應用數(shù)學基礎第二章

第二章

積分學第一部分：不定積分原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的運算法則不定積分的換元法不定積分的分部積分法1/22微分學{導數(shù)微分積分學{不定積分定積分2/22例(sin

x)=cos

x

,"

x

?

(-￥

,+￥

),一、原函數(shù)與不定積分的概念定義若在I

上恒有F￠(x)=f(x),則稱F(x)為f(x)在I

上的一個原函數(shù)。\sin

x

是cos

x

在I

=(-￥

,+￥

)上的一個原函數(shù)。因為

: (sin

x

+

c)

=

cos

x,故

sin

x

+

c

也是cosx

在R上的原函數(shù)。3/22考慮原函數(shù)的表達式：設F

(x)為f

(x)在I

上的一個原函數(shù)，則G(x)為f

(x)在I

上的一個原函數(shù)"

x

?

IG(

x)

-

F

(

x

)

=

CG

(

x)

=

f

(

x)

=

F

(

x)(G(

x)

-

F

(

x

))

=

0G(

x)

=

F

(

x)

+

C

.\f

(x)在I

上的原函數(shù)全體為{F

(x)+C

|

C

?

R},其中F

(x

)為f

(x

)在I

上的任一個原函數(shù),\f

(x)在I

上的原函數(shù)具有一般表達式：F

(x)+C

.4/22任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：

f

(x)dx=F(x)+C被積表達式積分變量稱f

(x)在I

上帶有任意常數(shù)的原函數(shù)（即所有原函數(shù)）為f

(x)在

I

上的不定積分，記為

f

(x)dx

.5/22求不定積分是求導數(shù)的逆運算由定義馬上得到下列關系式(

f

(

x)dx

)￠=

f

(

x)

f

￠(x)dx

=

f

(x)

+c

df

(

x

)

=

f

(

x

)

+

c例1求

d

x

(=

1dx

).解

x

=

1

,

x

?

I

=

(

-￥

,+￥

),\

x

為1

在

I

=

(

-￥

,+￥

)上的

一個原函數(shù)

,x

?

(

-￥

,+￥

).x

?

(

-￥

,+￥

),x

?

(

-￥

,+￥

).)\

dx

=

x

+

C,(

又

(

x

+

1)

=

1,\

dx

=(

x

+

1)

+

C,注檢驗積分結(jié)果正確與否的基本方法是：積分結(jié)果的導函數(shù)=被積函數(shù)。7/22注

f

(

x)的一個原函數(shù)的圖形稱為

f

(

x)的一條積分曲線.求不定積分得到一個積分曲線族y=F(x)+C.y=F(x)+C斜率f(x)y=F(x)x9/22基本積分表積分運算和微分運算是互逆的，因此，對每一個導數(shù)公式都可以得出一個相應的積分公式。將基本導數(shù)公式從右往左讀，（然后稍加整理）可以得出基本積分公式（基本積分表）。11/22(1)

kdx

=

kx

+

C(k是常數(shù));(2)

xm

dx

=x1(4)1

-

x21

+

x21dx

=arctan

x

+

C

=

-arccot

x+

C;dx

=arcsin

x

+

C

=

-arccos

x

+

C;(5)基本

(3)積分表

cos

xdx

=

sin

x

+

C;

sin

xdx

=

-

cos

x

+

C;(6)(7)12/22

dx

=

ln

|

x

|

+C;+

C

(m

?

-1);m

+

1xm

+1xa

x

a dx

=

ln

a

+

C;(8)

sec

2

xdx

=

tan

x

+

C;csc2

xdx

=

-

cot

x

+

C;

sec

x

tan

xdx

=

sec

x

+

C;cscxcot

xdx

=

-

csc

x

+

C;

e

x

dx

=

e

x

+

C;(13)基本積分表13/22解：由例2

求14/22y

=

x2的一個原函數(shù)

F(x),

使得F（1）=0F

(

x

)

=

x

2

dx

=2

+

13x

2

+

1

+

c

=

1

x

3

+

c1再由F

(1)

=

0=

0F

(1

)

=

1

+

c3=即得到：c3-

1則所求原函數(shù)為：3131x

3-[

f

(

x)

–

g(

x)]dx

=

f

(

x)dx

–

g(

x)dx;二、不定積分的運算法則(1)(2)

kf

(

x)dx

=

k

f

(

x)dx.（k

是常數(shù)，k

?0)例315/22求:

y

=

3x2-

2x

+1

的一個原函數(shù)使得F(1)

