高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第四章《概率與統(tǒng)計》知識點清單

新教材人教B版2019版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章知識點清單目錄第四章概率與統(tǒng)計4.1條件概率與事件的獨立性4.1.1條件概率4.1.2乘法公式與全概率公式4.1.3獨立性與條件概率的關(guān)系.4.2隨機變量4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系4.2.2離散型隨機變量的分布列4.2.3二項分布與超幾何分布4.2.4隨機變量的數(shù)字特征4.2.5正態(tài)分布4.3統(tǒng)計模型4.3.1-元線性回歸模型4.3.2獨立性檢驗4.4數(shù)學(xué)探究活動：了解高考選考科目的確定是否與性別有關(guān)第四章概率與統(tǒng)計4.1條件概率與事件的獨立性4.1.1條件概率一、條件概率1.條件概率的概念：設(shè)A，B為兩個事件，一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B)=P(A∩B)P(B)?注意：P(A|B)與P(B|A)的意義不一樣，一般情況下，它們也不相等.二、條件概率的性質(zhì)假設(shè)A，B，C都是事件，且P(A)>0，則條件概率滿足如下性質(zhì)：(1)P(B|A)∈[0，1]；(2)P(A|A)=1；(3)如果B與C互斥，則P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A).三、條件概率的求解1.利用定義，分別求P(A)和P(A∩B)，得P(B|A)=P(A∩B)P(A)，方法.2.借助古典概型的概率公式，先求事件A包含的樣本點個數(shù)n(A)，再求在事件A發(fā)生的條件下事件B包含的樣本點個數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)=n(AB)n(A)4.1.2乘法公式與全概率公式一、乘法公式1.由條件概率的計算公式P(B|A)=P(BA)P(A)可知，P(BA)=P(A)P(B|A).一般地，稱為乘法公式.2.乘法公式的推廣假設(shè)Ai表示事件，i=1，2，3，且P(A1)>0，P(A1A2)>0，則P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發(fā)生的概率.二、全概率公式1.一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).這稱為全概率公式.2.全概率公式的推廣若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：(1)任意兩個事件均互斥，即AiAj=?，i，j=1，2，…，n，i≠j；(2)A1+A2+…+An=Ω；(3)P(Ai)>0，i=1，2，…，n.則對Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn，且P(B)=i=1nP(BAi三、貝葉斯公式*1.一般地，當(dāng)1>P(A)>0且P(B)>0時，有P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|2.貝葉斯公式的推廣若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：(1)任意兩個事件均互斥，即AiAj=?，i，j=1，2，…，n，i≠j；(2)A1+A2+…+An=Ω；(3)1>P(Ai)>0，i=1，2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)=P(四、乘法公式及其應(yīng)用1.乘法公式實質(zhì)上是條件概率公式的變形，當(dāng)P(A)>0時，已知P(A)，P(B|A)，P(AB)中的兩個就可以求得第三個.2.在利用公式P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1)(P(A1)>0，P(A1A2…An-1)>0)計算概率時，注意根據(jù)題意正確表示出相關(guān)事件并求出其中涉及的概率.五、全概率公式的應(yīng)用全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求最后結(jié)果的概率，解題步驟如下:(1)求劃分后的每個小事件的概率，即P(Ai)，i=1，2，…，n；(2)求每個小事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即P(B|Ai)；(3)利用全概率公式計算P(B)，即P(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai六、貝葉斯公式的應(yīng)用*貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P(Ai)已知；(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P(Ai|B).4.1.3獨立性與條件概率的關(guān)系.一、事件的相互獨立性當(dāng)P(B)>0時，A與B獨立的充要條件是P(A|B)=P(A).二、相互獨立事件的概率的求解求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的定義直接求解.(2)正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算.4.2隨機變量4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系4.2.2離散型隨機變量的分布列一、隨機變量1.定義：一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應(yīng)有唯一確定的實數(shù)值，就稱X為一個隨機變量.隨機變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍.2.表示：隨機變量一般用大寫英文字母X，Y，Z,…或小寫希臘字母ξ，η，ζ，…表示3.分類(1)離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值是可以一一列舉出來的，則

稱X為離散型隨機變量.(2)連續(xù)型隨機變量：如果隨機變量X的取值范圍包含一個區(qū)間，則稱X為連續(xù)型隨

機變量.二、隨機變量之間的關(guān)系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是實數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機變量.由于X=t的充要條件是Y=at+b，因此P(X=t)=P(Y=at+b).三、離散型隨機變量的分布列1.(1)定義：一般地，當(dāng)離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時，如果對任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.離散型隨機變量X的概率分布可以用表格表示為Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn這個表格稱為X的概率分布或分布列.(2)離散型隨機變量X的概率分布還可以用圖1或圖2來直觀表示，其中，圖1中，xk上的矩形寬為1、高為pk，因此每個矩形的面積也恰為pk；圖2中，xk上的線段長為pk.圖1圖22.性質(zhì)(1)pk≥0，k=1，2，…，n；(2)k=1npk=p1+p2+…+pn四、兩點分布1.兩點分布的定義一般地，如果離散型隨機變量X的分布列為X10Pp1-p其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布(或0-1分布).2.伯努利試驗一個所有可能結(jié)果只有兩種的隨機試驗，通常稱為伯努利試驗.因此兩點分

