如何在統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中

如何在統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月1.統(tǒng)計(jì)物理發(fā)展簡(jiǎn)況

熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理從建立到現(xiàn)在已經(jīng)有一百多年了。學(xué)科不斷發(fā)展：不僅應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，小到原子核，大到宇宙；從物理學(xué)到其它自然科學(xué)(化學(xué)，生物，信息科學(xué),…)；而且，學(xué)科本身也有了許多重大的發(fā)展，包括概念，理論和方法。自頒發(fā)Nobel獎(jiǎng)以來，直接因?qū)y(tǒng)計(jì)物理學(xué)作出重大開創(chuàng)性貢獻(xiàn)而獲Nobel物理獎(jiǎng)的有兩項(xiàng)(RG,BEC)，化學(xué)獎(jiǎng)的兩項(xiàng)(Onsager,

Prigogine)。因此，在教學(xué)內(nèi)容上理應(yīng)有所反映。這一點(diǎn)是大家的共識(shí)。第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月下面讓我們簡(jiǎn)單地回顧一下統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)況。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)建立于19世紀(jì)下半葉，主要是Maxwell,

Boltzmann和Gibbs

的貢獻(xiàn)。平衡態(tài)的最普遍理論是Gibbs的統(tǒng)計(jì)系綜理論（1902）；非平衡態(tài)的理論以Boltzmann方程和H-定理為核心，不像系綜理論那么普遍，僅適用于稀薄氣體。應(yīng)該指出，玻氏方程和H-定理的意義重大，涉及統(tǒng)計(jì)物理的基本問題：趨于平衡的不可逆性。第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月量子力學(xué)的建立與量子統(tǒng)計(jì)的建立有著相互依賴，相互促進(jìn)的復(fù)雜關(guān)系。

1900年，Planck在研究黑體輻射譜的統(tǒng)計(jì)理論中提出了量子假說，當(dāng)時(shí)他用的是Boltzmann統(tǒng)計(jì)。隨后，Einstein(1907),Debye(1912)和Born與vonKarman（1912，1913）應(yīng)用Boltzmann統(tǒng)計(jì)及能量量子化研究了固體比熱。有意思的是：量子假說的提出并不是從原子光譜的研究，而是從黑體輻射的統(tǒng)計(jì)理論。為什么？參看：A.Pais的“SubtleistheLord…”(方在慶等譯“上帝難以捉摸——愛因斯坦的科學(xué)與生活”第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1905年，Einstein提出了光量子的假說，這篇論文是唯一被愛氏自己稱為革命性貢獻(xiàn)的。它也源于黑體輻射。愛氏根據(jù)Wien區(qū)（高頻區(qū)）內(nèi)的輻射與經(jīng)典實(shí)物粒子的經(jīng)典理想氣體的類比，而提出光量子假說，并用以解釋了光電效應(yīng)。

1924年，Bose提出了一種新的統(tǒng)計(jì)方法（這是在量子力學(xué)建立以前），重新推導(dǎo)了Planck的黑體輻射公式，1925年，Einstein推廣了Bose的統(tǒng)計(jì)方法(以后被稱為Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)），把它用到理想原子氣體，并從理論上預(yù)言了一種新的凝結(jié)現(xiàn)象（以后被稱為Bose-EinsteinCondensation）.

第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1926年，F(xiàn)ermi提出了另一種符合Pauli不相容原理的統(tǒng)計(jì)方法，稍后，Dirac獨(dú)立地提出了同樣的統(tǒng)計(jì)方法（以后被稱為Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)），并論證了Bose統(tǒng)計(jì)和Fermi統(tǒng)計(jì)與多粒子體系波函數(shù)對(duì)稱性之間的關(guān)系。對(duì)Bose統(tǒng)計(jì)和Fermi統(tǒng)計(jì)與粒子自旋之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)要晚的多，是1945年由Pauli論證的。第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1927年，VonNeumann提出了密度矩陣的概念，證明密度矩陣的作用類似于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)系綜的幾率密度，他還推導(dǎo)出量子的Liouville方程。Landau與Kramers,Pauli等人對(duì)量子統(tǒng)計(jì)系綜的建立也作出了重要的貢獻(xiàn)。至此，量子統(tǒng)計(jì)系綜理論的理論框架已經(jīng)建立起來了.1929年出版的Fowler的“統(tǒng)計(jì)力學(xué)”反映了當(dāng)時(shí)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的幾乎所有的主要成果?？梢哉f是一部（當(dāng)時(shí)的）統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的“百科全書”。

