，所以，B錯誤；則，C正確；則，D錯.故選：AC10.已知圓，點，點在圓上，為原點，則下列命題正確的是（）A.在圓上 B.線段長度的最大值為C.當(dāng)直線與圓相切時， D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點代入圓判斷A選項，再由圓外一點到圓上一點的距離范圍判斷B選項，根據(jù)切線長與半徑及點與圓心距離的勾股定理判斷選C項，設(shè)動點，再求向量，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合條件化簡即可判斷D選項.【詳解】代入圓的方程,,不在圓上,A選項錯誤；;線段長度的最大值為,B選項正確；;當(dāng)直線與圓相切時，,C選項正確；;設(shè)動點,點P軌跡是圓心為，半徑為的圓，，又，因為，所以,且，則的最大值為，所以D選項正確；故選：BCD.11.已知，，為實數(shù)，則滿足函數(shù)有且僅有一個零點條件是（）A.， B.， C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】分別對四個選項中的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出三次函數(shù)的單調(diào)性、極值，得到三次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得答案.【詳解】對于A，因為，，所以，，所以在上為增函數(shù)，則函數(shù)有且僅有一個零點，故A正確；對于B，因為，，所以，，所以在上為增函數(shù)，則函數(shù)有且僅有一個零點，故B正確；對于C，因為，，所以，，令，得或；令，得，所以在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以的極大值為，極小值，所以函數(shù)有且僅有三個零點，故C不正確；對于D，因為，，所以，，令，得或；令，得，所以在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以的極大值為，極小值，所以函數(shù)有且僅有一個零點，故D正確；故選：ABD12.已知三棱錐，，其余棱長均為，則下列命題正確的是（）A.該幾何體外接球的表面積為B.直線和所成的角的余弦值是C.若點在線段上，則最小值為3D.到平面的距離是【答案】ACD【解析】【分析】三棱錐放入長方體中，三棱錐與長方體有相同的外接球，長方體的對角線長為外接球的直徑，求出對角線再求外接球的表面積可判斷A；連接，交與點，因為，所以為或其補(bǔ)角為直線和所成的角，在中，由余弦定理可判斷B；以為軸旋轉(zhuǎn)至平面使得與在同一個平面內(nèi)，可得四邊形為平行四邊形，連接交于，即為中點時最小，由余弦定理求出的最小值可怕的C；長方體的體積減去的體積可得，利用三角形面積公式計算，利用體積相等求出到平面的距離可怕的D.【詳解】對于A，如圖，三棱錐放入長方體中，三棱錐各棱長為其面的對角線，由題意可得，解得，所以長方體的對角線長為，因為三棱錐與長方體有相同的外接球，長方體的對角線長為外接球的直徑，所以外接球的表面積為，故A正確；對于B，如圖，連接，交與點，因為，所以為或其補(bǔ)角為直線和所成的角，因為，，，在中，由余弦定理可得，故B錯誤；對于C，以為軸旋轉(zhuǎn)至平面使得與在同一個平面內(nèi)，因為，所以四邊形為平行四邊形，連接交于，即為中點時最小，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以的最小值為，故C正確；對于D，由A選項可知，長方體的體積為，，所以，由C選項可得，所以，所以到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.非選擇題部分三.填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知平面向量，，，，，則的值是______.【答案】【解析】【分析】先利用向量垂直數(shù)量積為0求出的值，再根據(jù)向量的平方等于模長的平方即可求解.【詳解】，因為，所以，解得，又因為，所以，故答案為：14.如圖所示，為平面四邊形的對角線，設(shè)，，為等邊三角形，則四邊形的面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得,設(shè)，得到，由余弦定理求得，得到，化簡四邊形的面積為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】在中，因為，，可得,設(shè)，可得，又由余弦定理得，因為為等邊三角形，所以，所以四邊形的面積為，當(dāng)時，即時，四邊形的面積取得最大值.故答案為：.15.已知橢圓的左頂點為，上頂點為，為坐標(biāo)原點，橢圓上的兩點，分別在第一，第二象限內(nèi)，若與的面積相等，且，則橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】由三角形面積相等得到，結(jié)合，得到，從而求出離心率.【詳解】由題意得，故，又，將代入可得，即，又，故，離心率.故答案為：16.函數(shù)為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前2023項和為______.【答案】4962【解析】【分析】由已知等式可得，則為常數(shù)列，從而可得，然后由取整函數(shù)分類可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以，記的前項和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故答案為：4962四.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖所示，在棱長為1的正方體中為線段的中點.（1）求證：平面平面；（2）求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證結(jié)論；（2）建立坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量，利用點到平面的距離公式可求答案.【小問1詳解】因為是正方體，所以平面，所以.又，，所以平面，平面，所以平面平面.【小問2詳解】在正方體中，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，.由令，則，，即.設(shè)到平面的距離為，則，即點到平面的距離為.18.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，數(shù)列的前項和為，求使得成立的最小正整數(shù).【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求出，然后可得通項公式；（2）利用裂項相消法求和，然后解不等式可得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題知，，解得，所以.【小問2詳解】因為，所以，由得，解得，由且，得最小正整數(shù)為419.中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，且（1）若，，求內(nèi)切圓的半徑長；（2）已知，，求面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理和面積公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式、二倍角余弦公式以及三角形的面積公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以，由得，由，解得，∴，設(shè)內(nèi)切圓的半徑長為，則，所以.【小問2詳解】由及已知條件得：，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即，由得為銳角，∴，，，，∴，.20.三門是“中國青蟹之鄉(xiāng)”，氣候溫暖、港灣平靜、水質(zhì)優(yōu)良，以優(yōu)越的自然環(huán)境成為我國優(yōu)質(zhì)青蟹的最佳產(chǎn)區(qū).所產(chǎn)的三門青蟹具有“金爪、緋鉗、青背、黃肚”的特征，以“殼薄、皆黃、肉嫩、味美”而著稱，素有“三門青蟹、橫行世界”之美譽(yù)；且營養(yǎng)豐富，內(nèi)含人體所需的18種氨基酸和蛋白質(zhì)、脂肪、鈣、磷、鐵等營養(yǎng)成分，被譽(yù)為“海中黃金，蟹中臻品”.養(yǎng)殖戶一般把重量超過350克的青蟹標(biāo)記為類青蟹（1）現(xiàn)有一個小型養(yǎng)蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中類青蟹有7只，若從池中抓了2只青蟹，用表示其中類青蟹只數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望；（2）另有一個養(yǎng)蟹池，為估計蟹池中的青蟹數(shù)目，小王先從中抓了50只青蟹，做好記號后放回池中，過了一段時間后，再從中抓了20只青蟹，發(fā)現(xiàn)有記號的有只，若，試給出蟹池中青蟹數(shù)目的估計值（以使取得最大值的為估計值）.【答案】（1）分布列見解析，（2）或200【解析】【分析】（1）的取值為0，1，2，由古典概型概率公式求出對應(yīng)概率，從而可得分布列，進(jìn)而可求的數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)，判斷增減性，可得時，，時，，進(jìn)而可得答案.【小問1詳解】由題意的取值為0，1，2，，分布列為012【小問2詳解】設(shè)，所以時，時，，時，所以當(dāng)或200時，最大，估計蟹池中青蟹數(shù)目為199或200只21.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，總有，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，代入得出斜率和，