布也常稱為伯努利分布，兩點分布中的p也常被稱為成功概率.五、離散型隨機變量的分布列1.求離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出隨機變量X可能取的全部值；(2)求隨機變量X取每個值的概率；(3)寫出隨機變量X的分布列.2.兩個相關(guān)的隨機變量的分布列一般地，若X是隨機變量，則Y=f(X)也是隨機變量.已知隨機變量X的分布列，求隨機變量Y=f(X)的分布列，其關(guān)鍵是弄清X取每個值時相對應(yīng)的Y的值，若f(X)的取值出現(xiàn)重復(fù)，則需要把它們的相應(yīng)概率相加，所求即為Y的取值概率.4.2.3二項分布與超幾何分布一、二項分布1.n次獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此

時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.2.二項分布一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q=1-p，且n次獨立重

復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X=k)=Cnkpkqn-k，k=0，1，…，n，因此XX01…k…nPCn0p0Cn1p1…Cnkpk…Cnnpn由于表中的第二行恰好是二項展開式(q+p)n=Cn0p0qn+Cn1p1qn-1+…+CnkpCnnpnq0中對應(yīng)項的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作X~B(n，注意：兩點分布是一種特殊的二項分布，即n=1時的二項分布.二、超幾何分布一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N)，從所有物品中隨機取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn，k=t，t+1，…，s，則稱X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布特別地，如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時X的分布列如下表所示.X01…k…sPCC…C…C三、二項分布1.利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量；(2)分析隨機變量是否服從二項分布；(3)若服從二項分布，則求出參數(shù)n和p的值；(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.四、超幾何分布1.利用超幾何分布模型解決實際問題的一般步驟(1)辨模型：結(jié)合實際情境分析是不是不放回抽樣，且所求概率分布問題是由差異明顯的兩部分組成，如“男生、女生”“正品、次品”等，或可轉(zhuǎn)化為具有明顯差異的兩部分，只有具有該特征的概率模型才可能為超幾何分布模型.(2)算概率：可以直接借助公式P(X=k)=CMkC知識求解，借助公式求解時應(yīng)明確參數(shù)M，N，n，k的含義.(3)寫分布列：把求得的概率通過表格表示出來.4.2.4隨機變量的數(shù)字特征一、離散型隨機變量的均值1.定義：一般地，如果離散型隨機變量X的分布列如表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=i=1nxipi期望).離散型隨機變量的均值刻畫了隨機變量的平均取值.2.幾個常見均值的計算公式(1)若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則E(X)=p；(2)若隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即X~B(n，p)，則E(X)=np；(3)若隨機變量X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即X~H(N,n,M)，則E(X)=nMN(4)若X與Y都是隨機變量，且Y=aX+b(a≠0)，則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.二、離散型隨機變量的方差1.定義：如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=i=1n[xi-E(X)]2機變量X的方差，D(X)為離散型隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.離散型隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機變量的離散程度(或波動大小).2.D(X)=i=1n[xi-E(X)]2pi=i=1nxi2pi-[E(X)]3.幾個常見方差的計算公式(1)若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則D(X)=p(1-p).(2)若隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即X~B(n，p)，則D(X)=np(1-p).(3)若X與Y都是離散型隨機變量，且Y=aX+b(a≠0)，則D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).三、求離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)1.求離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的一般步驟(1)理解X的意義，并寫出X的全部取值.(2)求出X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列(有時也可省略).(4)利用定義求E(X)，D(X)(D(X)).在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為

一種比較實用的方法.2.求離散型隨機變量的均值與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)時，一般先分析隨機變量的分布特征，

看其是不是常見的特殊分布，若是，直接用公式求解；若不是，按求均值與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的一般步驟進(jìn)行求解.3.已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的一次函數(shù)η=aξ+b(a≠0)的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解.4.2.5正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.正態(tài)曲線的概念一般地，稱φ(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2(其中μ=E(X)，即X的均值；σ=D(X)2.正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低

的特點；(2)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以

曲線越“胖”；σ越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.二、正態(tài)分布1.正態(tài)分布的概念一般地，如果隨機變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對應(yīng)的正態(tài)曲線

