2022年全國統(tǒng)一高考理科數(shù)學試卷(全國乙卷)(后附答案解析)

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

數(shù)學（理科）

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1．設全集U{1,2,3,4,5}，集合M滿足eUM{1,3}，則（

A．2M

）

B．3M

C．4M

D．5M

）

2．已知z12i，且zazb0，其中a，b為實數(shù)，則（

A．a1,b2

B．a1,b2

C．a1,b2

）

D．a1,b2

3．已知向量a,b滿足|a|1,|b|

A．2

B．1

C．1

3,|a2b|3，則ab（

D．2

4．嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的

人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列

bn：b111

，

1

b21

1

1，

b31

1

，，依此類推，其中kN(k1,2,)．則

1

1

2

1

2

3

1

B．b3b8

C．b6b2

D．b4b7

（

）

A．b1b5

5．設F為拋物線C:y24x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF||BF|，則|AB|

（

A．2

）

B．22

C．3

D．32

）

6．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的n（

A．3

B．4

C．5

D．6

）

7．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB,BC的中點，則（

A．平面B1EF平面BDD1

C．平面B1EF∥平面A1AC

B．平面B1EF平面A1BD

D．平面B1EF∥平面AC1D

1

）

8．已知等比數(shù)列an的前3項和為168，a2a542，則a6（

A．14

B．12

C．6

D．3

9．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該

四棱錐的體積最大時，其高為（

）

1

A．

3

1

B．

2

3

C．

3

2

D．

2

10．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3，且p3p2p10．記該棋手連勝兩盤的概率為

p，則（

）

B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

A．p與該棋手和甲、乙、丙的此賽次序無關

C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

11．雙曲線C的兩個焦點為F1,F2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C

交于M，N兩點，且

cosF1NF23，則C的離心率為（

5

）

5

A．

2

3

B．

2

13

C．

2

17

D．

2

12．已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且f(x)g(2x)5,g(x)f(x4)7．若

22

yg(x)的圖像關于直線x2對稱，g(2)4，則f(k)（

k1

）

A．21

B．22

C．23

D．24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為

____________．

14．過四點(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為____________．

15．

記函數(shù)f(x)cos(x)(0,0)的最小正周期為T，f(T)

若

3x

2，9

為f(x)的零點，則的最小值為____________．

16．己知xx1和xx2分別是函數(shù)f(x)2axex2（a0且a1）的極小值點和極

大值點．若x1x2，則a的取值范圍是____________．

三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答．

（一）必考題：共60分．

17．

（12分）

記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinCsin(AB)sinBsin(CA)．

（1）證明：2a2b2c2；

（2）若

a5,cosA25，求△ABC的周長．

31

18．分）

（2

如圖，四面體ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E為AC的中點．

（1）證明：平面BED平面ACD；

（2）設ABBD2,ACB60，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與

平面ABD所成的角的正弦值．

19．

（12分）

某地經過多年的環(huán)境治理，

已將荒山改造成了綠水青山．

為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，

隨機選取了10棵這種樹木，

測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）

和材積量

（單位：m3）

，

得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i

根部橫截面積xi

材積量yi

1

0.04

0.25

2

i

2

0.06

0.40

3

0.04

0.22

4

0.08

0.54

5

0.08

0.51

6

0.05

0.34

7

0.05

0.36

8

0.07

0.46

9

0.07

0.42

10

0.06

0.40

總和

0.6

3.9

并計算得x

10

i=1

0.038,yi21.6158,xiyi0.2474．

10

10

i=1

i=1

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）

；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林

區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．

(xx)(yy)

n

附：相關系數(shù)r

i

i

i=1

(xx)(yy)

n

2

n

i

i

i=1

i=1

,1.8961.377．

2

20．

（12分）

已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過

A0,2,B3,1兩點．

2

（1）求E的方程；

（2）設過點P1,2的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于

點T，點H滿足MTTH．證明：直線HN過定點．

21．

（12分）

已知函數(shù)fxln1xaxex.

（1）當a1時，求曲線yfx在點0,f0處的切線方程；

（2）若fx在區(qū)間1,0,0,各恰有一個零點，求a的取值范圍．

（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，

則按所做的第一題計分．

22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）

xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2sin

x

3cos2t,

在直角坐標系

y

（t為參數(shù)）

．以坐標原點為極

t

點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為sin3m0．

（1）寫出l的直角坐標方程；

（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知a，b，c都是正數(shù)，且

a32b32c321，證明：

（1）

abc1；

9

1

（2）bcacab2abc．

a

b

c

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學（理科）

參考答案

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上．

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答

案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效．

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的．

1.A

2.A

3.C.

4.D

5.B

6.B

7.A

8.D

9.C

10.D

11.C

12.D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

3

13.

10

14.

x22y3213或x22y125或x42y7265或

3

3

9

x82y12169；

5

25

15.3

1,1

16.e

三、解答題：共0分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答．

（一）必考題：共60分．

17.

（1）

證明：因為sinCsinABsinBsinCA，

所以sinCsinAcosBsinCsinBcosAsinBsinCcosAsinBsinAcosC，

所以

aca2c2b22bcb2c2a2aba2b2c2，

2ac

2bc

2ab

a2c2b2b2c2a2

a2b2c2

即

，

2

2

所以2a2

（2）

b2c2；

解：因為

a5,cosA25，

31

由（1）得b2c2

50，

由余弦定理可得a2b2c22bccosA，

則

5050bc25，

31

所以

bc31，

2

故bc2b2c22bc503181，

所以bc9，

所以ABC的周長為abc14.

18.

