考研數(shù)學(xué)第五講教學(xué)課件

第五講不定積分與原函數(shù)4.5物公式與洛必達(dá)法則5.1n階泰勒公式定理410泰勒公式設(shè)函數(shù)∫(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有+1階導(dǎo)數(shù)f(x)=f(x)+f(x0x-x)+200(x-x0)2(x-x)2+R1(x)其中Rn1(x)(x-01+5是介于x0和x之間的某個(gè)數(shù)。Rn(x)稱為階泰勒佘項(xiàng)(具有拉格朗日形式的余項(xiàng))考研數(shù)學(xué)第五講第五講不定積分與原函數(shù)4.5物公式與洛必達(dá)法則5.1n階泰勒公式定理410泰勒公式設(shè)函數(shù)∫(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有+1階導(dǎo)數(shù)f(x)=f(x)+f(x0x-x)+200(x-x0)2(x-x)2+R1(x)其中Rn1(x)(x-01+5是介于x0和x之間的某個(gè)數(shù)。Rn(x)稱為階泰勒佘項(xiàng)(具有拉格朗日形式的余項(xiàng))0=0時(shí)的漆公式叫麥克勞林公式,即f(01(0+02+20,的具有皮亞禱余項(xiàng)形式的勒公式為(時(shí)要來函數(shù)(在區(qū)間b內(nèi)具有階號(hào)為:(x-)+0-6例43求anx在x二0處的三階泰勒公式(具有皮亞諾余項(xiàng)形式)t:tanxx=0=0,(tanx)=0=secxtanx)x=0=2secxsecxtanxx-0=0(tanx)"x-0=4secx.tan'x+2sec+x因此得到三階展開式tanx=x+=x+o(r).數(shù)學(xué)建模是為改變傳統(tǒng)高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的內(nèi)容陳舊和理論脫離實(shí)際的缺陷而產(chǎn)生起來的課程，它著重于學(xué)生能力和素質(zhì)的培養(yǎng)、知識(shí)的應(yīng)用和創(chuàng)新。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模的思想與方法，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，而且能夠提升教師的教學(xué)水平，豐富現(xiàn)有的教學(xué)方法，拓展課堂教學(xué)的內(nèi)涵，有效提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果。以下就在高職高等數(shù)學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)建模思想加以說明。一、編寫適合高職學(xué)生水平的教材，融入數(shù)學(xué)建模從教材方面來看，高職數(shù)學(xué)教材基本上是本科教材的縮略，重理論輕應(yīng)用。高職學(xué)生數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)差，對(duì)理論不感興趣，而對(duì)實(shí)際應(yīng)用的知識(shí)能較好地掌握，且非常感興趣，所以編寫一本既適合高職培養(yǎng)目標(biāo)又能滿足學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的高等數(shù)學(xué)教材應(yīng)是數(shù)學(xué)教師首先要考慮的問題。首先，新教材要重基礎(chǔ)，輕系統(tǒng)，進(jìn)行整體優(yōu)化。在傳統(tǒng)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，應(yīng)編寫得更加精煉，并且把現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想，包括一些符號(hào)和術(shù)語，滲透到教材中，即做好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的有機(jī)結(jié)合，以達(dá)到整體優(yōu)化的目的。其次，注重應(yīng)用，擴(kuò)大知識(shí)面。新教材在例題與習(xí)題配備上要做重大改革，減少死套公式定理的計(jì)算題與證明題，增加實(shí)際應(yīng)用題；在每章增加一節(jié)應(yīng)用，將數(shù)學(xué)建模思想融于本章教學(xué)內(nèi)容，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用所學(xué)知識(shí)為解決實(shí)際問題建模。