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4.5增長(zhǎng)速度的比較4.6函數(shù)的應(yīng)用(二)第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,并能夠運(yùn)用它們的性質(zhì),解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.知道直線(xiàn)上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的差異.3.了解和體會(huì)函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.重點(diǎn):結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線(xiàn)上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的意義,理解它們?cè)鲩L(zhǎng)的差異性;會(huì)運(yùn)用函數(shù)模型解決問(wèn)題.難點(diǎn):會(huì)利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像對(duì)比研究函數(shù)的增長(zhǎng)快慢.知識(shí)梳理1.如何比較函數(shù)值變化的快慢?平均變化率實(shí)質(zhì)上是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,這也可以理解為:自變量每增加一個(gè)單位,函數(shù)值將增加若干個(gè)單位.因此可用平均變化率來(lái)比較函數(shù)值變化的快慢.2.常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快,即增長(zhǎng)速度急劇增長(zhǎng),形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢,即增長(zhǎng)速度平緩.(3)冪函數(shù)模型冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度和對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度之間.特別地,一次函數(shù)的增長(zhǎng)為線(xiàn)性增長(zhǎng)(或直線(xiàn)增長(zhǎng)).3.比較冪值大小的三種方法(1)若指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮使用冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較.(2)若指數(shù)不同,底數(shù)相同,則考慮使用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較.(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同,則考慮引入中間數(shù),使這個(gè)數(shù)的底數(shù)與一個(gè)所比較數(shù)的底數(shù)相同,指數(shù)與另一個(gè)所比較數(shù)的指數(shù)相同,那么這個(gè)數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間,進(jìn)而比較大小.4.?指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用(1)指數(shù)型函數(shù)模型y=max+b(a>0且a≠1,m≠0),在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等問(wèn)題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來(lái)表示.(2)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0且a≠1),對(duì)數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式,然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.(3)指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路:①依題意,找出或建立數(shù)學(xué)模型;②依實(shí)際情況確定解析式中的參數(shù);③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題;④得出結(jié)論.5.建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟題型一增長(zhǎng)速度的比較??碱}型【歸納總結(jié)】(1)大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題不能事先知道其函數(shù)模型,要通過(guò)科學(xué)觀(guān)察和測(cè)試得出一些數(shù)據(jù),繪出各點(diǎn)得到散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀,通過(guò)函數(shù)擬合的方法確定函數(shù)模型.(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟①以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn);②依據(jù)點(diǎn)的整體特征,猜測(cè)這些點(diǎn)所滿(mǎn)足的函數(shù)模型,并設(shè)出其一般形式;③取特殊數(shù)據(jù)代入,求出函數(shù)的具體解析式;④檢驗(yàn)所得函數(shù)是否符合實(shí)際.【歸納總結(jié)】①比較冪值的大小常用圖象法、特值法和中間值法。②直線(xiàn)上升反映了一次函數(shù)(一次項(xiàng)系數(shù)大于0)的增長(zhǎng)趨勢(shì),其增長(zhǎng)速度不變(恒為常數(shù));指數(shù)爆炸反映了指數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)的增長(zhǎng)趨勢(shì),其增長(zhǎng)速度急?。ㄔ絹?lái)越快);對(duì)數(shù)增長(zhǎng)反映了對(duì)數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)的增長(zhǎng)趨勢(shì),其增長(zhǎng)速度平緩(越來(lái)越慢).解題時(shí),注意根據(jù)各函數(shù)的增長(zhǎng)類(lèi)型選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際的變化規(guī)律.題型三利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例3
[2019·海南??诟咭黄谀菽彻?018年投入的科研資金為100萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研資金比上一年增長(zhǎng)20%,則該公司投入的科研資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是 ()A.2021年 B.2022年 C.2023年 D.2024年【規(guī)律方法】函數(shù)模型的選擇與數(shù)據(jù)的擬合是數(shù)學(xué)建模中最核心的內(nèi)容,解題的關(guān)鍵在于通過(guò)已知條件得出函數(shù)解析式,或者對(duì)已知數(shù)據(jù)的分析,得出重要信息,進(jìn)而從已有的各類(lèi)型函數(shù)中選擇模擬,進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合.題型四、利用對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【歸納總結(jié)】解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的四個(gè)步驟(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇函數(shù)模型;(2)建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的函數(shù)模型;(3)解模:求解函數(shù)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題.以上過(guò)程用框圖表示如下.例5.[2019·河北武邑中學(xué)高三調(diào)研]某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比(如圖4?5?3),B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖4?5?3).(注:利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元)
圖4?5?3圖4?5?4(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)f(x),g(x)表示為投資額x的函數(shù).(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬(wàn)元資金,并打算全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí),生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?題型五利用冪函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
小結(jié)1.直線(xiàn)上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型,其增長(zhǎng)的速度隨自變量的增大有明顯的差異。2.比較函數(shù)值的大小,常利用函數(shù)的單調(diào)性法,這兩個(gè)函數(shù)值不是同一函數(shù)的兩個(gè)值時(shí),常用中間值法或者函數(shù)圖象法。3.求函數(shù)解析式最常用的方法是待定系數(shù)法。4.隨著自變量的增大函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快,形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”,這樣的函數(shù)常用
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