人教課標(biāo)版高中數(shù)學(xué)選修1-1《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(第2課時(shí))》教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、等價(jià)轉(zhuǎn)化的素養(yǎng)2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.（2）能夠解決直線與橢圓相交產(chǎn)生的相關(guān)弦長(zhǎng)、定值、取值范圍等問(wèn)題，初步理解方程思想和“設(shè)而不解”思想在解題過(guò)程中的應(yīng)用.（3）理解解析法解決問(wèn)題的基本思想，掌握用方程研究曲線問(wèn)題的基本方法.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系,初步理解方程思想和“設(shè)而不解”思想在解題過(guò)程中的應(yīng)用.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)解決直線與橢圓相交產(chǎn)生的相關(guān)弦長(zhǎng)、定值、取值范圍等問(wèn)題.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1例4，思考橢圓在生活中還有那些應(yīng)用?思考直線與橢圓有那些位置關(guān)系?P40任務(wù)2回憶橢圓的有那些幾何性質(zhì)?2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.兩個(gè)正數(shù)a,b的等差中項(xiàng)是52，等比中項(xiàng)是6，則橢圓221(ab0)xya2b2的離心率e等于()32A.13B.3153C.D.13答案：C解析：橢圓的幾何性質(zhì)xy2.已知橢圓21的焦點(diǎn)分別是2F,F,P是橢圓上一點(diǎn)，若連接F,F,P三16251212點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)到軸的距離是()Py165A.B．316C.325D.3答案：A解析：1F0,3,F0,3,34，∴FFP90或FFP90.2122116516.5設(shè)Px,3，代入橢圓方程得x.即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）一元二次方程ax2bxc0的根的判別式為b24ac；求根公式為xbb2a4ac．2x,x（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，12則xxb，xxc．12a12ayy2之間的距離公式為ABxxAxyBxy（3）平面內(nèi)兩點(diǎn),,2112212122.問(wèn)題探究問(wèn)題探究一橢圓幾何性質(zhì)在生活中的應(yīng)用例1.某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面mkm，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面，地球半徑為，則飛船運(yùn)行軌道的短軸nkmkkm2長(zhǎng)為()A．2mknkmknkB.C．mnD．2mn【知識(shí)點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】mknk．詳解：由題意可得acmkacnk,acac即a2c2b2mknk，bmknk，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為2mknk，故選A.★▲問(wèn)題探究二直線與橢圓的位置關(guān)系ykxmx2y21(ab0)1.設(shè)直線方程為，橢圓ykxm，聯(lián)立方程得ab22122xya2b2根據(jù)方程解得情況，便可確定直線與橢圓的位置關(guān)系．通常消去方程組的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，一般地：直線與橢圓相交直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；000直線與橢圓相切直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與橢圓相離直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)2.弦長(zhǎng)問(wèn)題,PxyPxy兩點(diǎn)，則于點(diǎn)1112x2y21(ab0)ykxm,設(shè)直線方程為交橢圓a2b222xx1k222yyPP12xx2yy2xx1212xx12121212121k2xx1k2xx24xx12121211yy4yyk02PP1yy1同理可得12k212k21212x2y1例2(1)當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相交、相切、相離?2yxmm43x2y1(2)若，求直線與橢圓yxm2相交的弦AB的長(zhǎng).m=14【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式；數(shù)學(xué)思想：分類的思想】yxmx4y4消去化簡(jiǎn)得xmx4m2402y582詳解：(1)由2=8m2454m4165m22當(dāng)0時(shí)，則165m0,即5m5,直線與橢圓相交2當(dāng)=0時(shí)，則165m=0,即m=5,直線與橢圓相切2當(dāng)0時(shí)，則165m20,即m5或m>5,直線與橢圓相交yx1(2)當(dāng)m=1，則0，直線與橢圓相交，則得5x8x02x4y242Ax,y,Bx,y,則：設(shè)112285825xx85,xx020AB1k2xx24xx2，121212122例3.過(guò)點(diǎn)1,0的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相21yx過(guò)線段的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦AB2交于、兩點(diǎn)，直線AB點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程．