第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月下面列舉從1930s年代以來統(tǒng)計(jì)物理的若干主要進(jìn)展（不完全）：

稠密氣體和液體（經(jīng)典與量子）嚴(yán)格可解模型元激發(fā)的概念和方法*負(fù)絕對(duì)溫度*線性響應(yīng)理論相變和臨界現(xiàn)象*

第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

各態(tài)歷經(jīng)問題稀薄原子氣體的玻色－愛因斯坦凝聚（BEC）*介觀體系中的統(tǒng)計(jì)問題*天體物理和宇宙學(xué)中的統(tǒng)計(jì)問題混沌，分形,滲流，……

凝聚態(tài)物理中的統(tǒng)計(jì)問題（許多許多）軟凝聚物質(zhì)（高分子，液晶……）非平衡相變（遠(yuǎn)離平衡態(tài)）交叉學(xué)科中的統(tǒng)計(jì)問題（經(jīng)濟(jì)學(xué)，社會(huì)學(xué)，…）計(jì)算機(jī)模擬（MonteCarlo,分子動(dòng)力學(xué)，…）

………第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

如何適當(dāng)反映學(xué)科的發(fā)展？

四大力學(xué)中，統(tǒng)計(jì)物理與量子力學(xué)從學(xué)科發(fā)展看，最為突出。這對(duì)教學(xué)是很有利的，有可能給學(xué)生展示豐富多彩的內(nèi)容，并體會(huì)學(xué)科的生命力。

統(tǒng)計(jì)物理的基本原理并不復(fù)雜，平衡態(tài)的理論框架也很簡(jiǎn)單（等幾率原理，幾種系綜，配分函數(shù)與巨配分函數(shù)，分布與關(guān)聯(lián)函數(shù)）。但是，對(duì)有相互作用的體系，如何計(jì)算是相當(dāng)困難的任務(wù)。必須抓住物理主要矛盾，作合理的近似，這是最難的。在本科教學(xué)中，這部分介紹得很少。

由于課程的性質(zhì)，學(xué)時(shí)的限制，以及學(xué)生的基礎(chǔ)，顯然不可能把學(xué)科發(fā)展的內(nèi)容簡(jiǎn)單地搬過來，只能選擇少量的內(nèi)容。如何做才恰當(dāng)，是一個(gè)需要研究和嘗試的問題。我們?cè)诮虒W(xué)中，作了一些嘗試。這里想和大家討論。下面結(jié)合幾個(gè)例子來具體說明。

第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例一．元激發(fā)的概念和方法*

1940s和50s年代，在研究相互作用多粒子系統(tǒng)（凝聚體系：固體和液體）的低溫性質(zhì)中，發(fā)展了元激發(fā)或準(zhǔn)粒子的概念和方法。如聲子,旋子，準(zhǔn)電子，準(zhǔn)空穴，磁波子,激子,等離子激元，極化激元,激化子，等等。在足夠低的溫度下（“足夠低”是相對(duì)于某一特征能量而言的），元激發(fā)之間的相互作用很弱，可以忽略，以致可以近似當(dāng)作元激發(fā)的理想氣體。在元激發(fā)近似適用的條件下，相互作用多粒子系統(tǒng)的低溫性質(zhì)可以搬用近獨(dú)立子系的理論來處理，使理論處理大為簡(jiǎn)化。完全的理論處理必須知道元激發(fā)的能譜和服從的統(tǒng)計(jì)。這可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果去猜；或從理論上去求，最系統(tǒng)的方法是場(chǎng)論方法。第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

