小學(xué)奧數(shù)工程問題(一)精選練習(xí)例題含答案解析(附知識點撥及考點)

工程問題（一）且由加1,熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；.工程問題中常出現(xiàn)單獨做,幾人合作或輪流做，分析時F要學(xué)會分段處理；.根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法送他類型題目中的應(yīng)用.工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。工程問題的基本概念定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時頤□!作效率之間相互關(guān)系的問題。工作總量：抽象成單位“1”工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量三個基本公式：工作總量=工彳管率*工作時間，工作效率=工作總量-工作時間，工作時間=工作總量:工作效率；二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面：①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運用;

③學(xué)會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示，量”與，百分率，之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件,可以幫助我們在復(fù)雜的條彳牛與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推理；④學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法.分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條彳償問題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法.因此,在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路.三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)，把整個工程看成T單位”，求得問題答案.TS情況下，工程問題求的是時間.gJUl^模塊一、工程問題基本題型【例1】一項工程，甲單獨做需要28天時間，乙單獨做需要21天時間，如果甲、乙合作需要多少時間？【考點】工程問題 【難度】1星 【題型】解答TOC\o"1-5"\h\z【解析】才鏗個工程的工作量看作力”個單位，那么甲每天完成總量的工，乙每天完成總量的上，兩人合作28 21每天能完成總量的-+-=-,所以兩人合作的話，需要1一上=12天能夠完成.282112 12【答案】12【例2】一項工程，甲單獨做需要30天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間？【考點】工程問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】將整個工程的工作量看作T”個單位，那么甲每天完成總量的上，甲、乙合作每天完成總量的工，30 12乙單獨做每天能完成總量的=±,所以乙單獨做1一±=20天能完成.123020 20【答案】20【鞏固】一項工程，甲單獨做需要21天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間?【考點】工程問題【難度】1【考點】工程問題【難度】1星【題型】解答【解析】才建個工程的工作量看作T個單位，那么甲每天完成總量的工，甲、乙合作每天完成總量的工，21 12乙單獨做每天能完成總量的1-1=±,所以乙單獨做28天能完成.122128【答案】1281 o［例3］甲乙兩名打字員，打字速度一樣快，甲30分鐘打了4材料的L乙40分鐘打了3材料的二。4、4 7B兩份材料中，（填4或8）內(nèi)容多?！究键c】工程問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽【解析】因為兩人速度一樣，那么同樣的時間內(nèi)打的字?jǐn)?shù)是一樣的,統(tǒng)一兩人的時間，甲120分鐘可以打完A材料，乙120分鐘可以打B材料的￡,所以B翻4內(nèi)容多7【答案】B［例4］甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時可以完成任務(wù).如果甲單獨加工,便需要12小時完成.現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2m小時后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個零件才完成任務(wù).問乙一共加工零件多少個？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答1 1 1 _ o1 1【解析】乙單獨加工，每小時加工二上=」甲調(diào)出后，剩下工作乙需做（1-2二=三時所以乙每81224 58245寸加工零件420-y=25（個），貝！I小時加工25x2j=60（個），所以乙一共加工零件420+60=480（個）.【答宴】480【鞏固】一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】共做了6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做。天，乙做40=（24+16）天這說明E甲24天做的工作，可由乙做16天來代替因此甲的工作效率是乙的工作效甄）16/24=2/3。