數(shù)學(xué)模型-第1章-緒論課件

歡迎選修＿＿＿＿＜數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模＞

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的迅速發(fā)展有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，提高學(xué)生綜合素質(zhì)

數(shù)學(xué)模型姜啟源等（清華大學(xué)）高等教育出版社第三版數(shù)學(xué)建模FrabkR.G(美)葉其孝等譯

機(jī)械工業(yè)出版社數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用韓中庚高等教育出版社數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模劉來(lái)福北京師范大學(xué)出版社教材及參考書(shū)教學(xué)內(nèi)容第一章緒論第二章初等模型第三章微分模型第四章差分與離散模型第五章規(guī)劃模型(優(yōu)化模型)第六章隨機(jī)方法建模第七章統(tǒng)計(jì)模型通常，1公斤面，1公斤餡，包100個(gè)湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問(wèn)應(yīng)多包幾個(gè)（小一些），還是少包幾個(gè)（大一些）？問(wèn)題圓面積為S的一個(gè)皮，包成體積為V的湯圓,若分成n個(gè)皮，每個(gè)圓面積為s，包成體積為vV和nv哪個(gè)大?從包湯圓（餃子）說(shuō)起Ssss…Vvvv(共n個(gè))定性分析V比nv大多少?定量分析什么是數(shù)學(xué)建模從包湯圓（餃子）說(shuō)起假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應(yīng)用若100個(gè)湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個(gè)湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮半徑V是nv是倍1.4r~小皮半徑兩個(gè)k1（和k2）一樣(1),(2),(3)建模示例錄象機(jī)計(jì)數(shù)器問(wèn)題經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)錄象帶從頭走到尾，時(shí)間用了183分30秒，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4580，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？問(wèn)題分析錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤(pán)右輪盤(pán)磁頭計(jì)數(shù)器錄象帶錄象帶運(yùn)動(dòng)方向錄象帶運(yùn)動(dòng)右輪盤(pán)半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄象帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢觀(guān)察

計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！模型假設(shè)

錄象帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v

；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤(pán)半徑記作

r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)V，k，w，r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r+wi,m圈的總長(zhǎng)度等于錄象帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt,所以模型建立2.考察右輪盤(pán)面積的變化，等于錄象帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即3.考察t到t+dt錄象帶在右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有思考1.3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。2.模型中有待定參數(shù)確定參數(shù)的一種辦法是測(cè)量或調(diào)查，試設(shè)計(jì)測(cè)量方法。參數(shù)估計(jì)確定參數(shù)的另一種方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)理論上，已知t=183.5,n=6152,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可；實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合?，F(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001153204528003466

t

100120140160183.5n40684621513556196152用最小二乘法可得模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用1.回答提出的問(wèn)題：由模型算得n=4580時(shí)t=118.5分，剩下的錄象帶能錄183.5-118.5=65分鐘的節(jié)目。2.揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄象帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b即可。第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi)1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀(guān)事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線(xiàn)呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線(xiàn))的對(duì)稱(chēng)性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線(xiàn)AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定1.3.2商人們?cè)鯓影踩^(guò)河(見(jiàn)智力測(cè)驗(yàn)2)問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}智力測(cè)驗(yàn)第二關(guān).exe背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)1.3.3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線(xiàn),x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專(zhuān)家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀(guān)事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類(lèi)比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)