在課程中，我們只介紹一點(diǎn)元激發(fā)的概念，說明某一種（幾種）元激發(fā)的能譜及所服從的統(tǒng)計(jì)，然后就用Fermi或Bose分布計(jì)算。目的在于擴(kuò)大學(xué)生的眼界，也加深對(duì)Fermi分布和Bose分布性質(zhì)的理解。例如，對(duì)固體比熱的Debye理論，可以用波的圖像及玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，還可以用聲子的圖像和玻色統(tǒng)計(jì)處理。并可將二者加以對(duì)比。其它一些元激發(fā)理想氣體的例子可以放在習(xí)題中讓學(xué)生去練習(xí)。至于元激發(fā)的能譜和服從的統(tǒng)計(jì)如何從理論上去求，不是本科課程的任務(wù)。第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例二：負(fù)絕對(duì)溫度*1951年,Pursell&Pound在很純的LiF晶體的核自旋系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了負(fù)絕對(duì)溫度的狀態(tài),1956年Ramsey提出了有關(guān)負(fù)絕對(duì)溫度的熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)理論?，F(xiàn)在，幾乎所有的大學(xué)統(tǒng)計(jì)物理都介紹這部分內(nèi)容。由于理論比較簡(jiǎn)單，只需稍稍化簡(jiǎn)，即可移植到教學(xué)中。物理學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，新的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)促使人們重新認(rèn)識(shí)原有的概念。什么條件下可以把整個(gè)體系分為核自旋系統(tǒng)和晶格系統(tǒng)，并實(shí)現(xiàn)核自旋系統(tǒng)的負(fù)絕對(duì)溫度？第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

實(shí)現(xiàn)負(fù)絕對(duì)溫度的條件（相當(dāng)苛刻）：（1）系統(tǒng)的能量有上界；（2）系統(tǒng)與環(huán)境隔絕（至少一段時(shí)間）；（3）系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)平衡。（2）（3）相當(dāng)于系統(tǒng)本身達(dá)到平衡的弛予時(shí)間遠(yuǎn)小于系統(tǒng)與環(huán)境之間達(dá)到平衡的弛予時(shí)間。今為：實(shí)際上只有滿足以上條件，劃分才有意義。對(duì)LiF晶體：

今局部平衡的兩個(gè)系統(tǒng)占據(jù)同樣的空間，對(duì)應(yīng)不同的自由度（可與局部平衡的其它例子比較）。激光依靠泵浦形成二特定能級(jí)占據(jù)數(shù)反轉(zhuǎn)，實(shí)為非平衡態(tài)。故“占據(jù)數(shù)反轉(zhuǎn)的態(tài)就是負(fù)溫度態(tài)”的說法是不對(duì)的。第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例三：臨界現(xiàn)象和重整化群*從三十年代開始，相變和臨界現(xiàn)象的研究就是統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)重要的傳統(tǒng)課題，也是一個(gè)大的方面，函蓋的現(xiàn)象極廣。由于相變理論必須考慮粒子之間的相互作用（理想Bose氣體的BEC除外），使理論處理相當(dāng)困難，這也是為什么通常把相變和臨界現(xiàn)象稱為合作現(xiàn)象的原因。從三十年代開始，提出了一些模型和最簡(jiǎn)單的理論——平均場(chǎng)理論，以及在平均場(chǎng)理論基礎(chǔ)上的改進(jìn)，以及發(fā)展各種級(jí)數(shù)展開方法（如低溫展開，高溫展開等。原則上需要找小參量）。四十年代Onsager關(guān)于2D-Ising模型的嚴(yán)格解（曾被批評(píng)為象牙塔里的研究，后來認(rèn)識(shí)到是很有意義的）。五十年代由于實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)，積累了許多有關(guān)臨界現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（由于臨界慢化，在臨界點(diǎn)的鄰域要得到比較準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是相當(dāng)困難的）。嚴(yán)格解，級(jí)數(shù)展開和實(shí)驗(yàn)三方面，使研究人員認(rèn)識(shí)到冪律能正確地描寫臨界點(diǎn)鄰域的行為。第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