果甲獨做，所嗣吟。+3。上75天如果乙獨做，所刷間是3。+3。曰5。天；甲或乙獨物需時間分別是75天和50天【答案】分別是75天和50天［例5］4名工人加工455個零件。開始的4天中有一名工人因事請假1天，結(jié)果共加工195個零件。如果以后無人清假，那么還要一天可以完成任務(wù).【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】圭美杯，決賽，5年級【解析】每人每天加工零件195X4x4-1)=13(個)，剩下的零件還需加工(455-195X13x4)=5(^).【答案】5天【例6】一項工程，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要9天.若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，甲的工作效率為工，乙的工作效率為L,采用雞兔同寵問題的假設(shè)法，可知甲做了12 9(―x10—1) ——)=4天.9 912【答案】4天【鞏固】一項工程，甲隊單獨做2。天可以完成，甲隊做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊單獨做15天完成.問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答TOC\o"1-5"\h\z1 1 9 7R【解析】方法一：甲的工作效率為工，甲隊8天的工作量為，、8=二，所以乙隊15天的工作量為1-二一，20 20 5 55乙的工彳侈蜂為--15=-,所以乙隊單獨完成這項工作需要25天5 25方法二：此題可以用代換法解,甲12天工作量等于乙15天工作量,乙的工，鉗率為甲的士，乙獨5做的時間為20+*=25(天1【答案】“天［例7］有兩個同樣的倉庫，搬運完一個倉庫的貨物，甲需6小時，乙需7小時，丙需14小時.甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物。開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫的貨物同時搬完。則丙幫甲小時，幫乙小時。【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試的貨物，所以它們完【解析】整個搬運的過程，就是甲、乙、丙三人同時開始同時結(jié)束，共搬運了兩個倉,的貨物，所以它們完血觸總時間為氣+;+》*'時.在這段時間內(nèi)，甲、乙各自在某一個倉庫內(nèi)搬運，丙則在兩個倉庫都搬運過.甲完成的工作量是1x21=2所以丙幫甲搬了1-」的貨物丙幫甲做的時間為L2=13」時,648 88 814 4那么丙幫乙做的時間為三-12=32小時.4 4 2【答案】31小時【例8】某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的2，甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=214（天），相當(dāng)于乙要做21x（=28天因此，乙還要做28+28=56（天），乙還需要做56天【答案】56天【例9】一項工程，甲隊單獨完成需40天。若乙隊先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊合作，又需20天可完成。如果乙隊單獨完成此工程，則需天?！究键c】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試1 nn1 1 1【解析】甲每天完成二，甲乙合作中，甲一共完成二=］所以乙也一共完成;,乙每天完成上,乙單獨40 402 2 60做要60天.【答案】60天［例10］一項工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】如果將整個工程的工作量看做單位“1”，從條件中我＜口很容易看出：甲+乙=2，乙+丙='，乙20 15=,因此不難得到丙的工作效率為，因此三個人的工作效率之和為,+2=工，也就30 153030 203012是說，三個人合作需要12天可以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率,再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效.但是這樣做比較麻煩，事實上只要將甲乙工效和力吐丙的工效就可以了.【答案】12天【鞏固】一項工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】法一：和上題類I以，我們可以有：甲+乙，乙+丙=2，丙=2不難求得，乙的工作效率為9 12 361--=1，因此甲的工彳餃率為1-工=工，從而甲丙合作的工佰婢為,123618 91818 361812即甲丙合作12天能完成。法二：仍然觀察上面那三個等式，我們能否不求出每個人的工作效率而同過整體的運算直接得豺甲+丙”的值呢?不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：（甲+乙+丙x2）-（乙+內(nèi)卜甲+內(nèi)，也就是說：甲+丙=1+工、2-上=2，所以甲丙合作12天能完成。936 1212【答案】12天【鞏固】一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】設(shè)這件工作的工作量是1.甲乙兩人合作每天完成上，甲丙兩人合作每天完成,，乙丙兩人合作36 60每天完成,，甲、乙、丙三人合作每天完成（上+-1+_1）_2=￡=_1減去乙、丙兩人每天完成45 364560 18030的工作量,甲每天完成工―,甲獨做需要：+2=90天答：甲一人獨做需要90天完成304590 90【答案】90大【鞏固】一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成.