微積分ii高中喜老師

§7.2

第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）一、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)1.曲面的側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.以下總假定曲面是光滑的或分片光滑的。例如旋轉(zhuǎn)拋物面z

=

x2

+

y2z

=

x2

+

y2而對于曲面S：z=z(x,y),若每一點(diǎn)的法向量與z軸正向夾角為銳角，則稱法向量指向曲面的上側(cè);否則為下側(cè).在拋物面上每一點(diǎn)處的法向量有兩個，其中n

=

(-2

x,

-2

y,1

,它與z軸正向夾角為銳角,指向上側(cè);n

=(2

x,2

y,-1

與z軸正向夾角為鈍角,指向下側(cè);對于曲面S：y=y(x,z),若每一點(diǎn)的法向量與y

軸正向夾角為銳角，則稱法向量指向曲面的右側(cè)；否則為左側(cè)。同理，對曲面S：x=x(y,z)有前側(cè)和后側(cè)之分。對封閉曲面則有外側(cè)和內(nèi)側(cè)之分。這種具有兩個側(cè)的曲面稱為雙側(cè)曲面?！袂嫔蠁挝环ㄏ蛄康闹赶虼_定曲面的側(cè)例如曲面S

:z

=z

(x,y(

)x

y用單位法向量來確定曲面的上側(cè)或下側(cè).在點(diǎn)M

(x,

y,

z

處：其上側(cè)的法向量為n

=

-z

,-z

,1

,;-zxi

-

zy

j

+

k上側(cè)的單位法向量為

n0

=z2

+

z2

+

1x

y

(

)1

,x

y其下側(cè)的法向量為n

=

z

,

z

,

-x

yzxi

+

zy

j

-

k=

.z2

+

z2

+

1

下側(cè)的單位法向量為n0同學(xué)們可以自己寫出:對于曲面y

=

y

(z,

x

用單位法向量

確定曲面的n0右側(cè)或左側(cè);

對于曲面x

=

x

(y,

z

用單位法向量n0確定曲面的前側(cè)或后側(cè).2.

第二類曲面積分的定義定義

設(shè)S為一光滑有向曲面，

為曲面S上任n0一點(diǎn)M處的單位法向量,其方向與曲面S側(cè)的選取一致.又設(shè)向量值函數(shù)在曲面S上有界.若數(shù)量值函數(shù)(Fn0

)在S上的第一類曲面積分存在,則稱此積分值為向量值函數(shù)F

(x,y,z

)在有向曲面S上的第二類曲面積分,n0

)dS.

(FS記為F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k

由于dS是數(shù)量記

dS

=

n0dS

,dS稱為面積微元向量.●dS的方向與單位法向量n0一致,其大小為面積微元dS的值.●S第二類曲面積分的向量形式為

F dS

,

(FSn0

)dS

=

F dS

.S即注：

(F n0

)dS

=

F

(n0dS

).

●若S為有向閉曲面時,記為S

S

(Fn0

)dS

=

F dS

.若向量值函數(shù)F(x,y,z

)在光滑曲面或分片光滑的有向曲面S上連續(xù)，則第二類曲面積分

(FSn0

)dS

=

FSdS

存在.4.

第二類曲面積分的性質(zhì)(1

設(shè)k1

,k2為兩個常數(shù),則

(k1F1

+

k2

F2

)

dS

=

k1

F1dS

+

k2

F2

dS

.

S

S

S(2

將S分成S1與S2

,

S1與S2的側(cè)與S的側(cè)保持一致,

則

F dS

=

F dS

+

F dS

.S

S1

S2SS

-(3)若用S

-表示S的另一側(cè)，則

F dS

=

-

F dS

.

-事實(shí)上，因?yàn)榍鍿

的側(cè)的單位法向量為-n0SS

-=

-

F dS

.

S\

F

dS

=

F

Sn0dS

=

-

F

(-n0

)dS

(4)第二類曲面積分

F

dS

=(F

n0

)dS是用S

S第一類曲面積分

f(x,y,z)dS來定義的.SS

S

(5)第二類曲面積分

F

dS

=(F

n0

)dS是S

S向量值函數(shù)的積分.