臨界現(xiàn)象的特征，挑戰(zhàn)性的問題：從平滑的哈密頓量出發(fā)，計(jì)算的配分函數(shù)，所得到的熱力學(xué)函數(shù)如何會(huì)出現(xiàn)奇異性？（Onsager2D-Ising

模型的嚴(yán)格解第一次對(duì)一個(gè)非平庸的問題，證明了在熱力學(xué)極限下才會(huì)出現(xiàn)奇異性）連續(xù)相變的對(duì)稱性自發(fā)破缺，圖像？機(jī)制？關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度在時(shí)趨于無窮，后果？標(biāo)度律；普適性，普適類由什么決定？標(biāo)度變換；

…………………..SeeKadanoff:StatisticalPhysics(2000,WorldScientific)第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月六十年代，通過實(shí)驗(yàn)與理論的工作，建立起臨界現(xiàn)象的標(biāo)度理論。后者又提出了新的問題：為什么只需要兩個(gè)獨(dú)立的臨界指數(shù)？如何從理論上確定它們？經(jīng)過Kadanoff，F(xiàn)isher等人的努力，最后，1971年K.Wilson發(fā)展了完整的重整化群（RenormalizationGroup）理論。重整化群理論與傳統(tǒng)的相變理論不同，在概念和方法上另辟蹊徑，具有強(qiáng)大的威力，已成為研究臨界現(xiàn)象的有力理論方法，Wilson也因此而獲得1981年的Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。重整化群理論還得到廣泛的應(yīng)用（凝聚態(tài)物理，宇宙學(xué)，……)。在熱力學(xué)課程中，通常會(huì)簡(jiǎn)單介紹Landau的相變理論，Landau引入序參量統(tǒng)一地描述一階和二階相變。對(duì)重整化群理論，認(rèn)真的講不可能，內(nèi)容超出大學(xué)本科水平。只能介紹一點(diǎn)相關(guān)的概念，如臨界指數(shù)，標(biāo)度律，普適性等。也許可以講一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的一維的例子，用選擇性消去法(Decimation)，因?yàn)閷W(xué)時(shí)不夠，沒有試過.

作為科學(xué)報(bào)告的形式，給學(xué)生介紹過。

第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例四：稀薄原子氣體的玻色－愛因斯坦凝聚*歷史的回顧:

1924年，Bose對(duì)黑體輻射（光子氣體）提出一種新的數(shù)態(tài)的方法，重新導(dǎo)出Planck輻射公式。投稿被拒后，求助于Einstein.Einstein將該文譯成德文，并加注“是一個(gè)重要的進(jìn)展”。

1924－25，Einstein將該方法推廣到實(shí)物粒子，相繼發(fā)表了兩篇文章（注），即“單原子理想氣體的量子理論”（一）（二），在文（二）中，理論上預(yù)言了“condensation”,后來被稱為Bose-EinsteinCondensation(BEC).其實(shí)，預(yù)言“condensation”

與Bose無關(guān)，應(yīng)該稱為“EinsteinCondensation”

更合適。

1925－30s末，BEC的理論受到批評(píng)。注：見Einstein文集第二卷

第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1938年，F(xiàn).London提出液氦的超流與金屬的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變可以近似理解為BEC，此后逐漸被接受。

1940s－1960s,Bogoliubov,Penrose,Schafroth,Lee&Yang等人研究了弱相互作用Bose氣體的BEC。

1976,MIT,Netherland,Canada等幾個(gè)研究組開始探索用自旋極化原子氫實(shí)現(xiàn)BEC的可能。其間，發(fā)展了Lasercooling等方法。1998年實(shí)現(xiàn)BEC。

1980s,開始探索用堿金屬原子氣體的道路。

1995年，Colorado大學(xué)的Cornell和Wieman首先在銫原子氣體中實(shí)現(xiàn)了BEC。同年稍后，MIT的Ketteler在鈉原子氣體中觀察到BEC.