那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答TOC\o"1-5"\h\z【解析】方法一：對于工（銹率有：（甲，乙》（乙，丙）-（丙，甲尸2乙，即L+L-工=”為兩倍乙的工作89 1872效率，所以乙的工作效率為E.而對于工作效率有億，丙）-乙=丙，那么丙的工/銹率為工?—144 9 144=-那么丙一個人來做，完成這項工作需K-=48天。48 48. 11 1 01 01方法二：2（甲，乙，丙）=（甲+乙》（乙、丙）+（甲、丙）二-+-+一=」,所以（甲,乙，丙尸3-2891872 72二3■，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為三.那么丙單獨工作的工值｛率為-1=J-r144 144 144 8 48那么丙一個人來做,完成這項工作需48天.【答案】48天【例11】一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成.那么甲、丁兩人合作多少天可以完成？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是LL-對于工作效率有（甲，乙）+炳，?。?c,8612丙K甲，T）.即L3-7=^，甲、丁合作的工作效率為二.所以，甲、丁兩人合作24天可812 624 24以完件工程.【答案】24天唳】修筑一條高速公里,若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作,唳】180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。還需多少天可完工？【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯相斯】設(shè)這項I套為單位T。則甲+乙+丙的工僧蟀為工，甲+乙+丁的口餓率為工。丙+丁的工忸蟀為90 120焉。舷秒垂11修^為G+卷-由-2$單乙+曲丁缸修吟焉+!$。因itWJT的(1-2-x36)- =60無144 80【答案】60天【例12】一些工人做一項工程，如果能調(diào)來16人，那么10天可以完成；如果只調(diào)來4人，就要20天才能完成，那么調(diào)走2人后，完成這項工程需要天.【考點】工程問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)捷詞】2007年，人大附中【解析】設(shè)1個人做1天的量為1,設(shè)原來有X人在做這項工程，得：（x+16）xl0=（x+4）x20解得：x=8.如果調(diào)走2人，需要（8+16）x10一（8-2）=40（天）.【答案】40天【例13］甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù).甲車單獨清掃需10小時，乙車單獨清掃需15小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃12千米.問：東、西兩城相距多少千米？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】法一：先求出甲、乙相遇的時間：1-（'+'）=6小時；甲清掃全長的飆g乙清掃了全部的〉j所際麗蟠距eI］用=6。千米.法二：1015因為時間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時甲、乙清掃的路程比是2-甲行了例的言,乙行了第的言,例就是12-（代）=6。千米.1015【答案】60千米［例14］一項工程，甲單獨做40天完成，乙單獨做60天完成,現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天,所以經(jīng)過了27天才完成.問甲休息了幾天？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】十三分,入學(xué)測試【解析】法一：在整個過程中，乙沒有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的2x27=2,還有TOC\o"1-5"\h\z60 201-2=1是甲做的，所以甲干了口-2=22（天），休息了27-22=5（天）.2020 2040法二：假設(shè)中間甲沒有休息，則兩人合作27天，應(yīng)完成全部工程的'）x27=看,超過了單位O 1 11“1”的^一1=2，則甲休息、了!一上=5（天）.8 8 840【答案】5天【鞏固】一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成.甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了16天.乙請假多少天？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的Lx16=3，還有1-3=1是乙做的，所以乙干了TOC\o"1-5"\h\z20 5 55二工=6（天），休息了16-6=10（天），請假天數(shù)為：16-6=10（天）.530法二：假設(shè)乙沒有請假，則兩人合作16天，應(yīng)完成全部工程的（」+2）x16=3,超過了單位“1”2030 3K--i=-，則乙請假L_L=io（天）.3 3 330【答案】10天【鞏固】有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天.現(xiàn)在讓3個隊合修，但中途甲隊撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完.