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一階常微分方程初值問題的一般形式是:稱f(x,y)在區(qū)域D上對y滿足Lipschitz條件是指:利用Picard逼近容易證明:Th1若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),且對y滿足Lipschitz條件,則初值問題(1)在[a,b]上存在唯一的連續(xù)可微解y.利用Gronwall不等式易證解連續(xù)依賴于初值條件:一.Euler方法局部截斷誤差Euler方法的局部截斷誤差二.改進(jìn)的Euler方法改進(jìn)的Euler方法的局部截斷誤差整體截斷誤差8.1.2一階常微分方程初值問題的
Runge-Kutta方法考慮一階常微分方程初值問題將區(qū)域[a,b]進(jìn)行分劃：若則n級顯式Runge-Kutta方法n級顯式Runge-Kutta方法二級Runge-Kutta方法取n=2記由此得另一方面為使局部截斷誤差為,應(yīng)取改進(jìn)的Euler方法取中點(diǎn)方法取二階Heun方法取n級顯式Runge-Kutta方法二級Runge-Kutta方法取n=2記由此得另一方面為使局部截斷誤差為,應(yīng)取改進(jìn)的Euler方法取中點(diǎn)方法取二階Heun方法取二級Runge-Kutta方法不超過二階記則因此局部截斷誤差只能達(dá)到三級Runge-Kutta方法取n=3記又由于因此要使局部截斷誤差為O(h4)，必須Kutta方法取三階Heun方法取三級Runge-Kutta方法不超過三階完全類似于二級Runge-Kutta方法的分析將和都展開到項易證三級Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達(dá)到四級R-K方法取n=4經(jīng)典R-K方法局部截斷誤差為O(h5)附注二階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達(dá)到三階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達(dá)到四階Runge-Kutta方法的局部
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