【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)稱問(wèn)題，直線的方程】c2c2a2b2,cb，從而詳解e1：由e，得.2a2a2設(shè)橢圓C的方程為x2y22b2，Ax,y,Bx,y在橢圓上．21122則x22y22b2,x22y22b2，兩式相減得，1122yyxx2xx2yy0，即.12yy12222212xx121212x設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.kx,y，則AB02y0004yx上，所以y12x，1又x,y在直線20000于是x01，故k1，AB2y0所以直線l的方程為yx1.的對(duì)稱點(diǎn)為x,y，設(shè)右焦點(diǎn)b,0關(guān)于直線ly1x1.xb則，解得y1bxb1y22由點(diǎn)1,1b在橢圓上，得121b22b2，則b29，故a29.168所以所求橢圓的方程為8x216y21，直線l的方程為yx1.C99b詳解2：由ec2，得aa21，222a2從而a22b2，cb.設(shè)橢圓C的方程為x22y22b2，直線l的方程代入橢圓C的方程，l的方程為ykx1．將直線4k2得12kx24k2x2k22b20，則xx12k2，2122k故yykx1kx1kxx2k12k2.121212xx,yy，21yx過(guò)線段的中點(diǎn)又直線2AB12122，解得k0或k1.k12k2212k212k2則若k0，則直線l的方程為y0，焦點(diǎn)Fc,0關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，5不可能在橢圓C上，所以k0舍去，從而k1，故直線l的方程為yx1，即yx1，以下同方法1.點(diǎn)拔：由題設(shè)情境中點(diǎn)在直線y12x上，聯(lián)想“點(diǎn)差法”，從而應(yīng)用點(diǎn)差法及點(diǎn)在直線y12x上而求得直線l的方程，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)稱的幾何性質(zhì)求得“對(duì)稱點(diǎn)”，利用“對(duì)稱點(diǎn)”在橢圓上求得橢圓方程，同時(shí)應(yīng)注意，涉及弦的中點(diǎn)與弦的斜率問(wèn)題常常可應(yīng)用“點(diǎn)差法”求解．例4設(shè)直線l：ykx1與橢圓0x3y2a2a相交于A、B兩個(gè)不同的2點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．3k2(1)證明：a213k2；(2)若AC2CB，求OAB的面積的最大值．【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，三角形的面積，基本不等式】【分析】(1)聯(lián)立方程、消元、利用0易證．(2)結(jié)合條件分析出S12OCyy易求．OAB12詳解：(1)證明：依題意，當(dāng)k0時(shí)，由a0知，a20，顯然成立．1當(dāng)k0時(shí)，ykx1可化為xy1.k1122將xy1代入x23y2a2，消去x，得3yy1a20.①kkk262k12由直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得4a0，l312k23k213k2化簡(jiǎn)整理得a.原命題得證2，由題意知C1,0．(2)設(shè)Ax,y,Bx,y11222k由①得2yy13k2，②1AC1x,y,CBx1,y1122因?yàn)橛葾C2CB，得y2y.③12由②③聯(lián)立，解得2ky13k2，22OCyy3y13k213k3k23.△OAB的面積ΔOABS223k1223的最大值為2上式取等號(hào)的條件是3k21，所以SOAB12例5.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)4ll是過(guò)點(diǎn)P(0,2)且互相,AB,CD的中點(diǎn)M,N.,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為垂直的兩條直線l交E于A,B112兩點(diǎn)l交E于C,D兩點(diǎn)分別為2(1)求橢圓E的方程;(2)求l的斜率k的取值范圍;1(3)求OMON的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積，直線的斜率】y2x0)2解：(1)設(shè)橢圓方程為1(abab221ca2由2a4a2b2c2b37y2x1.2∴橢圓方程為43(2)由題意知,直線l的斜率存在且不為零.11k∵l:y=kx+2,∴l(xiāng):y2.x12y2x1消去y并化簡(jiǎn)整理,得(34k2)x216kx40.2由43ykx221根據(jù)題意(16k)216(34k2)0解得k.41kk24∴k24k(2)(122).141412同理得()2(3)設(shè)A(xy)B(xy)M(xy)112200xx16k34k28k34k2xx∴x02那么121268k6ykx234k2∴M(34k234k2)008(1)k8k464).634()234()2同理得N()即N(1k133k2k2k88k34k2k4k2634k2643k2281)∴OMON.32512(k2k2∵14117.k24∴2k24k247282512(k21)719∴k247即OMON的取值范圍是[).7193.