(6)第二類曲面積分

F

dS

=(F

n0

)dS與曲面的

側(cè)有關(guān),曲面的側(cè)是反映在單位法向量n0的方向上.

5.第二類曲面積分的表達(dá)形式單位法向量n0可以表示為:

n0

=

(cosa

,cos

b

,cosg

,向量值函數(shù)為：F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k

,第二類曲面積分可以表示為：(1)

F dS

=

F

n0dS

S

S=

(P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cosg

)dS;S(2

若記:dydz

=

cosa

dS,

dzdx

=

cos

bdS

,

dxdy

=

cosgdS

,則dS

=n0dS

=(cosa

dS

,cos

bdS

,cosgdS

)=

(dydz,

dzdx,dxdy

.第二類曲面積分也可以表示為:S

S

FdS

=

F

n0dS

=

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy.SS

S

FdS

=

F

n0dS

=

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy.S這就是第二類曲面積分的坐標(biāo)形式,也稱第二類曲面積分為對坐標(biāo)的曲面積分.二、第二類曲面積分的計算下面討論第二類曲面積分的計算公式：1.設(shè)積分曲面S的方程為:z

=z

(x,y

,其指向?yàn)樯蟼?cè),S在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy

,函數(shù)z

=z

(x,y

在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),即曲面是光滑的,向量值函數(shù)

F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k在S上連續(xù).設(shè)曲面S

:

z

=

z

(x,

y

上任一點(diǎn)的指向上側(cè)的法向量n為：n

=

-zxi

-

zy

j

+

k

.

(

)(

)(

)

(

)2222.x

yxy

xynz-z

i

-

z j

+

kn0

==+

z+

1z

+

z+

1其單位法向量

為：n0

由第一類曲面積分的計算公式，有S

FdS

=

F

(x,

y,

z

)

n0

(x,

y

)dS(

))(

)220xyF

x,

y,

z

x,

yn(x,

y

)

(zS=+

z+

1dxdy(

)DxyF

x,

y,

z

x,

yn

x,

y

dxdy,=)

Dxy

(S即

P

(x,y,z

)dydz

+Q

(x,y,z

)dzdx

+R

(x,y,z

)dxdy=

F

x,

y,

z

(x,

y

)

n

(x,

y

)dxdy.Dxy

n

=

-zxi

-

zy

j

+

k;(2

曲面S若為z

=

z

(x,

y

則向xoy平面投影,得投影區(qū)域Dxy

;(3

被積函數(shù)中的變量

z

要換成曲面方程z

=

z

(x,

y

.S

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdyDxy注：(1

法向量n指向曲面S

:

z

=

z

(x,

y

的上側(cè),=

{F

x,

y,

z

(x,

y

)

n

(x,

y

)}dxdy.計算公式S其中dydz前的為

P,

dzdx前的為Q,

dxdy前的為

R,則F

(x,y,z

)的構(gòu)造為:F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R(x,

y,

z

)k

,

F

x,

y,

z

(x,

y

)

=P

x,

y,

z

(x,

y

)

i

+

Q

x,

y,

z

(x,

y

)

j

+

R

x,

y,

z

(x,

y

)

k

.

Dxy(4)

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy=

{F

x,

y,

z

(x,

y

)

n

(x,

y

)}dxdy.同理,若曲面S

:

z

=

z

(x,

y

的側(cè)指向下側(cè),則有Dxy=

FSdS

=

{F

x,

y,

z

(x,

y

)

-n

(x,

y

)}dxdy,其中S

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy

F

=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k

,n

(x,

y

)=

-zxi

-

zy

j

+

k

.

2.

設(shè)曲面S的方程為:

y

=

y

(z,

x

,

(z,

x

?

Dzx

.S=

F注(1)若S的側(cè)指向右側(cè),即n,y

￡

900

,取+號;(2)若S的側(cè)指向左側(cè),即n,y

?900

,取-號.S曲面y

=

y

(z,

x

的法向量為：n

=

(-

yx

,

1,

-

yz

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdyDzxdS

=

{F

x,

y

(z,

x

),

z

–n

(z,

x

)}dzdx3.