與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ，σ2)，此時φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數(shù).2.若X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.3.“3σ原則”由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知，隨機變量X約有99.7%的可能會落在距均值3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，也就是說只有約0.3%的可能會落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結(jié)論通常稱為正態(tài)分布的“3σ原則”.三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1.μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0，1).2.任意正態(tài)分布Y~N(μ，σ2)都可以通過X=Y-μσ轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X~N(0，1)3.如果X~N(0，1)，那么對于任意a，通常記Φ(a)=P(X<a)，且有如下性質(zhì)：(1)Φ(-a)=1-Φ(a)；(2)P(|X|<a)=2Φ(a)-1；(3)P(|X|>a)=2[1-Φ(a)].四、正態(tài)分布的概率問題在正態(tài)分布下求概率的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)乩谜龖B(tài)曲線的對稱性，把待求概率的區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知概率的區(qū)間.當(dāng)條件中無已知概率時，則要將區(qū)間轉(zhuǎn)化為三個特殊區(qū)間：[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]，利用隨機變量X在這三個特殊區(qū)間取值的概率進(jìn)行計算.一般地，若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則(1)P(X≥a)=1-P(X<a)；(2)對任意的實數(shù)a，有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a)；(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X<a).五、正態(tài)分布的實際應(yīng)用利用服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間上取值的概率，可以

解決兩類實際問題：一類是估計在某一范圍內(nèi)的數(shù)量，具體方法是先確定隨機變量在該范圍內(nèi)取值的

概率，再乘樣本容量.另一類是利用“3σ原則”作決策.決策步驟如下：①確定一次試驗中取值a是否落入范圍[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)；②作出判斷，若a∈[μ-3σ，μ+3σ]，則接受統(tǒng)計假設(shè)，若a?[μ-3σ，μ+3σ]，則拒絕統(tǒng)計假設(shè).4.3統(tǒng)計模型4.3.1一元線性回歸模型一、相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系：兩個變量之間有關(guān)系，但沒有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機性，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.2.散點圖：將成對樣本數(shù)據(jù)用平面直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖稱為散點圖.3.線性相關(guān)：如果由變量的成對數(shù)據(jù)、散點圖或直觀經(jīng)驗可知，變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫，則稱x與y線性相關(guān).如果一個變量增大，另一個變量大體上也增大，則稱這兩個變量正相關(guān)；如果一個變量增大，另一個變量大體上減少，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).二、回歸直線方程1.回歸直線方程一般地，已知變量x與y的n對成對數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意給定一個一次函數(shù)y=bx+a，對每一個已知的xi，由直線方程可以得到一個估計值y^i=bxi+a，如果一次函數(shù)y^=b^x+a^能使殘差平方和即i=1n(yi-y^i)2取得最小值，則y^=b^x+a^在回歸直線方程y^=b^x+a^中，b^=i=1n(xi-x)(yi-y)2.回歸直線方程的性質(zhì)(1)回歸直線一定過點(x，y).(2)y與x正相關(guān)的充要條件是b^>0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是b^(3)b^的實際意義：當(dāng)x增大一個單位時，y^增大b三、相關(guān)系數(shù)1.對于變量x與y的n對成對數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，3，…，n，一般用r=i=1n(xi-x)(yi-y)2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1，且y與x正相關(guān)的充要條件是r>0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r<0.(2)|r|越小，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱，也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價值，即方程越不能反映真實的情況；|r|越大，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越強，也就是得出的回歸直線方程越有價值.(3)|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點都在回歸直線上.四、非線性回歸如果具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y不是線性相關(guān)關(guān)系，那么稱為非線性相關(guān)關(guān)系，所得到的方程稱為非線性回歸方程(也簡稱為回歸方程).一般地，非線性回歸方程的曲線類型可以通過作出散點圖進(jìn)行猜測，而回歸方程有時可以通過變量替換后，借助求回歸直線的過程確定.五、兩個變量相關(guān)性的判斷1.判斷兩個變量相關(guān)性的方法(1)利用散點圖判斷：通過散點圖觀察點的分布是否存在一定的規(guī)律，若點大致在一條直線附近擺動，則對應(yīng)變量線性相關(guān)，否則不具有線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)線性相關(guān)時，若點自左向右呈上升趨勢，則變量間具有正相關(guān)關(guān)系；若點自左向右呈下降趨勢，則變量間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系.(2)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷：樣本相關(guān)系數(shù)r是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量分析法.|r|刻畫了樣本點集中于某條直線的程度.|r|越接近1，散點圖中的樣本點分布越接近一條直線，兩個變量的線性相關(guān)程度越強.六、回歸直線方程的求解與應(yīng)用1.求回歸直線方程中系數(shù)的方法(1)公式法：利用公式，求出b^(2)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心(x，y2.回歸直線方程的應(yīng)用(1)利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.(2)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是回歸系數(shù)七、非線性回歸1.建立非線性回歸模型的基本步驟(1)確定研究對象，明確涉及的變量；(2)畫出確定好的變量間的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系)；(3)由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型等)；(