當(dāng)甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答TOC\o"1-5"\h\z【解析】甲、乙、丙三個隊合修的工作效率為6天完成的工程量為1x6=11，而實際6天1012154 4 2完成了的工程量為1,即甲隊少做了L,甲隊完成L超過單位“1”J-i=1，甲沒有干的天數(shù)：，9 7 C74■L_1=5（天），即當(dāng)甲隊撤出后，乙、丙兩隊又合修了6-1=5天.210【答案】5天【例15]一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿.現(xiàn)在先開乙管6小時,還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿.乙單獨開幾小時可以灌滿？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時灌荷I我們可以把乙管的6小時分成3個2小時，第一個2小時和甲同時開，第二個2小時和丙同時開，第三個2小時乙管單獨開.這楠映成了甲、乙同時開2小時，乙、丙同時開2〃W寸，乙單獨開2小時，正好灌滿一池水.可以計算出乙單獨灌水的工作量為所以乙5 4 10的工作效率為：1.（6-2-2）=1，所以整池水曰乙管單獨灌水，需要1-±=20（〃@t）.【答案】20小時【例16]某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單開甲管需12小時注滿，單開乙管需24小時注滿，若要求10小時注滿水池，且甲、乙兩管同時打開的時間盡量少，那么甲、乙最少要同時開放小時.【考點】工程問題 【難度】a星 【題型】解答【解析】要想同時開的時間最小，則根據(jù)工效，讓甲“滿負(fù)荷，地做,才可能使得同時開放的時間最小.所以,乙開放的時間為（l-Lxlo）一2=4（小時），即甲、乙最少要同時開放4小時.V12 ）24【答奉】4小時【例17】一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水,如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】先計算1個水龍頭每分鐘放出水量二小時半比1小時半多60分鐘，多流入水4x60=240（立方米）.時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240-（5x150-8x90）=8（立方米），8個水龍頭1個半小時放出的水量是8x8x90,其中90分鐘內(nèi)流入水量是4x90,因此原來水池中存有水8x8x904x90=5400（立方米）打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8x13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水,放空原存的5400,需要5400-(8x13-4)=54(分鐘).所以打開13個龍頭,放空水池要54分鐘水池中的水，有兩部分,原存有水與新流入的水,就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水這在題目中卻是隱含看的【答案】54分鐘【例18】有10根大小相同的進水管給A、B兩個水池注水，原計劃用4根進水管給A水池注水，其余6根給B水池注水，那么5小時可同時注滿,因為發(fā)現(xiàn)A水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根進水管給水池注水，結(jié)果也是同時注滿.Q)如果用10根進水管給漏水的A水池注水，需要多少分鐘注滿?(2)如果增加4根同樣的進水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水過程中每個水池的進水管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少分鐘?(結(jié)果四舍五入到個位)【考點】工程問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】設(shè)每只進水管的工^為“1”，那么A池容量為4x5=20,B池容量為6x5=30.當(dāng)用5根進水管給B池灌水時需30-5=6小時,而在6小時內(nèi)5只其次管給A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10,因此漏水的工效為10一6=?.⑴用10根進水管給漏水的A池灌水，那么需320+(10-2)=24小時=M4分鐘.(2)設(shè)A池需x根那么B池需14-x根有(x-3：(l"x)=2:3,3 3所以有28-2x=3x-5,化筒解得x=66所以A池用7根或6根進水管，此時對應(yīng)所需時間，分別為:①當(dāng)A池用7根進水管時：A：7根水管,需時間20-。- 3沙時=225分鐘；B：7根水管，需時間30-7=大小時?257分鐘.此時要把兩個水池注滿最少需要257分鐘；7②當(dāng)A池用6根進水管口寸：A：6根水管,需時間20-(6--)=—〃'口寸?277分鐘；B：8根水管，需3 13B引用30~8=9小時=空5分鐘.此時要把兩個水池注滿最少需要277分鐘.所以，要把兩個水管都注4滿，最少需257分鐘,7根水管注A池，7根水管江B池.【答案】257分鐘【例19］有一項工程，甲單獨做需要36天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成.現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項工程也用了整數(shù)天.那么丙休息了天.【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】設(shè)甲、乙工作了x天，丙工作了y天，則有：(二+11+々丫=1,化簡得44x+15y=720.由于15y和720都是15的倍