（1）

因為ADCD，E為AC的中點，所以ACDE；

在△ABD和CBD中，因為ADCD,ADBCDB,DBDB，

所以△ABD≌△CBD，所以ABCB，又因為E為AC的中點，所以ACBE；

又因為DE,BE平面BED，DEBEE，所以AC平面BED，

因為AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.

（2）

連接EF，由（1）知，AC平面BED，因為EF平面BED，

所以ACEF，所以△

SAFC=1ACEF，

2

當EFBD時，EF最小，即△AFC的面積最小.

因為△ABD≌△CBD，所以CBAB2，

又因為ACB60，所以ABC是等邊三角形，

因為E為AC的中點，所以AEEC1，BE3，

因為ADCD，所以

DE1AC1,

2

在DEB中，DE2BE2BD2，所以BEDE.

以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz，

則A1,0,0,B0,

3,0

,D0,0,1，所以1,0,1,1,

AD

AB

3,0，

設平面ABD的一個法向量為nx,y,z，

則

nADxz0

，取y3，則n3,3,3，

nABx3y0

又因為

0,3,3

C1,0,0,F

CF1,3,3，

44，所以

44

cosn,CFnCF

6

43

所以

nCF

77，

21

4

CF與平面ABD所成的角的正弦值為02，

設

所以

sincosn,CF43，

7

所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為7.

43

19.

（1）

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值

x0.60.06

10

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值

y3.90.39

10

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2，

平均一棵的材積量為0.39m3

（2）

xxyy

10

r

10

i

i

xy10xy

10

i=1

2

i

i

i

i=1

xxyy

2

10

i

i=1

i=1

x210x2y210y2

10

10

i=1

i

i=1

i

0.2474100.060.39

(0.038100.062)(1.6158100.392)

0.0134

0.0134

0.0001896

0.013770.97

則r0.97

（3）

設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3，

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

0.06=186

可得0.39Y，解之得Y=1209m3．

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3

20.

（1）

mx2ny21，過A0,2,B2,1，

3

解：設橢圓E的方程為

4n1

9

m1，n，

1

則mn1，解得

4

3

4

y2x21

所以橢圓E的方程為：43.

（2）

A(0,2),B(3,1)，所以AB:y22x，

2

3

①若過點P(1,2)的直線斜率不存在，直線x1.代入341，

x2

y2

M(1,26)，N(1,26)，代入AB方程y3x2，可得

2

可得

3

3

(63,26)，由TH得到H(265,26).求得HN方程：

T

MT

3

3

y(226)x2，過點(0,2).

3

②若過點P(1,2)的直線斜率存在，設kxy(k2)0,M(x1,y1),N(x2,y2).

kxy(k2)0

聯(lián)立

x2y21,得(3k24)x26k(2k)x3k(k4)0，

34

xx6k(2k)yy8(2k)

12

3k24

1

2

3k24

可得

3k(4k)，

xx

yy

4(44k2k2)，

12

3k24

22

3k24

且

x1y2x2y124k(*)

3k24

yy1

3y

聯(lián)立y

2x2,可得T(213,y1),H(3y16x1,y1).

3

y1y2

可求得此時

HN:yy2

3y16x1x22，

(xx)

將(0,2)，代入整理得2(x1x2)6(y1y2)x1y2x2y13y1y2120，

將(*)代入，得24k12k29648k24k4848k24k236k2480,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過定點(0,2).

21.

（1）

f(x)的定義域為(1,)

當a1時,

f(x)ln(1x)x,f(0)0,所以切點為

ex

(0,0)f(x)11x,f(0)2,所以切線斜率為2

1xex

所以曲線yf(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y2x

（2）

f(x)ln(1x)ax

ex

a(1x)exa1x2

f(x)

1xex(1x)ex

1

設g(x)exa1x2

1若a0,當x(1,0),g(x)exa1x20,即f(x)0

所以f(x)在(1,0)上單調遞增,f(x)f(0)0

故f(x)在(1,0)上沒有零點,不合題意

2若1a0,當x(0,),則g(x)ex2ax0

所以g(x)在(0,)上單調遞增所以g(x)g(0)1a0,即f(x)0

所以f(x)在(0,)上單調遞增,f(x)f(0)0

故f(x)在(0,)上沒有零點,不合題意

3若a1

(1)當x(0,),則g(x)ex2ax0,所以g(x)在(0,)上單調遞增

g(0)1a0,g(1)e0

所以存在m(0,1),使得g(m)0,即f(m)0

當x(0,m),f(x)0,f(x)單調遞減

當x(m,),f(x)0,f(x)單調遞增

所以

當x(0,m),f(x)f(0)0

當x,f(x)

所以f(x)在(m,)上有唯一零點

又(0,m)沒有零點,即f(x)在(0,)上有唯一零點

(2)當x(1,0),g(x)exa1x2

設h(x)g(x)ex2ax

h(x)ex2a0

所以g(x)在(1,0)單調遞增

g(1)12a0,g(0)10

e

所以存在n(1,0),使得g(n)0

當x(1,n),g(x)0,g(x)單調遞減

當x(n,0),g(x)0,g(x)單調遞增,g(x)g(0)1a0

又

g(1)10

e

所以存在t(1,n),使得g(t)0,即f(t)0

當x(1,t),f(x)單調遞增,當x(t,0),f(x)單調遞減

有x1,f(x)

而f(0)0,所以當x(t,0),f(x)0

所以f(x)在(1,t)上有唯一零點,(t,0)上無零點

即f(x)在(1,0)上有唯一零點

所以a1,符合題意

所以若f(x)在區(qū)間(1,0),(0,)各恰有一個零點,求a的取值范圍為(,1)

（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，

則按所做的第一題計分．

[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

22.

（1）

因為l：

sinm0，所以1sin3cosm0，

3

2