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】（1）直線l:ykxb，與圓錐曲線C：F(x,y)0交于A(x,y),B(x,y)兩點(diǎn).1122則AB1k2xx1k2xx24xx121212或AB11yy11yy24yyk12k2121228（2）橢圓的通徑：過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓2b的通徑，通徑長(zhǎng)為2a（3）已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程b2x0a2yba2M(x,y)是AB的中點(diǎn)，則AB是橢圓的一條弦，，kkkAB00ABOM20點(diǎn)差法求弦的斜率步驟是：xy2xy212222222（1）將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程：1,1;1a2babxxyy212222212222（2）兩等式對(duì)應(yīng)相減：0;aabbyyb2xxb2x2xxa2yya2y.0（3）分解因式整理：AB112k12120【重難點(diǎn)突破】1.涉及直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，注意判別式及韋達(dá)定理的運(yùn)用，特別是函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用．2.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.在做題時(shí)候，最好先畫出草圖，注意觀察、分析圖象的特征，將形與數(shù)結(jié)合起來(lái).3.中點(diǎn)弦問(wèn)題若問(wèn)題涉及弦的中點(diǎn)及直線斜率問(wèn)題，可考慮“點(diǎn)差法”，即把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然后兩式作差，時(shí)同常與根與系數(shù)的關(guān)系綜合應(yīng)用.4.隨堂檢測(cè)x2y211.直線ykxk1與橢圓的位置關(guān)系為（）94A．相B．相C．相交切離D．不確定答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】92.直線ykx2與橢圓4y280相交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若PQ的中點(diǎn)的橫x2坐標(biāo)為2，則弦長(zhǎng)|PQ|等于答案：65____________.解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)】ykx2216kx640.14kx+4y280，消去y整得x由于2216k14k264則xx22，設(shè)Px,y,Qx,y，2121121得k2，從而xx4,xx1232，14k212PQ1k2xx24xx=65因此1212（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破xy21.直線與橢圓21(ab0)的兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰為2yx2a2b2橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e等于（）32A.22B.33C.D.12解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)】答案：Bykx2x3y6有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是(22.直線2與橢圓)2A.k36或k36B.36k36C.k36或k36106D.36k3答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】3.過(guò)橢圓x22y24的左焦點(diǎn)作傾斜角為的弦，則弦的長(zhǎng)為（）FABAB367A.B.C.167716D.12答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】1內(nèi)一點(diǎn)2,1的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在直線的方程是4．若過(guò)橢圓x2y2164________．答案：x2y40解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)直線方程為y1kx2，與雙曲線方程聯(lián)立得14kx16k8kx16k216k120，222設(shè)交點(diǎn)Ax,y，Bx,y，112216k28k4，解則xx得k1，14k2212所以直線方程為x2y40.5.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為7，求這個(gè)橢圓的方程．3.已知點(diǎn)P0,到這個(gè)橢322答案：見(jiàn)解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)】11x2y2c3設(shè)橢圓方程為1ab0，Mx,y為橢圓上的點(diǎn)，由得2.aba2a2b23213byb，224b2xy3yPM222若b1，則當(dāng)時(shí)，最大，即PM322ybb7，2231則b7，故舍去．22若b1時(shí)，則當(dāng)1y時(shí)，PM2最大，即4b37，222解得b1.2x2∴所求方程為y21.4能力型師生共研6.已知直線l與橢圓,線段PP的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l的x2y22交于P、P兩點(diǎn)21212斜率為k(k0)直線OP的斜率為k則kk的值等于（）1121232A.B.2233C.D.12答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)P(xy)P(xy)111222xxyy221yyyyyy2122xx22則(k1kk2xx2.P)k121221xx21121212x2y221211212由相減得yy(xx).故.kk1222212221x2y2222212yx227.已知橢圓1若在此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=4x+m對(duì)43稱,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(21322)1313B.(213213)13132213)C.(1313D.