相似矩陣與矩陣可對角化的條件-1課件

§4.2相似矩陣與矩陣可對角化的條件定義4.3設(shè)A,B是n階矩陣,（一）相似矩陣及其性質(zhì)例如

如果存在n階可逆矩陣P,

成立,則稱矩陣A與B

相似,使得記為2)只要能找到可逆矩陣P,滿足注意:

3)P=若干個初等矩陣的乘積經(jīng)過k次列變換,存在可逆矩陣P,使得

k次相應(yīng)的行變換后1)只有同階方陣才有可能相似就有例1若已知

，與A相似的矩陣有多少？P1－1AP1

與A相似.

如果P1,P2,P3,P4,…都是可逆矩陣，則解如果P是可逆矩陣，可逆矩陣有許多,例單位矩陣I只與自己相似,

則P－1AP與A相似,P2－1AP2,P3－1AP3,P4－1AP4……都只與自己相似故與A相似的矩陣有許多.“相似”是矩陣之間的一種關(guān)系，證(1)由

（1）反身性：對任意方陣A,有（2）對稱性：若（3）傳遞性：若

則(2)由

知

(3)由

知，

由

知，有性質(zhì)：則相似矩陣有如下性質(zhì)：1）相似矩陣有相同的秩:2）相似矩陣的行列式相等.3）相似矩陣有相同的特征多項式.4）相似矩陣有相同的特征值.5）相似矩陣或都可逆或者都不可逆，6）A~B8）A~B當(dāng)它們都可逆時，它們的逆矩陣也相似.A與B可逆性相同,當(dāng)它們都可逆時，AT~BTk為任意非負(fù)整數(shù).7）A~B其中f(A)和f(B)分別是A,B的多項式.證1)由A~B知,∴秩(A)=秩(B)

2)由A~B知

5)由A~B知

A可逆B可逆由B=P－1AP∴A－1~B－1B=P－1AP3)由A~B知,B=P－1AP當(dāng)k=2,3,4,…時,由=P－1AkP

6)當(dāng)k=0時當(dāng)k=1時∴Ak

~Bk7)由A~B知B=P－1AP∴AT~BT8)由A~B知B=P－1AP∴f(A)

~f(B)BA所有與A相似的矩陣它們有許多共同的性質(zhì)所有與B相似的矩陣它們有許多共同的性質(zhì)找一個最簡單的（二）n階矩陣與對角矩陣相似的條件其中是否有定義如果矩陣A～則稱A可對角化.矩陣A可對角化存在可逆矩陣P,使得此時,A與Λ有相同的特征值。矩陣A可對角化Λ的特征值為故A的特征值為即如果矩陣A可對角化，A~對角矩陣Λ則Λ的主對角線上的元素為矩陣A的特征值.是對應(yīng)于2的特征向量是對應(yīng)于3的特征向量2和3為A的全部特征值.例1×22×21×2對應(yīng)于不同特征值線性無關(guān).可逆對角矩陣

定理4.3n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充分必要條件是A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量A有n個線性無關(guān)的特征向量.A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量證必要性設(shè)即存在可逆矩陣P,使得1×n

n×n

∵P可逆λ1

是A的特征值A(chǔ)可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量充分性設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量∴P可逆是A的n個線性無關(guān)的特征向量設(shè)設(shè)是相應(yīng)的特征值A(chǔ)可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量推論若矩陣A有n個相異的特征值證設(shè)所以A可對角化.A不可對角化A沒有n個線性無關(guān)的特征向量A有n個相異的特征值A(chǔ)可對角化注意特征值:1=2=－2,3=4是對應(yīng)于特征值－2的兩個特征向量是對應(yīng)于4的特征向量矩陣A可對角化.AP=P=-2:線性無關(guān)的=4:P可逆,=(－2)2特征值：為對應(yīng)于特征值0的全部特征向量即為對應(yīng)于2的全部特征向量矩陣A不可對角化.例=0:=2:1=0,2=3=2課堂練習(xí)特征值：4，-2=-2:=4:是對應(yīng)于4的特征向量是對應(yīng)于-2的特征向量矩陣A可對角化.AP=P線性無關(guān)時,A可對角化.時,A不可對角化.設(shè)對應(yīng)于1對應(yīng)于2對應(yīng)于k

可以證明：設(shè)A可對角化.最多有l(wèi)1個線性無關(guān)的最多有l(wèi)2個線性無關(guān)的最多有l(wèi)k個線性無關(guān)的個,特征向量.特征向量.特征向量.

定理4.6矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是:方程A可對角化.對A的每一個nj重特征根j

的基礎(chǔ)解系含解向量的個數(shù)為特征值:1=2=－2,3=4是對應(yīng)于特征值－2的兩個是對應(yīng)于4的特征向量-24矩陣A可對角化.AP=P線性無關(guān)的特征向量

(－2)2特征值：為對應(yīng)于特征值0的為對應(yīng)于2的全部矩陣A不可對角化.例1=0,2=3=202全部特征向量特征向量特征值：1=2=1,3=4=2=1:是對應(yīng)于1的兩個線性無關(guān)的特征向量.例可化為特征值：=2:是對應(yīng)于2的兩個1=2=1,3=4=2線性無關(guān)的特征向量.可化為對應(yīng)于1的對應(yīng)于2的線性無關(guān)矩陣A可對角化.AP=P線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量特征值：1=2=1,3=4=2應(yīng)滿足的條件。例4設(shè)矩陣可相似于一個對角矩陣，試討論解：矩陣的特征多項式為特征值為，（二重），系數(shù)矩陣的秩為1。

由可相似于一個對角矩陣知屬于1的線性無關(guān)特征向量應(yīng)有兩個。于是，對應(yīng)齊次線性方程組由應(yīng)滿足的條件。知必有，這是所給矩陣可相似于一個對角矩陣形如的矩陣都是可對角化矩陣。模仿本例，所滿足的條件?？捎懻撈渌仃囋趯腔仃嚰僭O(shè)下基礎(chǔ)解系。并求。例5判斷矩陣是否可相似于一個對角矩陣，（二重）。解：矩陣的特征多項式為特征值為，對于，解齊次線性方程組，得到對于，解齊次線性方程組，得到基礎(chǔ)解系。于是得到三個線性無關(guān)的特征向量，因此它可以相似一個對角矩陣。且有從而有(三）關(guān)于約當(dāng)形矩陣定義4.4形如的方陣稱為約當(dāng)塊分塊對角矩陣如果所有都是約當(dāng)塊,則稱J為約當(dāng)形