中定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用d3 5極值最值

第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值第三章二、函數(shù)的極值及其求法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)定義:(1)(2)當(dāng)x

?

(x0

)時(shí)則稱

為 的極大點(diǎn)

,稱 為函數(shù)的極大值

;則稱

為 的極小點(diǎn)

,稱 為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).注意:函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).或結(jié)論:若函數(shù)

在x0

點(diǎn)取到極值,則不存在.注意:ab局部性質(zhì)導(dǎo)數(shù)為0

或不存在的點(diǎn)例如機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放\暫停定理1

(極值第一判別法)設(shè)函數(shù)f

(x)在x0

的某鄰域內(nèi)連續(xù),且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),當(dāng)x由小到大通過x0

時(shí),f

(x)“左正右負(fù)”,則f

(x)在x0

取極大值.f

(x)“左負(fù)右正”,則f

(x)在x0

取極小值;f

(x)“左右同號(hào)”,則x0不是極值點(diǎn).(自證)求連續(xù)函數(shù)極值的一般步驟∶機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束確定函數(shù)的定義域.在定義域求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),用這些點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)部分區(qū)間.求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)大于零或小于零的區(qū)間.列表,在各部分區(qū)間內(nèi)根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),利用定理1進(jìn)行判別這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn),最后求極值.例1.解:定理2

(極值第二判別法)-+證:例2.解:定理3

(判別法的推廣)0f

(n)

(x

)

?

0,n為偶數(shù)n為奇數(shù)證:+-例如,都是充分的.說明:例如:二、最大值與最小值問題極值可疑點(diǎn) 端點(diǎn)最大值最小值特別:?一個(gè)?單調(diào)(小)?實(shí)際意義(小)f

(x)

=

x40

<例3.解:f

￠(x)

=

2

6xx1

=

0,

x2

=1,

x3

=

22故函數(shù)在

x

=

0

取最小值

0

;

在

x

=1及5

取最大值-18x

+12

=

6(x

-1)(x

-

2),

-

6x2

+18x

-12=

-6(x

-1)(x

-

2),

-

1

￡521

2-14例3.說明:(自己練習(xí))例4.20B100CA

x解:2

-

3),y￠=

5

k(x

=15AD

=15

km

時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.D例5.

光線在介質(zhì)中總是沿著耗時(shí)最少的路徑傳播.一束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束光線由空氣中A點(diǎn)經(jīng)過水面到達(dá)B點(diǎn),已知光在空氣中和水中的傳播速度分別為v1和v2

,試確定光線傳播的路徑.q1q2o

xBAh12h解:建立坐標(biāo)系(如圖),光從A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為C

D機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又在[0,l]上連續(xù),由介值定理,在(0,l)內(nèi)存在點(diǎn)唯一的零

且是 在(0,

l)內(nèi)的唯一極小值點(diǎn),從而也是[0,l]上的最小值點(diǎn).而由得于是（折射定律）例6.解:hbdFa例7.P解:j

(a

)

=

cosa

+

m

sinaj

(a

)j

(a)

<

0,F解:FaPj

(a

)

=

cosa

+

m

sinaj

(a

)例8.xq解:q

=

0,x

=

2.4

?

(0,

+￥

)2.4

m內(nèi)容小結(jié)正

負(fù)負(fù)

正大小大小-+(

Th.3)思考與練習(xí)1.B提示:2.D提示:3.提示:f

(x0

)

=

-4