(2323)1313答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)A(xy)B(xy)AB的中點(diǎn)為M(x,y),1122yy14由題意知kABxx2xyy2y3x4y12①212121xx1212213x24y212②22x2)4(y2y2)03()即yyxx即y=3x,與y=4x+m聯(lián)12①②兩式相減得3(x2212112213m213.m9m21即立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在橢圓的內(nèi)部,則24313138.若直線mxny4和圓O:xy24沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)m,n的直線與橢圓2xy221的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_______.54答案：2解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】004由2，得m2n24.m2n21，即點(diǎn)在橢圓內(nèi)，m,n而m2n2m2n2m21m25442020所以過(guò)點(diǎn)m,n的直線與橢圓探究型多維突破9.已知F(20)F(20)的橢圓與直線相交，即有2個(gè)交點(diǎn).焦點(diǎn)為l:x+y-9=0有公共點(diǎn),則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)1213的最小值是()A.170B.170C.7085D.2答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系】y2x2方法一:依題意,設(shè)橢圓方程為1(0),且c=2,則4.abba22ab22將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,得y2aa24xy90x21消去參數(shù)y,整理得：(24)xa2218a2x85a2a40.2aa(18)4(2a24)(85)02224因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn),所以0即a852整理得93a23400.解得或a24(舍去),2aa42∴2a170即橢圓二:如圖,長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為170.方法可設(shè)P為橢圓與直線l的公共點(diǎn),則|PF|+|PF|=2a12所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PF|+|PF|的最小值.12作F關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F′(xy)則200214yx02(1)19x解得F即′(9,7).200y72xy90002|PF|+|PF|=|PF|+|PF′||FF′|(92)7170所以12221212即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為170.y12x0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線210.已知橢圓1(abl:x=1上,其離心率2.設(shè)eab2214R(0)P、Q為橢圓上不同的兩點(diǎn),且弦PQ的中點(diǎn)T在直線l上,點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)試證:對(duì)于所有滿足條件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|.答案：見(jiàn)解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，數(shù)學(xué)思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化】(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l:x=1上,所以c=1.121a2c又因?yàn)殡x心率即所以a=2,從而b23.ey2所以橢圓的x2方程為1.43(2)證明:設(shè)T(1y)P(xy)Q(xy)01122則RT(3)yPQxxyy)(2401213RTPQ(xx)y(yy).421021y2x2又因?yàn)镻、Q都在橢圓1上,43xy243xy24321221兩式相減得所以1121413(xx)(xx)(yy)(yy)012121212因?yàn)辄c(diǎn)T是PQ的中點(diǎn),所以xx2yy2y12120于是1()xx23yyy()021201234所以(xxyyy)0)(0112215即0,所以RTPQ,即RT是線段PQ的垂直平分線所以恒有|RP|=|RQ|.RTPQ,四、自助餐y42x21所截得的1.直線1被橢圓yx2弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）25A.,3347B.,3321C.,3313D.,42答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】y2536x21，則直線l與橢圓C的l:axy3a10aR，橢圓C:22.已知直線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.1B.1或2C.2D.0答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】yx21的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線23.過(guò)橢圓54與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為（）53A.B.34C.216D.76答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】4.