最后，將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容與“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”有機(jī)結(jié)合。新教材后面配有MATLAB使用入門及簡(jiǎn)單的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，讓學(xué)生通過使用計(jì)算機(jī)和有關(guān)數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題的過程來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。二、改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，采用開放式實(shí)驗(yàn)教學(xué)長(zhǎng)期以來，在高職數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，教學(xué)方法比較單一，教法比較陳舊，大部分教師都采用滿堂灌的教學(xué)形式，重視定理推導(dǎo)和證明，缺少和實(shí)際問題的聯(lián)系，造成老師講老師的內(nèi)容，學(xué)生干學(xué)生的事情，起不到任何的教學(xué)效果。在高職院校采用開放式實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以使學(xué)生自己作為主體，在教師的指導(dǎo)下，從相應(yīng)的專業(yè)知識(shí)中提取實(shí)例，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法來解決實(shí)際問題，并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性；采用驗(yàn)證式的實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)理論知識(shí)的應(yīng)用背景，把理論聯(lián)系了實(shí)際，加深了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。利用開放式的實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以較好地解決直接把本科院校的數(shù)學(xué)建模的課程引入所造成的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足的情況，更好地把數(shù)學(xué)建模思想融入到高職院校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中。三、把數(shù)學(xué)建模思想滲透到日常教學(xué)中在日常教學(xué)中滲透建模的思想，可以使學(xué)生受到建模的熏陶，在潛移默化中提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。滲透建模思想的最大特點(diǎn)是理論聯(lián)系實(shí)際。在教學(xué)中認(rèn)真挖掘，將實(shí)際問題滲透在日常理論教學(xué)中，就能有計(jì)劃有步驟地培養(yǎng)與訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。實(shí)際上，教材中的許多內(nèi)容都可以引入數(shù)學(xué)建模，下面就以高等數(shù)學(xué)中微元法的應(yīng)用為例加以說明。1、問題提出從A城市到B城市有條長(zhǎng)30km的高速公路，某天公路上距A城市km處的汽車密度（每千米多少輛車計(jì)）為。請(qǐng)計(jì)算該高速公路上的汽車總數(shù)。2、模型假設(shè)與變量說明（1）假設(shè)從A城市到B城市的高速路是封閉的，路上沒有其他出口。（2）設(shè)高速公路上的汽車總數(shù)為W3、模型的分析與建立利用微元法，在路段上，可將汽車密度視為常數(shù)，車輛數(shù)為所以高速公路上的汽車總數(shù)為用MATLAB計(jì)算。所以高速公路上的汽車總量約為9278輛。