表面積和體積-“黃岡杯”一等獎

1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積和體積

在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關系嗎？幾何體表面積展開圖平面圖形面積空間問題平面問題

棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h棱柱的展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖

棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱錐的展開圖側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面展開圖

棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱錐的展開圖側(cè)面展開h'h'正棱臺的側(cè)面展開圖棱柱、棱錐、棱臺的表面積

棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和．h'圓柱的表面積O圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓錐的表面積圓錐的側(cè)面展開圖是扇形O圓臺的表面積

參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么．OO’圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)三者之間關系OO’OO

圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？r’＝r上底擴大r’＝0上底縮小

以前學過特殊的棱柱——正方體、長方體以及圓柱的體積公式,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：（S為底面面積，h為高）．柱體體積一般棱柱體積也是：其中S為底面面積，h為棱柱的高．圓錐的體積公式：（其中S為底面面積，h為高）圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的．圓錐體積（其中S為底面面積，h為高）

由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的．

經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積的．即棱錐的體積：錐體體積棱臺（圓臺）的體積公式

其中，分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）的高．臺體體積柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？S為底面面積，h為柱體高S分別為上、下底面面積，h為臺體高S為底面面積，h為錐體高臺體體積上底擴大上底縮小柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和知識小結(jié)展開圖

圓臺圓柱圓錐柱體、錐體、臺體的體積錐體臺體柱體知識小結(jié)例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為______;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側(cè)面積一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，求這個三棱錐的體積.

球的體積和表面積

設球的半徑為R，則有體積公式和表面積公式R解:設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.球的體積和表面積

例1如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.1)因為2)因為球的體積和表面積

例2.已知正方體的八個頂點都