設(shè)曲面S的方程為:

x

=

x

(y,

z

,(y,

x

?

Dyz

.S=

F注(1)若S的側(cè)指向前側(cè),即n,x

￡

900

,取+號;(2)若S的側(cè)指向后側(cè),即n,x

?900

,取-號.S曲面x

=

x

(y,

z

的法向量為：n

=

(1,

-

xy

,

-

xz

)

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdyDyzdS

=

{F

x

(y,

z

),

y,

z

–n

(y,

z

)}dydz三、第二類曲面積分的計算舉例計算I

=

ydydz

-

xdzdx

+

z2dxdy,

其中S為錐面S例1,xx

z

=,yx2

+

y2yz

=x2

+

y2z

=

x2

+

y2解

S

:

z

=被平面z

=

1,

z

=

2所截部分的外側(cè)．x2

+

y2

,(

)x

yxy法向量n

=

-z

,-z

,1n

=

-,

-

,1x2

+

y2

x2

+

y2

F

=

(y,

-

x,

z2

(x,

y

))=

(y,

-

x,

x2

+

y2

)，曲面S

:

z

=

z

(x,

y

的側(cè)指向下側(cè),

-n

=

, ,

-1

,x2

+

y2

x2

+

y2

x

yS

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy=

F

x,

y,

z

(x,

y

)

-n

(x,

y

)dxdyDxy(

)(

)2,xyDx,

y=y,

-

x,

z,

-

1

dxdy

x

y

x2

+

y2

x2

+

y222222,2xyDxy+

y

)

,

-

1

dxdyx

+

yx

+

y=

(y,

-

x,

xDxy=

-

(x2

+

y2

)dxdy2=

-

15

p

.2201r

rdr2pdq=

-xyD

:

1

￡

x2

+

y2

￡

4I

=

[

f

(

x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(

x,

y,

z)

+

y]dzdxS+[

f

(

x,

y,

z)

+

z]dxdy,

其中

f

(

x,

y,

z)

為連續(xù)函數(shù),S

為平面x

-y

+z

=1在第四卦限部分的上側(cè)．例2

計算(

)x

y解 曲面S的方程為：z

=

1

-

x

+

y,其側(cè)指向上側(cè).法向量為：n

=

-z

,-z

,1=

(1,

-1,1

,=

(x

-

y

+

z

(x,

y

))dxdyDxy{Dxyn

x=F

=

([

f

(

x,

y,

z)

+

x],

[2

f

(

x,

y,

z)

+

y],

[

f

(

x,

y,

z)

+

z])I

=

[

f

(

x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(

x,

y,

z)

+

y]dzdxS+[

f

(

x,

y,

z)

+

z]dxdyF

x,

y,

z

(x,

y

)

(

,

y

)}dxdyDxyxyD2=

(x

-

y

+

(1

-

x

+

y

))dxdy

=

dxdy

=

1

.解S

:

x

=

1

-

y2

-

z2

;xyz例3

計算

xyzdxdy,其中S是球面Sx2

+y2

+z2

=1的外側(cè)在x

?0,y

?0的部分.其側(cè)指向前側(cè).()yz-

x

,

-

x法向量為：n

=1,22,yz

,=

1,1

-

y2

-

z2

1

-

y

-

zF

=

(0,

0,

xyz

)=

(0,

0,

yz1

-

y2

-

z2

)ndydz

=

yz2dydzDyz2

2,yzn

=

1,1

-

y2

-

z21

-

y

-

z120原式=

FDyzpp2-=

215dq

r

4

cosq

sin2

qdr

=另解把S分成S1和S2兩部分1S

:

z

=

-

1

-

x2

-

y2

;2

2S2

:

z

=

1

-

x

-

y

,yzS2n2n11F2

=

(0,0,

xyz

)=

0,0,

xy1

-

x2

-

y2

,xyx S,

1,=

1

-

x2

-

y2

1

-

x2

-

y2n2

=

(-zx

,-zy

,1)

-

x

-

y

=

,,

-11

-

x2

-

y2

1

-

x2

-

y2n1

=

(