四、改變?cè)u(píng)價(jià)手段，引入數(shù)學(xué)建模高職高等數(shù)學(xué)現(xiàn)有的考核方式都是以期末卷面成績(jī)?yōu)橹鹘Y(jié)合平時(shí)成績(jī)考核的單一模式，為了能對(duì)學(xué)生進(jìn)行“知識(shí)、能力、素質(zhì)”相結(jié)合的綜合評(píng)價(jià)，應(yīng)在高等數(shù)學(xué)考核中加入數(shù)學(xué)建模能力的考核，根據(jù)學(xué)生所學(xué)專業(yè)，設(shè)計(jì)問題，規(guī)定完成時(shí)間，制定可操作的、具體的“量化評(píng)價(jià)”指標(biāo)，對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)分析、解決問題能力綜合考核，這樣即考查了學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度又考查了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生以所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。蘇霍姆林斯基說：“教師高度的語言修養(yǎng)，在很大程度上決定著學(xué)生在課堂上腦力勞動(dòng)的效率?！背晒Φ膶?dǎo)語，如同拉開的大幕，讓學(xué)生一眼就看到精美的置景；也有如樂章的序曲，使學(xué)生一開始便受到強(qiáng)烈的感染；又像是打開了殿堂的大門，引導(dǎo)學(xué)生竟相登堂入室。用詼諧幽默、機(jī)巧睿智的個(gè)性化語言做導(dǎo)語，不但能激發(fā)興趣、活躍氣氛，而且能形成進(jìn)攻型學(xué)習(xí)狀態(tài)。但在日常的語文教學(xué)中，有一些老師往往不重視課文導(dǎo)入，或者只是把導(dǎo)入當(dāng)成了敲門磚，門敲開了，磚也就扔了。本文現(xiàn)就從初中語文課堂導(dǎo)語設(shè)計(jì)的作用、要求與方法三個(gè)方面進(jìn)行闡述。一、設(shè)計(jì)導(dǎo)語的作用1、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣興趣對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)是十分重要的，學(xué)生如果對(duì)某一門課程感興趣，就會(huì)主動(dòng)去學(xué)習(xí)，吸收的效果自然好，所謂“興趣是最好的老師”。因此，教師可以通過導(dǎo)語的設(shè)計(jì)，設(shè)置一定的懸念，激發(fā)學(xué)生的好奇心，進(jìn)而促使其能夠主動(dòng)的去探索與求解，進(jìn)而提高其學(xué)習(xí)語文的欲望。而從心理學(xué)的角度來看，中學(xué)生正處于生理、心理的發(fā)展時(shí)期，這一階段的孩子往往具有較高的好奇心與求知欲，通過有效的課堂導(dǎo)語設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到課程當(dāng)中，循循善誘，促使學(xué)生能夠主動(dòng)的去探求知識(shí)。這樣一來，可以有效的整合教學(xué)資源，提高課堂的利用效率。教師只要能夠因文、因時(shí)、因人設(shè)計(jì)出一些優(yōu)秀的導(dǎo)語，就能為課堂創(chuàng)設(shè)一種美的意境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2、讓學(xué)生溫故知新子曰“溫故而知新”，導(dǎo)入語設(shè)計(jì)有助于學(xué)生建立認(rèn)知框架，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)本身入手，復(fù)習(xí)舊知引出新知，從而有效促使學(xué)生的認(rèn)知行為或認(rèn)知技能發(fā)生改變。我在教授《風(fēng)箏》一課時(shí)，由同學(xué)們熟悉的馬致遠(yuǎn)的小令《天凈沙?秋思》入手，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：作者將游子的思鄉(xiāng)之情寓于蕭瑟的景物描寫之中。這首小令從外部影響了學(xué)生的語文認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生提取舊知識(shí)，建立有利于同化新知識(shí)的認(rèn)知框架，從而幫助學(xué)生領(lǐng)悟到《風(fēng)箏》一文其顯著特色就在于“以情馭景，以景顯情”。同時(shí)，由于這首小令的運(yùn)用，使一節(jié)語文課的教學(xué)內(nèi)容就限定在了“以情馭景，以景顯情”這一寫作特色上，從而有效分解了語文學(xué)習(xí)任務(wù)，確定了學(xué)生學(xué)習(xí)語文的起點(diǎn)行為。起點(diǎn)行為是學(xué)生在教學(xué)開始前必須掌握的知識(shí)技能，而且通常是指那些與學(xué)習(xí)新課題有關(guān)的、必不可少的知識(shí)技能。