已知橢圓x28y28，在橢圓上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線:40的距離lxy最小，并求出這個(gè)最小值.答案：見(jiàn)解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】40平行且與橢圓相切的直線方程為xym0設(shè)與直線l:xyxym0由消去x得9x22mym280則4m236m802x28y28得m3，當(dāng)m3時(shí)，由圖不符合題意，舍去.則所求切線方程為xy30則兩平行線之間的距離P到l距離的最小值，即d43222又由xy30P,81x28y28335.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)F0,3,F0,3的距離之和等于124，設(shè)P的軌跡為C.（1）寫出C的方程.（2）設(shè)直線ykx1與C交于A,B兩點(diǎn)，則k為何值時(shí)，OAOB?此時(shí)AB的值時(shí)多少?答案：見(jiàn)解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系】y（1）由橢圓的定義知C的軌跡方程為x221.4k4x22kx302ykx1（2）設(shè)Ax,y,Bxy,由4x2y241122174k212k4022kk243則xx又OAOB，OAOBxxyy0121212xxk2412而yykx1kx+1=k2xxkxx11212121233k22k214k210k24k24k24k42xxyy1212k1,此時(shí)，xx4,xx1217217121254484652AB1kxx24xx2417171712126．已知點(diǎn)是⊙O：xy29上的任意一點(diǎn)，過(guò)作垂直x軸于，動(dòng)點(diǎn)DPPPD2Q滿足DQ32DP.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)若點(diǎn)G1,1，則在動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上是否存在不重合的兩點(diǎn)M、N，使OG1OMON(O是坐標(biāo)原點(diǎn))．若存在，求出直線MN的方程；若不存在，2請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：見(jiàn)解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，向量及運(yùn)算,軌跡問(wèn)題】(1)設(shè)Px,y，Qx,y，依題意，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,0，000∴DQxx,y，DP0,y．00xx0xx0又DQ23DP，∴2，即3.0yyyy3200x2y2∴xy29，∴1，∵點(diǎn)P在⊙O上，29400x2y2Q的軌跡方程為1.∴點(diǎn)9418Mx,y，Nx,y，1122x2y2(2)假設(shè)1上存在不重合的兩點(diǎn)942G1,1是線段的中點(diǎn)，MN使OG1OMON，則xx121xx22有，即.12yy2yy212112x2y2(3)又Mx,y，Nx,y在橢圓1上，941122x219421①y1∴xy221②2294xxxxyyyy0，1212①－②，得121294∴kyy4，21xx9AB12∴直線MN的方程為4x9y130，M、N，使OG1OMON，此時(shí)直線MN的方2∴橢圓上存在不重合的兩點(diǎn)程為4x9y130.7.已知橢圓中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線yx1與該橢圓交于P和Q，102若OP⊥OQ，且PQ，求橢圓方程．【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，】解法一：設(shè)橢圓方程為xy221，依題意知，a2b2點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)滿足方程組：y21x2①abyx122②(a2b2)x22a2xa2(1b2)0③19設(shè)方程③的兩根為x,x那么直線1與橢圓交點(diǎn)為yx12P(x,x1)、Q(x,x1)．1122由⊥得：OPOQxx(x1)(x1)0即2xx(xx)10．12121212102(xx)25,212由PQ2得：即(xx)24xx5．41212(xx)2xx120∴．12124(xx)216xx5012121xx412412解得或．3xx1xx122212由③式結(jié)合韋達(dá)定理得：2a232a21a22a222b．解得2或3ab222a22或a2(1b2)1a2(1b2)a2b1bb2223ab24422xy23x2y21．22∴21或232解法二：設(shè)橢圓方程為mx2ny21依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組mxny122整理得：()mnx2nxn10．2yx1，2nxxmn設(shè)直線yx1與橢圓的交點(diǎn)為12則P(x,x1)、Q(x,x1)1122n112mnxx由OP⊥OQ得：20xx(x1)(x1)0即2xx(xx)10121212122，∴xxn12∴mnn1xx212102得：2(xx)25,即(xx)24xx524121212由PQ∴4n28(n1)50．解得n或n1代入得：3223n1n22．或m132m2x3y3x2y2∴21或21．2222y2x1(ab的離心率28．(本小題滿分15分)已知橢圓C：ab22e2，原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)A0,b和Ba,0的直線的距離為6.23(1)求橢圓C的方程；(2)已知定點(diǎn)M2,0，若過(guò)點(diǎn)M的直線l(斜率不等于零)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)S、(在與之間)，記EFEMFOME，求的取值范圍．SOMF答案：見(jiàn)解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，】xy1，即(1)由題知直線AB的方程為bxayab