廣西壯族自治區(qū)河池市屏南鄉(xiāng)中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)河池市屏南鄉(xiāng)中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“數(shù)列為遞增數(shù)列”的一個充分不必要條件是（）A．B．

C． D．參考答案：D略2.設等差數(shù)列的前項和為，若，，則A．63

B．45

C．36

D．27參考答案：A3.已知中心在原點的橢圓C的一個焦點為，離心率為，則C的方程是A．

B．

C．

D．參考答案：D4.集合，，那么“”是“”的（

）．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A∵集合，，∴，∴“”是“”的充分而不必要條件．故選．5.若向量、滿足、，，則與的夾角為A． B． C． D．參考答案：C6.若，則過點可作圓的兩條切線的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.已知函數(shù)f（x）=2x﹣+cosx，設x1，x2∈（0，π），x1≠x2，且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差數(shù)列，則（）A．f'（x0）＞0 B．f'（x0）=0C．f'（x0）＜0 D．f'（x0）的符號不能確定參考答案：C【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意和求導公式及法則求出f′（x）、f″（x），由余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出f″（x）在（0，π）上遞增，求出f″（0）和f″（π）的值，判斷出f′（x）的單調(diào)性，求出f′（0）和f′（π）的值后，根據(jù)題意判斷出f（x）的單調(diào)性，由等差中項的性質(zhì)求出x0，結(jié)合f（x）單調(diào)性和f′（x）的符號得到答案．【解答】解：由題意得，f′（x）=，∴f″（x）=在∈（0，π）上遞增，又f″（0）=，f″（π）=，∴f′（x）=在∈（0，π）上先減后增，∵又f′（0）=2＞0，f′（π）=2﹣2=0，且x1，x2∈（0，π），x1≠x2，f（x1）=f（x2），∴函數(shù)f（x）在（0，π）上不單調(diào)，∵x1，x0，x2成等差數(shù)列，∴x0=（x1+x2），則f'（x0）＜0，故選C．8.己知點P在直線上，點Q在直線上，中點且，則的范圍是(

)(A)

(B)(C)

(D)參考答案：A9.函數(shù)的圖象大致為參考答案：C略10.曲線（θ為參數(shù)）的對稱中心（）A．在直線y=2x上 B．在直線y=﹣2x上C．在直線y=x﹣1上 D．在直線y=x+1上參考答案：B【考點】圓的參數(shù)方程．【專題】選作題；坐標系和參數(shù)方程．【分析】曲線（θ為參數(shù)）表示圓，對稱中心為圓心，可得結(jié)論．【解答】解：曲線（θ為參數(shù)）表示圓，圓心為（﹣1，2），在直線y=﹣2x上，故選：B．【點評】本題考查圓的參數(shù)方程，考查圓的對稱性，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不同兩點、的坐標分別為，，則線段的垂直平分線的斜率為__________，圓關于直線對稱的圓的方程為__________．參考答案：；，故直線的斜率為，由點斜式可是的方程為，圓心關于直線的對稱點為，故所求圓的方程為．12.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，，其中使得的最大值為0，則稱函數(shù)是“柯西函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；

②；③；

④.其中是“柯西函數(shù)”的為

（填上所有正確答案的序號）參考答案：①

④13.為了得到y(tǒng)=cos（2πx﹣）的圖象，只需將y=sin（2πx+）的圖象向右平移n（n＞0）個單位，則n的最小值為．參考答案：【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得n的最小值．【解答】解：為了得到y(tǒng)=cos（2πx﹣）=sin（2πx﹣+）=sin（2πx+）=sin2π（x+）的圖象，只需將y=sin（2πx+）=sin2π（x+）的圖象向右平移n（n＞0）個單位，則n的最小值為n=﹣=，故答案為：．【點評】本題主要考查誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．14.設五個數(shù)值31，37，33，a，35的平均數(shù)是34，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________．參考答案：15.設直線3x+4y﹣5=0與圓C1：x2+y2=9交于A，B兩點，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧AB上，則圓C2半徑的最大值是

．參考答案：2【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】先根據(jù)圓C1的方程找出圓心坐標與半徑R的值，找出圓C2的半徑的最大時的情況：當圓c2的圓心Q為線段AB的中點時，圓c2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧AB上，設切點為P，此時圓C2的半徑r的最大，利用距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d，然后根據(jù)兩圓內(nèi)切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C2的半徑最大值．【解答】解：由圓C1：x2+y2=9，可得圓心O（0，0），半徑R=3如圖，當圓c2的圓心Q為線段AB的中點時，圓c2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧AB上，設切點為P，此時圓C2的半徑r的最大．則兩圓心之間的距離OQ=d=．因為兩圓內(nèi)切，所以圓c2的最大半徑r=3﹣d=3﹣1=2故答案為：216.已知在四面體中，分別是的中點，若，則與所成的角為