導(dǎo)語設(shè)計(jì)不僅表現(xiàn)在新課學(xué)習(xí)前啟動(dòng)舊知識(shí)技能，更重要的在于它能幫助教師確定語文新課教學(xué)的切入點(diǎn)。常言道：“良好的開端是成功的一半?！睂?shí)踐證明，一個(gè)先聲奪人的導(dǎo)語確有動(dòng)一發(fā)而牽全身之妙，對(duì)于達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，取得良好的教學(xué)效果，作用是很大的通過有效的課堂導(dǎo)語設(shè)計(jì)，在已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間搭設(shè)一個(gè)橋梁，起到承上啟下的作用。這樣一來，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，同時(shí)有助于學(xué)生更好的把握知識(shí)體系，訓(xùn)練學(xué)生知識(shí)遷移的能力。從而形成一個(gè)語文知識(shí)學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)。利用導(dǎo)語讓學(xué)生在鞏固舊知識(shí)的同時(shí)去學(xué)習(xí)新知識(shí)。注重新舊知識(shí)的銜接和過度，能有效降低學(xué)生對(duì)新知識(shí)的認(rèn)知難度，激發(fā)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，達(dá)到高效率課堂的目的。二、設(shè)計(jì)導(dǎo)語的要求――新奇性與藝術(shù)性相結(jié)合托爾斯泰曾說：“成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣?！睆倪@句話，我們不難看出興趣對(duì)學(xué)習(xí)的重要性。因此，教師在進(jìn)行導(dǎo)語的設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)將學(xué)生興趣的激發(fā)考慮在內(nèi)，所以導(dǎo)語設(shè)計(jì)的新奇性十分重要。通過新奇的導(dǎo)語設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生的興趣，使其能夠主動(dòng)的投入到語文的學(xué)習(xí)當(dāng)中去，且能夠取得良好的吸收效果。教師應(yīng)當(dāng)充分利用自己較為廣博的知識(shí)，組織成生動(dòng)優(yōu)美的教學(xué)語言，以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。例如，在教學(xué)《濟(jì)南的冬天》一文時(shí)，可以是這樣設(shè)計(jì)導(dǎo)語的：“同學(xué)們，蘇軾有首詩：“水光瀲滟晴方好，山色空蒙雨亦奇。欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜?！睙熡昝擅?，遠(yuǎn)山近水，盡在畫中，漫步湖邊，蕩舟湖上，令人如在畫中游。而到了夏天，世界著名的避暑勝地瑞士景色最美：綠色山林，環(huán)繞著淺藍(lán)色的湖泊，映襯著阿爾卑斯山頭的皚皚白雪；懸崖上瀑布流瀉，草地上鮮花盛開，無愧于“世界公園”的美稱。同學(xué)們知道哪兒的秋天和冬天最美嗎？這就是我國(guó)著名的“泉城”濟(jì)南。老舍在《濟(jì)南的秋天》一文中寫道：“上帝把夏天的藝術(shù)賜給了瑞士，把春天的賜給西湖，秋和冬的全賜給了濟(jì)南?！痹谧髡吖P下，濟(jì)南的秋天和冬天如詩如畫，別具情致。今天，我們先來欣賞濟(jì)南冬天的美景。正是這一段教師引古博今，講得生動(dòng)活潑，熱烈精彩，妙趣橫生，學(xué)生聽得神思飛越，如癡如醉，欲罷不能，才有了課堂上出現(xiàn)的學(xué)習(xí)興趣濃厚，情緒高漲，活潑熱烈的教學(xué)場(chǎng)景。由此可見，一個(gè)具有新奇性的導(dǎo)語在一定程度上可以使課堂在輕松的教與學(xué)的過程中取得較理想的效果。三、設(shè)計(jì)導(dǎo)語的方法導(dǎo)語設(shè)計(jì)在語文教學(xué)中起著重要的作用，它是語文教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié)。一個(gè)精心的導(dǎo)語設(shè)計(jì)，往往會(huì)使一堂語文課堂精彩起來。導(dǎo)語設(shè)計(jì)的方法很多。筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)實(shí)踐列舉幾例常用的導(dǎo)語，供同行們共同探討。