他們?nèi)斯餐@得2001年Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。

第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（均勻）理想Bose氣體的BEC（教科書）:

凝聚溫度:

溫度必須低于臨界溫度，才能實(shí)現(xiàn)BEC.第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

Einstein的理論為什么當(dāng)年受批評(píng)？

氣體凝聚成液體需要依靠分子之間的相互作用力。對(duì)理想氣體，粒子之間的相互作用已被忽略，如何發(fā)生凝聚？Einstein自己已意識(shí)到這一點(diǎn)，他寫到“……這個(gè)公式間接地表達(dá)了一個(gè)確定的假設(shè)，即認(rèn)為分子以暫時(shí)還完全難以捉摸的方式相互影響著，……”

由于歷史條件，當(dāng)時(shí)還不知道全同多粒子系存在（量子起源的）統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)：對(duì)bosons是有效吸引；而fermions是有效排斥。因此，即使沒有動(dòng)力學(xué)相互作用，仍可在一定條件下由于有效相互作用而發(fā)生凝聚現(xiàn)象。這是一種純粹量子起源的相變。

第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)現(xiàn)BEC究竟有多難？

Oven500KLaserCooling50

EvaporativeCooling5001BEC（體）第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)現(xiàn)BEC實(shí)際上極困難。原則上，如能將氣體冷到使但大多數(shù)情況下，在遠(yuǎn)高于BEC的到達(dá)以前，已發(fā)生液化甚至固化的相變。為了實(shí)現(xiàn)原子氣體的BEC,必須用極稀薄的氣體，且要求二體彈性碰創(chuàng)的弛予時(shí)間遠(yuǎn)小于形成分子或原子集團(tuán)的非彈性碰創(chuàng)的弛予時(shí)間堿金屬原子氣體第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月原子氣體BEC的基本特征

均勻IBG的BEC

Na原子氣體的BEC純量子性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)＋弱相互作用動(dòng)量空間凝聚諧振子約束勢(shì)動(dòng)量空間與坐標(biāo)空間凝聚點(diǎn)粒子復(fù)合粒子多組分，SpinorBEC

T=0K,全部粒子凝聚到單粒子基態(tài)，BEC(體)100%純?nèi)跖懦庀嗷プ饔煤暧^波函數(shù)達(dá)～99％

滿足熱力學(xué)極限

有限體系第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月新領(lǐng)域的開辟(1)新的量子流體（氣體）非均勻約束；有排斥或吸引的相互作用；多組分，spinor；超流；……(2)AtomLaser,AtomOptics(3)Newatom/MoleculeBEC(4)NewCooling,trapping……(5)Applicationsprecisionmeasurement,nanotechnology,……NobelLectures:Cornell&Wieman,RMP74,875(2002);Ketterle,RMP74,1131(2002)第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例五．介觀體系中的統(tǒng)計(jì)問題*介觀體系的大小介于宏觀與微觀之間，其基本特征是：粒子保持位相相干（位相記憶）的特征長(zhǎng)度大于體系的尺度。因而量子相干效應(yīng)對(duì)其輸運(yùn)及其它性質(zhì)有重要影響。位相相干長(zhǎng)度依賴于溫度等因素，對(duì)于低溫下的高品質(zhì)的半導(dǎo)體，介觀體系的尺度可以從幾十納米到幾微米。由于微加工技術(shù)的發(fā)展，各種人造介觀體系成功實(shí)現(xiàn)，使介觀物理的研究成為一個(gè)十分活躍的研究領(lǐng)域。它不僅能為新一代的介觀或納米器件提供物理基礎(chǔ)，而且具有重要的基礎(chǔ)研究意義。

第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課