參考答案：略17.已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F（1，0），點F關于直線y=x的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為．參考答案：+=1【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，設點F（1，0）關于直線y=x的對稱點為（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及中點坐標公式，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程．【解答】解：設橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，即a2﹣b2=1，設點F（1，0）關于直線y=x的對稱點為（m，n），可得=﹣2，且n=?，解得m=，n=，即對稱點為（，）．代入橢圓方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得橢圓的方程為+=1．故答案為：+=1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，且函數(shù)圖象過點.

(I)求的值；

(II)將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：(I);(II)

19.某籃球隊甲、乙兩名隊員在本賽零已結(jié)束的8場比賽中得分統(tǒng)計的莖葉圖如下：（Ⅰ）比較這兩名隊員在比賽中得分的均值和方差的大?。唬á颍┮陨鲜鰯?shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名隊員得分超過15分的頻率作為概率，假設甲、乙兩名隊員在同一場比賽中得分多少互不影響，預測在本賽季剩余的2場比賽中甲、乙兩名隊員得分均超過15分次數(shù)X的分布列和均值．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標準差；n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率；離散型隨機變量及其分布列．專題：計算題．分析：（Ⅰ）由甲=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，乙=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，S2甲=[（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，S2乙=[（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25．能比較比較這兩名隊員在比賽中得分的均值和方差的大小．（Ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，在一場比賽中，甲、乙得分超過15分的概率分別為p1=，p2=，兩人得分均超過15分的概率分別為p1p2=，依題意，X～B（2，），由此能預測在本賽季剩余的2場比賽中甲、乙兩名隊員得分均超過15分次數(shù)X的分布列和均值．解答： 解：（Ⅰ）由莖葉圖知：甲=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，乙=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，S2甲=[（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，S2乙=[（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25．甲、乙兩名隊員的得分均值相等；甲的方差較大（乙的方差較?。á颍└鶕?jù)統(tǒng)計結(jié)果，在一場比賽中，甲、乙得分超過15分的概率分別為p1=，p2=，兩人得分均超過15分的概率分別為p1p2=，依題意，X～B（2，），P（X=k）=（）k（）2﹣k，k=0，1，2，…∴X的分布列為X012

P…X的均值E（X）=2×=．…點評：本題考查概率的求法和求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是歷年2015屆高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）離心率為，右焦點為F（c，0）到直線x=的距離為1（Ⅰ）求橢圓C的方程（Ⅱ）不經(jīng)過坐標原點O的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB中點在直線y=x上，求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由題意列關于a，c的方程，求解得到a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）當直線AB為x軸時，經(jīng)過原點，與題意矛盾，設直線AB為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由線段AB中點在直線y=x上求得k，然后由弦長公式求得AB的長度，再由點到直線的距離公式求得O到直線AB的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△OAB面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，，解得：a=，c=1，b=1，∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），當直線AB為x軸時，經(jīng)過原點，與題意矛盾，設直線AB為y=kx+m，聯(lián)立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴，，．把（x0，y0）代入y=x中得，得k=﹣1．此時3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，，．|AB|=，O到直線AB的距離d=．∴S△OAB==，∵0＜m2＜3，∴S△OAB=，當且僅當m2=3﹣m2，即m=時，△AOB的面積最大值為．【點評】本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查三角形面積的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，R,R．（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．參考答案：略22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若a＞0，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一個零點，求實數(shù)a的值；（3）若0＜a＜1，對于區(qū)間[1，2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值問題；（2）求出h（x）的導數(shù)，求出h（x）的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，得到函數(shù)m（x）=2lnx+x﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為h（x）在[1，2]遞增，求出函數(shù)的導數(shù)，分離參數(shù)得到a≤在[1，2]恒成立，令t=x+1∈[2，3]，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f′（x）=，當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，f（x）無極值，當a＞0時，x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，∴f（x）有極小值f（）=a﹣alna，綜上：a≤0時，f（x）無極值，a＞0時，f（x）極小值=a﹣alna，無極大值；（2）令h（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，則h′（x）=，∵a＞0，令h′（x）=0，解得x0=，∴h（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，∴h（x）在x0處取得極小值h（x0）=0，∴﹣2alnx0﹣2ax0=0且2﹣2ax0﹣2a=0，聯(lián)立可得：2lnx0+x0﹣1=0，令m（x）=2l