1、激情導(dǎo)入法。教師上課時(shí)一開始就用熾熱的情感去撥動(dòng)學(xué)生感情的心弦，就能激起他們的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。一些比較抒情的詩歌、散文，可以由教師誦讀導(dǎo)入。2、作者導(dǎo)入法：對(duì)一些比較著名的作家，我們往往要在學(xué)習(xí)文章之前介紹這個(gè)作者的生平，代表作，甚至要介紹一些有關(guān)這個(gè)作者的軼聞趣事。通過對(duì)作者的介紹，不僅能使學(xué)生了解必要的文學(xué)常識(shí)，而且能使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)于作者的崇敬之情，從而激發(fā)他對(duì)于這個(gè)作者所寫的這篇課文的學(xué)習(xí)興趣。3、寫作背景導(dǎo)入法：在講授新的課文前，適當(dāng)介紹一些與之有關(guān)的寫作背景，可以讓學(xué)生了解作者的寫作目的，接下來再講課文，學(xué)生理解課文內(nèi)容就又正確又迅速。4、解題導(dǎo)入法：標(biāo)題是文章的眼睛。眼睛是心靈的窗戶，通過眼睛，我們可以審視一個(gè)人的心靈；同樣，透過標(biāo)題，我們可以抓住文章的主題和脈絡(luò)。因此，從標(biāo)題導(dǎo)入課文，能讓學(xué)生抓住重點(diǎn)，把握中心，對(duì)學(xué)生大致了解課文內(nèi)容很有幫助。創(chuàng)設(shè)的這樣一個(gè)情景，既巧妙設(shè)置了懸念，也為接下來的課文學(xué)習(xí)定下感情基調(diào)。如《從百草園到三味書屋》。5、巧用媒介法：巧妙地運(yùn)用多媒體等電教用具，通過欣賞音樂，觀看錄像、電影等方式，讓學(xué)生感受不同的音樂魅力；激活學(xué)生的藝術(shù)細(xì)胞，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。有些文章可以在講課前進(jìn)行出示必要的圖畫，一方面集中學(xué)生注意力，另一方面使所講內(nèi)容更直觀。6、前后知識(shí)聯(lián)系法。就是從學(xué)生已有的生活和已學(xué)過的知識(shí)出發(fā)，并結(jié)合所授課文的內(nèi)容及其特點(diǎn)導(dǎo)入新課的一種方法。如教授《社戲》時(shí)可以這樣導(dǎo)入課文：我們很多同學(xué)小時(shí)候，甚至現(xiàn)在，都愿意隨媽媽到外婆家去，魯迅也是如此。他曾說：“我母親的母家是農(nóng)村，使我能夠間或和許多農(nóng)民相親近?！彼涯抢锟醋魇亲杂傻奶斓?、嶄新的世界。這段導(dǎo)語是由學(xué)生已有的生活引出文章，使之感到親切，自然而然地展開豐富的想象力，回憶起小時(shí)候在外婆家的動(dòng)人情景。在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新課，得益匪淺。初中語文老師的課堂導(dǎo)入的優(yōu)劣足見其備課的充分與否，呂叔湘先生說過“語文教學(xué)一半是科學(xué)，一半是藝術(shù)”教師除講究導(dǎo)入方法的設(shè)計(jì)外，還要重視導(dǎo)語的藝術(shù)性，只有這樣才能體現(xiàn)出語文的本性、本色和本體。0=0時(shí)的漆公式叫麥克勞林公式,即f(01(0+02+20,的具有皮亞禱余項(xiàng)形式的勒公式為(時(shí)要來函數(shù)(在區(qū)間b內(nèi)具有階號(hào)為:(x-)+0-6例43求anx在x二0處的三階泰勒公式(具有皮亞諾余項(xiàng)形式)t:tanxx=0=0,(tanx)=0=secxtanx)x=0=2secxsecxtanxx-0=0(tanx)"x-0=4secx.tan'x+2sec+x因此得到三階展開式tanx=x+=x+o(r).例484求已在x0=-1處具有拉格朗日余項(xiàng)形式的階勒公式解:用間接法,將寫為e=ex+l-11將e視為e^,(即令X=x+1),利用基本展開式即有(1+(x+1)+-(x+1)2+…+-(x+1)"+…)+-(x+1)+(x+1)2+…+-(x+1)nl.e(x+1)(n+1)!e其中5在x與x0=-1之間,x∈(-∞,+∞)例4.35設(shè)linsin6x+xf(r)0,求lim6+f(x)x→0解:sin6x=6x--(6x)+o(x3),因此由已知條件lim/sin6x+xf(x)lim6x-36x3+o(x3)+xf(x)x→0x→0lim6+f(x)6+f(x)36+0=0,最后得到im36x→0sin6x+xf(x)mlimsin6x-6x+6x+yf(r)-li6+f(x)+limsin6x-6xli6+f(x)(