=

3.解：F

(x)=(3x2

-2x+1)dx=3

x2dx-2

xdx+dx2

+13=

x3

-1+12

x2

+

x

+c=

x3

-

x2

+

x

+

c再由:F

(1)=3解得

c

=

2x

3

-

x

2

+

x

+

2故所求原函數(shù)為例416/22x+1dx：2

x

-43求xx

- +

1

dx43解：

21=2x2dx-4

x-

13

dx

+

dx3

23=

4

x

2

-

6

x

3

+

x

+

c例5x4

3求：4e

-

x

+

x

dxxx4

3解：

4e

- +

x

dx

dx+

x

dx1xx-3=4

e

dx45=

4ex

-3ln

x

+

1

x5

+

c三、換元法不定積分的計算，其技巧性很強，有的非常復雜，也有的不定積分用普通的方法“積不出來”，這里僅通過例題對換元法作一點介紹。例：求

(1

+2

x

)4dx解，在基本積分公式中有t4dt

=

1t5

+c5作代換

1

+

2

x

=

t

,則有2x

=

t

-

12故原式

=

t

4d

(

t

-

1

)

dt=

t2

142=

1

t

4

dt1

t5

+

c=

12

510=

1

(1

+

2

x

)5

+

c例dx4

-

2x求1解，在基本積分公式中有

dt=ln|t|+c1t則x

=-作代換4-2x

=t,2t

-

4代入得：t4

-

2x12dx

=

1d

(-

t

-

4)

t

2=

1

-

1

dt

1

dt=

-2

t12=-1ln|

t

|

+c2=

-

1

ln

|

4

-

2x

|

+c例dx3

3

x

+

1x

+

1求解：求這一積分，如果作代換3x

+1=

t,問題會變得復雜，正確的代換是33x

+1

=

t,3t

3

-

1解得

：x

=代入得t

x

+1

dx

=

31

(t3

-1)+13

3x

+133d

(

t

-

1

)t1

(t3

-1)+1=

3

(t2dt)+

2

t

)dx3=

1

(t

4=

1

1

t

5

+

t

2

+

c3

5=5

2313x

+1)3

+

(3x

+1)3

+c1

(15四、分部積分法在微分中，有公式d(uv)

=(uv)dx=

uv

+uv

)dx=

v

u

dx)

+u(v

dx)=

vdu

+

udv將公式兩端求積分，左端為(注意：微分和積分互為逆運算)

d

(

uv

)

=

uv右端為(vdu

+

udv)

=

vdu

+

udv故uv

=

vdu

+

ud

v最后得分部積分公式

udv

=

uv

-

vdu這條公式叫計算不定積分的分部積分公式，它非常重要，有的積分不用分部積分公式是算不出來的。下面的例題中可得出此公式的作用。例求

xe

x

dx解：

xe

x

dx

=

x(ex

)dx=

xdex=xex

-exdx=xex

-ex

+c例

x

5

ln

xdx解

：

x5

61xln

xdx

=

ln

xd

6=

1

x6

ln

x

-

1

x

6

d

ln

x6

66

=dx1xxx

ln

x

-16

6+

cx6

=66x

ln

x

-161原函數(shù)的概念；F

(x)=f

(x)不定積分的概念：

f

(x)dx

=F

(x)+C

；基本積分表；求導數(shù)與求不定積分的互逆關系；不定積分的運算性質(zhì)；求不定積分的基本方法：將所求積分轉(zhuǎn)化為基本積分表中的積分。四、小結(jié)20/22一、 定積分的概念與性質(zhì)1/29第二節(jié)

定積分一、問題的提出abxo1、平面圖形的面積考慮如下曲邊梯形面積的求法。yy

=

f

(

x)A

=

?2/29這塊圖形是由一條連續(xù)的曲線y

=

f

(x)兩條與x

軸垂直的直線x=a和x

=b，以及x軸得圍成。abxyabx

oyo思路：用已知代未知，利用極限由近似到精確。一般地，小矩形越多，小矩形面積和越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）

（九個小矩形）用矩形面積近似曲邊梯形面積：3/29在區(qū)間[a，b]內(nèi)任意取一點x，考慮區(qū)間x

,

x

+

dx

]內(nèi)圖形的面積這里的

dx是一個無限小的數(shù)區(qū)間x,x

+dx]內(nèi)圖形的面積是無限狹窄的一的一塊區(qū)域，其面積為這塊面積也是無限小的。f

(

x

)

dx（高度×底邊)稱它是面積元素，也叫面積微元。每一點都對應一個面積微元，將這些面積元素沿x共無窮多個，軸從a連續(xù)相加到b

，便得到所求面積?！把豿軸從a連續(xù)相加到b”用記號ba表示。所求面積A為一個數(shù)值，即：

bA

=af

(

x

)

dx二、定積分的概念設f

(x)是區(qū)間[a，b]連續(xù)函數(shù)，在[a，b]內(nèi)任意取一點x

,在無窮小的區(qū)間x,x

+dx

]內(nèi)作微元f

(x)dx將這些微元沿軸從a累加到b，得到的和就叫x定積分，記為ab

f

(

x)dx稱f

(x)為被積函數(shù)，稱a和b為積分下限和積分上限補充規(guī)定:（1）當a

>

b

時，f

(

x

)

dx

=

-abbaf

(

x

)

dx

.（2）當a

=

b

時，f

(

x

)

dx

=

0

；ba三、

定積分的計算牛頓—萊布尼茨公式若f?

C[a,b]且F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則a

aa

b

f

(

x

)dx

=

F

(b

)

-

F

(

a

)

=

F

(

x

)

|b

=

f

(

x

)

dx

|b1/14y

=lnx例：求由曲線在區(qū)間[1，2]上與x軸及x=2所圍成的面積A解

：A

=

2

ln

xdx1的不定積分，先求

ln

x由lnxdx=xlnx

-

xd(lnx)=xlnx

x

-

x

1

dx

=

x

ln